俞 靜, 周 沫, 黃堂友, 郝敏佳, 陳 璽

(上海大學(xué)理學(xué)院, 上海 200444)

量子計(jì)算領(lǐng)域始于19 世紀(jì)80 年代. 基于量子的相干疊加和糾纏特性, 量子計(jì)算被認(rèn)為是有望延續(xù)摩爾定律[1], 克服經(jīng)典計(jì)算能力瓶頸的新型計(jì)算模式[2]. 多年來(lái), 實(shí)現(xiàn)量子計(jì)算的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)呈多樣性發(fā)展, 如超導(dǎo)量子電路[3-7]、離子阱體系[8-9]、光學(xué)系統(tǒng)[9-11]等, 其中超導(dǎo)量子電路因其高集成性、可操控性和設(shè)計(jì)靈活性, 成為了實(shí)現(xiàn)量子計(jì)算的主流平臺(tái). 用于量子計(jì)算的超導(dǎo)電路系統(tǒng)可以分為兩類: 一類是由約瑟夫森結(jié)(Josephson junction, JJ)構(gòu)成的宏觀電路[12-13], 具備高非諧性, 可以模擬原子系統(tǒng)的能譜, 構(gòu)成量子計(jì)算的基本單元, 即量子比特; 另一類是由線性元件(電容器、電感器)組成的微波諧振子[14-16], 構(gòu)成與量子比特相互作用的“光子源”.

超導(dǎo)量子電路平臺(tái)的快速發(fā)展推動(dòng)了電路量子電動(dòng)力學(xué)(circuit quantum electrodynamics, cQED)領(lǐng)域的研究[7,17], 使得人們能夠在宏觀量子系統(tǒng)中研究量子光學(xué)和量子信息處理. 首先, 與腔量子電動(dòng)力學(xué)(cavity quantum electrodynamics, CQED)中使用的三維微波腔[18]不同, cQED 平臺(tái)中的諧振子是一維系統(tǒng), 能夠?qū)崿F(xiàn)更強(qiáng)的電磁場(chǎng)真空漲落. 其次, 由于cQED 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)的可塑性強(qiáng), 人們可以設(shè)計(jì)人造原子, 從而實(shí)現(xiàn)比自然原子更大的原子電偶極矩和磁偶極矩[19-20]. 因此, 在cQED 系統(tǒng)中, 通過(guò)將人造原子與諧振子耦合, 可以實(shí)現(xiàn)在自然系統(tǒng)中無(wú)法達(dá)到的光與物質(zhì)耦合強(qiáng)度, 如超強(qiáng)耦合(ultra-strong coupling, USC)區(qū)間[19-22]、深度強(qiáng)耦合(deep-strong coupling, DSC)區(qū)間[23-24]等. 此外, 隨著光與物質(zhì)耦合強(qiáng)度的不斷突破, 關(guān)于“人造原子與微波諧振腔之間是否存在基本的耦合極限”這一問(wèn)題也受到了廣泛關(guān)注, 并迅速成為cQED 領(lǐng)域和量子光學(xué)領(lǐng)域的研究重點(diǎn)之一.

本工作圍繞如何在超導(dǎo)量子電路中, 實(shí)現(xiàn)光與物質(zhì)的USC 這一問(wèn)題展開(kāi)研究. 首先, 研究了單個(gè)電荷量子比特, 即庫(kù)珀對(duì)盒子(Cooper-pair box, CPB)[3-4]與LC 諧振子耦合的超導(dǎo)電路, 并通過(guò)定義耦合比率來(lái)量化耦合強(qiáng)度與約瑟夫森能量和LC 諧振子阻抗的依賴關(guān)系. 其次, 通過(guò)優(yōu)化目標(biāo)函數(shù), 給出了滿足子系統(tǒng)共振、耦合強(qiáng)度到達(dá)USC 區(qū)間所需的電路元件參數(shù), 其中所有參數(shù)取值皆在cQED 實(shí)驗(yàn)室的可行范圍內(nèi). 再次, 在此基礎(chǔ)上, 進(jìn)一步研究了USC 的雙比特模型, 并提出該系統(tǒng)可作為非相干中介, 實(shí)現(xiàn)兩個(gè)Transmon 比特間的量子態(tài)轉(zhuǎn)移(quantum-state transfer, QST), 且在考慮一定耗散和退相干的影響下, 通過(guò)求解Lindblad 方程驗(yàn)證了該QST 過(guò)程具有一定的抗噪性. 最后, 對(duì)研究結(jié)果進(jìn)行了總結(jié)和展望.

