甘肅 陳鴻斌

高考試題研究是高三復(fù)習中的一項重要工作,通過挖掘高考試題的命題特點可以及時掌握命題方向和趨勢,進而有效地反思和改進高三復(fù)習備考.本文通過對2022年全國乙卷理科第19題進行探究,分析了高考試題的命題特點和命題趨勢,進而反思高三備考復(fù)習策略,提出一點復(fù)習備考建議,以期拋磚引玉.

1 真題呈現(xiàn)

(2022·全國乙卷理·19)某地經(jīng)過多年的環(huán)境治理,已將荒山改造成了綠水青山,為估計一林區(qū)某種樹木的總材積量,隨機選取了10棵這種樹木,測量每棵樹的根部橫截面積(單位: m2)和材積量(單位: m3),得到如下數(shù)據(jù):

樣本號i12345678910總和根部橫截面積xi0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材積量yi0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9

(1)估計該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；

(2)求該林區(qū)這種樹木的根部橫截面積與材積量的樣本相關(guān)系數(shù)(精確到0.01)；

(3)現(xiàn)測量了該林區(qū)所有這種樹木的根部橫截面積，并得到所有這種樹木的根部橫截面積總和為186 m2.已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比．利用以上數(shù)據(jù)給出該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計值.

附:相關(guān)系數(shù)

2 同源真題比較

統(tǒng)計解答題對變量的相關(guān)關(guān)系問題的考查可以說并不陌生,早在2016年全國卷Ⅲ理科第18題和2020年全國卷Ⅱ理科第18題中就有所考查,下面的引題1和引題2分別為這兩年的高考真題.

【引題1】(2016·全國卷Ⅲ理·18)下圖是我國2008年至2014年生活垃圾無害化處理量(單位:億噸)的折線圖.

注:年份代碼1～7分別對應(yīng)年份2008～2014.

(1)由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明；

(2)建立y關(guān)于t的回歸方程(系數(shù)精確到0.01)，預(yù)測2016年我國生活垃圾無害化處理量.

(1)求該地區(qū)這種野生動物數(shù)量的估計值(這種野生動物數(shù)量的估計值等于樣區(qū)這種野生動物數(shù)量的平均數(shù)乘以地塊數(shù))；

(2)求樣本(xi，yi)(i=1，2，…，20)的相關(guān)系數(shù)(精確到0.01)；

(3)根據(jù)現(xiàn)有統(tǒng)計資料，各地塊間植物覆蓋面積差異很大.為提高樣本的代表性以獲得該地區(qū)這種野生動物數(shù)量更準確的估計，請給出一種你認為更合理的抽樣方法，并說明理由.

附：相關(guān)系數(shù)：

將2022年全國乙卷理科第19題與引題1和引題2相互比較,如下表所示:

題目2022年全國乙卷理科第19題引題1:2016年全國卷Ⅲ理科第18題引題2:2020年全國卷Ⅱ理科第18題不同點本題更具開放性,考生可以利用表格直接計算相關(guān)系數(shù),但運算量太大;也可以對相關(guān)系數(shù)公式變形,代入已知數(shù)據(jù),較易.可以看出本題更關(guān)注對公式本身的理解需要對相關(guān)系數(shù)公式部分變形,不變形無法求解,單向考查對公式本身的理解直接代入相關(guān)系數(shù)公式,比較機械,運算量大相似點問題背景三道題均以生態(tài)環(huán)境建設(shè)為素材背景進行命題設(shè)問形式三道題都設(shè)置了相關(guān)系數(shù)的運算問題.其中本題與引題2設(shè)問形式相同,均設(shè)三問.考查角度三道題都考查相關(guān)系數(shù)的運算,數(shù)據(jù)處理能力、運算求解能力和應(yīng)用意識,落實數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng).其中引題1和引題2都還考查了相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計意義.本題和引題1求解相關(guān)系數(shù)都需要變形公式

從上表分析可以看出,2022年全國乙卷在引題1和引題2的基礎(chǔ)上有所創(chuàng)新,就相關(guān)系數(shù)而言,本題與2016年的全國卷Ⅲ理科第18題更為相似,但本題更具開放性,給考生提供了選擇空間.

3 真題解答

≈0.97.

【點評】從上面的解答可以發(fā)現(xiàn),總體求解思路還是比較簡單的,但是第(2)問有區(qū)分度：一是不對相關(guān)系數(shù)公式進行變形,直接從表格中獲取數(shù)據(jù),這樣對已知提示數(shù)據(jù)利用不高而導(dǎo)致運算極大;二是對相關(guān)系數(shù)公式進行變形代入計算,但是運算量仍然不小.縱觀近幾年的高考試題,對數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)的考查力度呈現(xiàn)加大趨勢.

