甘肅 劉延明

高考命題往往設(shè)置綜合性的問(wèn)題和較為復(fù)雜的情境，重視基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的關(guān)鍵能力的考查，而以函數(shù)、導(dǎo)數(shù)與數(shù)列不等式結(jié)合為載體的綜合問(wèn)題則是高考命題考查的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，往往處于解答題壓軸題的位置.2022年新高考Ⅱ卷的第22題就是基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與關(guān)鍵能力考查的一道綜合試題，該試題將函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列與不等式等知識(shí)有機(jī)結(jié)合，考查學(xué)生靈活應(yīng)用函數(shù)、不等式思想解決復(fù)雜問(wèn)題的能力，對(duì)抽象概括能力和推理論證能力有較高的要求，無(wú)論是在數(shù)學(xué)知識(shí)層面、數(shù)學(xué)能力層面，還是在創(chuàng)新思維層面都很好地體現(xiàn)了基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的考查.為此，本文以該試題為母題，從解法和變式等不同視角進(jìn)行深度探究.

一、母題呈現(xiàn)

【例】(2022·新高考Ⅱ卷·22)已知函數(shù)f(x)=xeax-ex.

(1)當(dāng)a=1時(shí)，討論f(x)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)x>0時(shí)，f(x)<-1，求a的取值范圍；

二、母題分析

該母題是以高考中高頻次出現(xiàn)的基本函數(shù)“ex”為背景的導(dǎo)數(shù)應(yīng)用試題，其中第(3)問(wèn)是數(shù)列不等式的證明問(wèn)題，解答這一小問(wèn)的基本思路是：逆向“執(zhí)果”分析，尋求與目標(biāo)不等式等價(jià)的不等式→構(gòu)造函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)知識(shí)證明或推理得到函數(shù)的基礎(chǔ)不等式結(jié)論→將結(jié)論通過(guò)賦值轉(zhuǎn)換為數(shù)列的不等關(guān)系→運(yùn)用數(shù)列中諸如裂項(xiàng)、累加等方法或結(jié)合“放縮法”的應(yīng)用→數(shù)列不等式得以證明.

三、母題解答

(1)當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=xex-ex，所以f′(x)=(x+1)ex-ex=xex.

所以當(dāng)x≥0時(shí)，f′(x)≥0；當(dāng)x<0時(shí)，f′(x)<0，

故f(x)在[0，+∞)上單調(diào)遞增，在(-∞，0)上單調(diào)遞減.

(2)解法1:令g(x)=f(x)+1=xeax-ex+1(x>0)，

則由f(x)<-1，得g(x)0恒成立.

又g′(x)=eax+axeax-ex，所以g′(0)=0.

令h(x)=g′(x)=eax+axeax-ex，

則h′(x)=aeax+a(eax+axeax)-ex，h′(0)=2a-1.

點(diǎn)評(píng)：解法1直接轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)，借助導(dǎo)數(shù)定義在分析和推理論證的基礎(chǔ)上求解，落實(shí)了數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

解法2：由題意可知f′(x)=(1+ax)eax-ex，f′(0)=0.

令g(x)=f′(x)=(1+ax)eax-ex，則g′(x)=(2a+a2x)eax-ex，g′(0)=2a-1.

所以g(x) 在(0，x0)上單調(diào)遞增，又g(0)=0，所以g(x)>0在(0，x0)上恒成立，

則h(0)=-1，

點(diǎn)評(píng)：解法2首先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后構(gòu)造函數(shù)，借助“二階”導(dǎo)數(shù)在分析和推理論證的基礎(chǔ)上求解，落實(shí)了數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

(3)證法1(分析法)：令Sn=ln(n+1)，

故不等式得證.

點(diǎn)評(píng)：證法1首先將所證數(shù)列不等式逆向分析、轉(zhuǎn)化，發(fā)現(xiàn)其結(jié)構(gòu)形式、特點(diǎn)，然后換元、構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性證明不等式結(jié)論，從而利用該不等式結(jié)論證得不等式.

所以τ(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x>0時(shí)，τ(x)>τ(0)=0.

點(diǎn)評(píng)：證法3直接利用對(duì)數(shù)均值不等式來(lái)證明，過(guò)程簡(jiǎn)潔，十分巧妙.這里需要說(shuō)明的是，在考試中對(duì)數(shù)均值不等式不可以直接應(yīng)用，需要先進(jìn)行證明.

四、考查模式

導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用是高考考查的核心內(nèi)容，其解答題常處于高考?jí)狠S題的位置.在導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用解答題中融入數(shù)列不等式證明問(wèn)題，不僅體現(xiàn)了高考命題知識(shí)間的交匯、綜合，也使得“導(dǎo)數(shù)題”起到了高考“把關(guān)定向”的作用.在高考中，數(shù)列不等式的證明往往設(shè)置在導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用解答題的最后一問(wèn)考查，先由導(dǎo)數(shù)知識(shí)證明或推理得到函數(shù)的基礎(chǔ)不等式結(jié)論，然后將結(jié)論通過(guò)賦值轉(zhuǎn)換為數(shù)列的不等關(guān)系，再運(yùn)用數(shù)列中如裂項(xiàng)、求和、累加等知識(shí)或方法并結(jié)合“放縮法”的應(yīng)用，使得數(shù)列不等式得以證明.