1 模型與哈密頓量

圖1 所示為單量子比特超導(dǎo)電路模型. 它由一個(gè)LC 諧振子(紅色)通過(guò)電容器Cc(綠色)與CPB 系統(tǒng)(藍(lán)色)耦合組成, 其中振蕩電路(LC 諧振子)由電容器Cr與電感器Lr并聯(lián)構(gòu)成; CPB 包含了電容器CJ和約瑟夫森結(jié)EJ. 為了控制電路中的庫(kù)珀對(duì)數(shù)目, 將電壓源Vg通過(guò)門(mén)電容Cg與約瑟夫森結(jié)耦合. 此外,ΦJ、Φr和Φ1分別為描述CPB 系統(tǒng)、LC 諧振子和接地電容Cp的分支磁通量, 并得到系統(tǒng)的拉格朗日量為

圖1 LC 諧振子(紅色)與單個(gè)CPB(藍(lán)色)通過(guò)電容器Cc(綠色)耦合的單量子比特超導(dǎo)電路示意圖Fig.1 Illustration for the one-qubit superconducting circuit where the LC resonator (red) coupled to the CPB (blue) through capacitor Cc (green)

式中,QJ和Qr分別表示CPB 系統(tǒng)與LC 諧振子的電荷量(QJ≡?L1/?˙ΦJ). 此外, 考慮CPB 系統(tǒng)的門(mén)電荷數(shù)ng= 0.5, 定義系統(tǒng)的有效約瑟夫森電容(～CJ)、諧振子電容(～Cr)、耦合電容(CJr)和門(mén)電容(CJg、Crg)分別為

本工作假定CPB 系統(tǒng)處于電荷區(qū)間, 且門(mén)電荷數(shù)ng= 0.5. 在這種情況下, CPB 系統(tǒng)低能級(jí)間的非諧性很高, 可以被有效近似為一個(gè)頻率為ωq的二能級(jí)系統(tǒng), 即電荷量子比特[3], 其中ωq=EJ僅依賴于約瑟夫森能量. 同時(shí), CPB 系統(tǒng)的庫(kù)珀對(duì)數(shù)算符可以表示為^nJ=(I+σx)/2, 其中I 是單位矩陣,σx為泡利矩陣. 在這種近似下, 式(9)的哈密頓量變?yōu)?/p>

式中, ～g=g/2 為CPB 系統(tǒng)與LC 諧振子之間的有效耦合強(qiáng)度. 需注意, 當(dāng)～g很小時(shí), 耦合項(xiàng)I(a+a?)可以被絕熱消除. 此時(shí), CPB 和單模諧振子之間光與物質(zhì)的相互作用由量子拉比模型描述, 即

然而, 隨著耦合強(qiáng)度～g的增加, 耦合項(xiàng)I(a+a?)將改變系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué). 如圖2 所示: 當(dāng)系統(tǒng)耦合強(qiáng)度～g/ωr∈[0,0.3]時(shí), 系統(tǒng)處于微擾USC 區(qū)[27], 哈密頓量H1和HQRM的能譜高度重合; ～g/ωr∈[0.3,1]時(shí), 系統(tǒng)處于非微擾USC 區(qū)間, 此時(shí)兩種模型的能譜不再重疊, 哈密頓量H1和HQRM將描述不同的物理現(xiàn)象. 本工作將致力于探索光與物質(zhì)的耦合強(qiáng)度上限, 并實(shí)現(xiàn)子系統(tǒng)相互作用的USC 以及DSC. 因此, 本工作用哈密頓量H1而非HQRM描述CPB 系統(tǒng)和單模諧振子之間的相互作用.

圖2 哈密頓量H1 和HQRM 的能譜與耦合強(qiáng)度～g/ωr 的關(guān)系圖Fig.2 Energy spectrum of Hamiltonian H1 and HQRM as a function of coupling strength ～g/ωr

1.1 耦合強(qiáng)度

為了進(jìn)一步研究耦合強(qiáng)度～g與電路物理參數(shù)之間的依賴關(guān)系, 并描述子系統(tǒng)(CPB 和LC諧振子)之間的共振情況, 定義耦合比率R為

分析比值γ可知, 當(dāng)Cg、Cp?Cc、CJ時(shí),γ近似為1. 此時(shí), 式(14)中的耦合比率僅依賴于參數(shù)x, 即Rres≈x. 這意味著系統(tǒng)耦合比率將隨諧振子阻抗～Zr的增長(zhǎng)而持續(xù)增加[28].

綜上所述, 在圖1 所示的單量子比特超導(dǎo)電路中, 耦合強(qiáng)度不存在基本極限. 當(dāng)選取合適的電路參數(shù)(EJ、～Zr)時(shí), 系統(tǒng)的耦合強(qiáng)度可以到達(dá)USC 區(qū)間, 甚至是DSC 區(qū)間.