4 命題特點分析

4.1 設(shè)置生態(tài)環(huán)境建設(shè)的現(xiàn)實情境,發(fā)揮育人功能

高考數(shù)學(xué)命題堅持思想性與科學(xué)性的統(tǒng)一,發(fā)揮數(shù)學(xué)的應(yīng)用廣泛性,設(shè)置具有教育意義的現(xiàn)實情境,發(fā)揮育人功能.本題和引題1、引題2一樣,都是以生態(tài)環(huán)境建設(shè)為背景,考查學(xué)生統(tǒng)計的基本知識和基本方法的同時,考查關(guān)鍵能力和核心素養(yǎng).從本題中學(xué)生可以了解到我國生態(tài)環(huán)境建設(shè)取得的巨大成就,有助于增強學(xué)生的愛國主義精神,引導(dǎo)學(xué)科教學(xué)應(yīng)注重課程思政,發(fā)揮育人功能,弘揚正能量和核心價值觀,以立德樹人為根本任務(wù).

4.2 平淡中有創(chuàng)新

本題的設(shè)問以及題干的表述都很常規(guī),但是求解相關(guān)系數(shù)的過程具有創(chuàng)新性：一是打破了像引題2那樣直接給出的機械代入模式.這種模式可以說基本上貫穿了整個高三復(fù)習歷程,而且給考生一種“統(tǒng)計問題就是帶值計算”的錯誤認知,雖然說引題1已經(jīng)對公式本身的理解有所導(dǎo)向,但是時間較久,復(fù)習備考中重視不夠,所以成了思維定式.二是相比較引題1,本題更具開放性,雙重選擇下尋找最優(yōu)解題策略.這就使得本題具有很大的創(chuàng)新性.

4.3 命制有梯度、著力于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查

本題第(1)、(3)問,大多數(shù)考生都能拿下,考查要求體現(xiàn)了基礎(chǔ)性,但是第(2)問就不那么容易了.雖易上手,但不易走出來.如果選擇從表格里獲取數(shù)據(jù)計算相關(guān)系數(shù),運算量很大,很多考生在這里投入大量時間卻無結(jié)果.根據(jù)題目中的數(shù)據(jù),需要對相關(guān)系數(shù)公式進行變形才能代入計算,但是從解答來看,運算量還是不小.可以看出,本題在面向大多數(shù)考生的同時,對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)提出了要求,如果數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)不夠,那么是算不出結(jié)果的.當然首先要從現(xiàn)實情境中獲取數(shù)據(jù),抽象成數(shù)學(xué)模型才能完成本題的解答.因此,本題是以素養(yǎng)立意,考查運算求解、數(shù)據(jù)處理的能力和應(yīng)用意識,落實數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).

5 命題趨勢

從上面2022全國乙卷理科第19題的命題特點來看,2023年高考數(shù)學(xué)統(tǒng)計解答題應(yīng)具有以下的命題趨勢:

(1)仍然設(shè)置現(xiàn)實情境問題,發(fā)揮育人功能；

(2)數(shù)學(xué)運算關(guān)注知識的原理、化簡,不再是簡單的機械代入；

(3)仍然立足于數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析和數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)的考查.

6 幾點建議

6.1 統(tǒng)計復(fù)習不能停留在機械的套用公式上

如今高三備考對統(tǒng)計部分的復(fù)習基本上停留在機械的代入現(xiàn)成公式,缺少對公式本身的理解,因為高考試題會附參考公式,所以學(xué)生對公式的表達式也不要求記憶,致使統(tǒng)計部分對基本公式的掌握連死記硬背的程度都沒有達到,只是停留在對現(xiàn)成公式的死搬硬套上.通過對今年高考試題的命題特點的分析,啟示我們在今后在統(tǒng)計部分的復(fù)習中,要引導(dǎo)學(xué)生熟練掌握基本公式的意義、推導(dǎo)及變形,對數(shù)學(xué)公式、概念深刻理解,才能適應(yīng)高考的不斷創(chuàng)新.只有理解了必備知識,才能培養(yǎng)關(guān)鍵能力.

6.2 高三復(fù)習應(yīng)注重大單元整體復(fù)習策略

無論是2022年全國乙卷理科第19題還是引題1、引題2,他們并不是單純的考查相關(guān)系數(shù)的計算,還會交匯回歸分析、樣本估計總體等知識.所以我們在復(fù)習備考中不是點對點,而是要成面結(jié)網(wǎng),注重知識的聯(lián)系性,打破現(xiàn)有章節(jié)的限制,將相關(guān)的知識整合在一起,采用大單元整體復(fù)習策略,重新建構(gòu)認知結(jié)構(gòu),有助于從整體上理解數(shù)學(xué)知識.大單元整體建構(gòu)知識不是簡單的知識點的羅列,而是要對統(tǒng)計這一模塊的知識重新整合,不僅要體現(xiàn)知識之間的上下位從屬關(guān)系,而且還要體現(xiàn)邏輯關(guān)系,這樣的知識梳理才具有體系化和網(wǎng)絡(luò)化,如圖所示.

上圖是筆者在復(fù)習備考統(tǒng)計這一模塊時,引導(dǎo)學(xué)生重新建構(gòu)的知識體系,源自于筆者對教材的重新整合,以及歷年高考試題的命題規(guī)律.學(xué)生對知識有了清晰的框架結(jié)構(gòu),解題思路才具有系統(tǒng)化和體系化.

6.3 高三備考復(fù)習仍要重視發(fā)展數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)