五、母題變式

若只改變母題的題設(shè)中的函數(shù)形式，數(shù)列不等式不變，可有：

(1)解關(guān)于x的不等式f(x)>0；

所以f(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞減.

又f(1)=0，所以f(x)>0的解集為(0，1).

當(dāng)n≥2且n∈N*時(shí)，由(1)可知，

然后賦值、累加證得不等式，下同母題第(3)問(wèn)證法2.

若母題的題設(shè)中的函數(shù)形式不變，改變第(3)問(wèn)所證明的數(shù)列不等式，可有：

【變式2】已知函數(shù)f(x)=xeax-ex.

(1)當(dāng)a=1時(shí)，討論f(x)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)x>0時(shí)，f(x)<-1，求a的取值范圍；

解析：(1)，(2)見(jiàn)母題的解析.

若母題的題設(shè)中的函數(shù)形式，深度改變第(3)問(wèn)所證明的數(shù)列不等式，可有：

【變式3】已知函數(shù)f(x)=xeax-ex.

(1)當(dāng)a=1時(shí)，討論f(x)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)x>0時(shí)，f(x)<-1，求a的取值范圍；

解析：第(1)，(2)問(wèn)解析見(jiàn)母題的解析.

(3)因?yàn)镾n=2n-1，

所以當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=21-1=1，

當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=2n-1-(2n-1-1)=2n-1，當(dāng)n=1時(shí)，等式成立.

故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n-1.

所以bn=2(log2an+1)=2(log22n-1+1)=2(n-1+1)=2n，

證法1：從不等式左邊式子是分式連乘積的形式等結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，聯(lián)想到運(yùn)用累乘法，首先研究、變形“通項(xiàng)”，然后運(yùn)用累乘法來(lái)證明.

上述各式左、右兩邊分別相乘，得

點(diǎn)評(píng)：證法1由不等式左邊式子的特點(diǎn)，聯(lián)想累乘法，通過(guò)“放縮”變形左邊連乘積的分式的“通項(xiàng)”，運(yùn)用累乘法證得不等式.

所以cn+1>cn，所以數(shù)列{cn}是單調(diào)遞增數(shù)列.

所以cn>c1>1，

點(diǎn)評(píng)：證法2首先通過(guò)構(gòu)造數(shù)列，推證數(shù)列的單調(diào)性，利用數(shù)列的單調(diào)性證明不等式成立.在推證不等式的過(guò)程中運(yùn)用了“分母擴(kuò)大，分式縮小”的放縮技巧，值得重視.

證法3：由于所證不等式是與正整數(shù)n有關(guān)的數(shù)列不等式，所以考慮運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明.

則當(dāng)n=k+1(k∈N*)時(shí)，

所以當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立.

點(diǎn)評(píng)：證法3運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，思路清晰、自然，但有兩點(diǎn)值得注意：一是由n=k時(shí)不等式成立，證明n=k+1時(shí)不等式也成立，務(wù)必要用歸納假設(shè)；二是在n=k+1在證明不等式時(shí)，用到配方、分離、放縮等代數(shù)式的變形技巧.

六、方法規(guī)律

通過(guò)上面母題和變式題的解析可以看出，解答函數(shù)、導(dǎo)數(shù)與數(shù)列不等式結(jié)合的綜合問(wèn)題的關(guān)鍵是數(shù)列不等式的證明，在證明數(shù)列不等式的過(guò)程中往往需要用到 “放縮法”.“放縮法”靈活多變、技巧性強(qiáng)，如何把握放縮的“度”，使得放縮“恰到好處”，這正是“放縮法”的精髓和關(guān)鍵所在.在解題中要多觀察、分析、思考和體會(huì)，深入剖析問(wèn)題特征，抓住規(guī)律進(jìn)行恰當(dāng)?shù)胤趴s，從而順利完成數(shù)列不等式的證明.在數(shù)列不等式證明時(shí)，用到的“放縮法”主要有：

1.裂項(xiàng)放縮證明數(shù)列不等式

2.分式放縮證明數(shù)列不等式

3.添舍項(xiàng)放縮證明不等式

根據(jù)數(shù)列不等式的特點(diǎn)，將數(shù)列不等式的一邊添項(xiàng)或舍項(xiàng)進(jìn)行放縮以達(dá)到解決問(wèn)題的目的.如變式2.許多時(shí)候是多種方法共用，比如測(cè)試題或經(jīng)過(guò)多次放縮后才能達(dá)到證明不等式的目的.

七、教學(xué)啟示