為進(jìn)一步研究單量子比特超導(dǎo)電路中耦合比率R和電路元件取值的依賴關(guān)系, 并驗(yàn)證在上述計(jì)算中使用二能級(jí)近似的合理性, 本工作利用Python 語(yǔ)言的優(yōu)化算法, 通過(guò)優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)(objective function)來(lái)得到相應(yīng)的優(yōu)化數(shù)值解, 其中目標(biāo)函數(shù)定義為

式中:ωq和〈e|^nJ|g〉是通過(guò)數(shù)值計(jì)算五能級(jí)CPB 系統(tǒng)獲得的;|g〉和|e〉分別是CPB 系統(tǒng)的基態(tài)和第一激發(fā)態(tài);Δ±=ωq±ωr. 該目標(biāo)函數(shù)能在維持子系統(tǒng)共振的情況下, 使得R不斷增長(zhǎng)至最佳值. 同時(shí)在優(yōu)化過(guò)程中對(duì)參數(shù)選取進(jìn)行了限制, 以確保所得元件參數(shù)在目前cQED 實(shí)驗(yàn)室的可行范圍內(nèi)[29], 即電容C ∈[0.11,550]fF、電感L ∈[100,1000]nH、約瑟夫森結(jié)EJ∈2π[4,11]GHz.

基于上述優(yōu)化程序可獲得耦合比率R與比值EJ/EC的依賴關(guān)系, 如圖3 所示, 其中藍(lán)色散點(diǎn)是由優(yōu)化算法得到的數(shù)值結(jié)果, 而橘色散點(diǎn)是通過(guò)解析式(13)所得. 在計(jì)算過(guò)程中, 固定了電路中所有的電容器與電感器取值, 僅改變了約瑟夫森能量EJ. 由圖3 可見(jiàn), 解析解和數(shù)值解之間具有高度一致性, 證實(shí)了本工作對(duì)CPB 系統(tǒng)施加二能級(jí)近似的合理性, 以及式(13)中耦合比值定義式的準(zhǔn)確性. 此外, 由圖3 還發(fā)現(xiàn), 當(dāng)CPB 系統(tǒng)向電荷區(qū)間趨近時(shí), 耦合強(qiáng)度不斷增加, 直至達(dá)到DSC 區(qū)間(R=2.92).

圖3 耦合比值R 與EJ/EC 的關(guān)系Fig.3 Relationship of coupling ratio R as a function of EJ/EC

圖4 在不同諧振子阻抗～Zr 下, 耦合比值R 與EJ/? 的關(guān)系Fig.4 Relationship of coupling ratio R as a function of EJ/? for different oscillator impedance

1.2 優(yōu)化參數(shù)

通過(guò)最小化目標(biāo)函數(shù)F1, 本工作獲得了實(shí)現(xiàn)單量子比特超導(dǎo)電路中, 子系統(tǒng)USC 所需的電路元件參數(shù), 并且在優(yōu)化過(guò)程中, 始終將元件的取值約束在實(shí)驗(yàn)可行范圍內(nèi)[29,32]. 表1 總結(jié)了電路元件取值, 以及相應(yīng)的哈密頓量中的物理參數(shù)和比值, 其中CPB 系統(tǒng)與諧振子滿足共振條件ωr=ωq=2π×8.53 GHz, 且二者之間的耦合強(qiáng)度達(dá)到USC 區(qū)間. 需注意, 為了實(shí)現(xiàn)較大的耦合強(qiáng)度, 需要構(gòu)造一個(gè)高阻抗諧振子, 但這會(huì)導(dǎo)致諧振子的電感非常大. 然而, 基于目前的超導(dǎo)技術(shù), 通過(guò)構(gòu)建一個(gè)約瑟夫森結(jié)鏈, 其有效電感可以達(dá)到L≤2.5 μH[32]. 這為本工作參數(shù)選取的合理性提供了理論支撐.

表1 單量子比特超導(dǎo)模型的電路參數(shù)以及相應(yīng)的哈密頓量參數(shù)和比值Table 1 Circuit parameters and the Hamiltonian parameters/ratios of the one-qubit superconducting model

上述對(duì)于單量子比特超導(dǎo)電路模型的研究結(jié)果可以推廣至如圖5 所示(其中Φ0、Φr、ΦJ1和ΦJ2分別對(duì)應(yīng)于通過(guò)電容器Cc0、LC 諧振子和2 個(gè)CPB 的磁通量)的雙量子比特超導(dǎo)系統(tǒng),其哈密頓量可以表示為

圖5 LC 諧振子與2 個(gè)CPB 耦合的雙量子比特超導(dǎo)電路示意圖Fig.5 Schematic diagram of the two-qubit superconducting circuit where the LC resonator coupled to two CPB

式中:g?是第?個(gè)CPB 和LC 諧振子之間的耦合強(qiáng)度;g12是2 個(gè)CPB 之間的耦合強(qiáng)度. 本工作僅研究物質(zhì)(CPB)與光(LC 諧振子)之間的耦合強(qiáng)度. 因此在探索雙比特系統(tǒng)時(shí), 對(duì)優(yōu)化問(wèn)題進(jìn)行了限制, 以抑制量子比特之間的直接相互作用, 即考慮2 個(gè)比特之間的耦合強(qiáng)度

表2 雙量子比特超導(dǎo)模型的電路參數(shù)以及相應(yīng)的哈密頓量參數(shù)和比值Table 2 Circuit parameters and the Hamiltonian parameters/ratios of the two-qubit superconducting model

綜上所述, 通過(guò)解析和數(shù)值計(jì)算, 本工作證明了在電荷量子比特與LC 諧振子耦合的電路中, 耦合強(qiáng)度不存在基本上限. 通過(guò)增大諧振子阻抗和減小約瑟夫森能量, 可以在子系統(tǒng)共振的情況下, 到達(dá)USC/DSC 區(qū)間.

2 量子態(tài)的轉(zhuǎn)移

第1 節(jié)討論了實(shí)現(xiàn)CPB 系統(tǒng)與LC 諧振子USC 和DSC 所需的物理?xiàng)l件. 第2 節(jié)將進(jìn)一步分析圖5 中雙CPB 模型的能譜特性, 并將此構(gòu)造塊作為非相干中介(incoherent mediator)[33],以執(zhí)行QST, 即將激發(fā)態(tài)從一個(gè)Transmon 系統(tǒng), 通過(guò)非相干中介(雙比特USC 模型)轉(zhuǎn)移到另一個(gè)Transmon 系統(tǒng)上(見(jiàn)圖6).

圖6 實(shí)現(xiàn)QST 的示意圖Fig.6 Illustration of the QST protocol

首先, 運(yùn)用二能級(jí)近似, 將式(17)中的兩個(gè)CPB 縮減為二能級(jí)系統(tǒng), 得到中介系統(tǒng)的哈密頓量為

其次, 如圖6 所示, 考慮兩個(gè)Transmon 系統(tǒng)分別以耦合強(qiáng)度λ1和λ2與USC 中介通過(guò)電容器C2和C3耦合. 因此, QST 模型的總哈密頓量可以表示為

式中:ωk,m是第m個(gè)Transmon 系統(tǒng)的第k個(gè)能級(jí)的頻率;σk,mm=|km〉〈km|和^nm分別是Transmon 系統(tǒng)的投影算符和庫(kù)珀對(duì)數(shù)算符. 需注意, Transmon 系統(tǒng)的相對(duì)非諧性較低[34], 無(wú)法將其直接近似為一個(gè)二能級(jí)系統(tǒng). 因此在哈密頓量HQST中, 會(huì)先考慮三能級(jí)Transmon 系統(tǒng), 并假設(shè)系統(tǒng)的相對(duì)非諧性為αr,j= (ω12,m-ω01,m)/ω01,m=-0.096(ωαβ,m=ωβ,m-ωα,m).

最后, 本工作將對(duì)式(19)中的哈密頓量展開(kāi)具體研究, 并分別分析在幺正演化(不考慮外部環(huán)境)和考慮外部損耗的情況下, 量子QST 協(xié)議的有效性.

2.1 幺正演化

首先, 假定QST 系統(tǒng)不受外部環(huán)境影響, 并將系統(tǒng)的演化過(guò)程視為嚴(yán)格的幺正演化. 在執(zhí)行QST 協(xié)議時(shí), 需要調(diào)節(jié)Transmon 系統(tǒng)的一階躍遷能ω01,m, 使其與中介系統(tǒng)的禁戒躍遷能共振. 在此情況下, Transmon 系統(tǒng)的能量無(wú)法被中介吸收, 進(jìn)而轉(zhuǎn)移到另一個(gè)Transmon 系統(tǒng)上,實(shí)現(xiàn)了QST.分析式(19)可知,中介系統(tǒng)的禁戒躍遷能與耦和算符(a+a?)相關(guān).因此,通過(guò)數(shù)值計(jì)算耦和算符的矩陣元素〈ψj|(a+a?)|ψk〉, 可得系統(tǒng)的禁戒躍遷信息, 其中|ψj〉是中介哈密頓量在綴飾態(tài)下的本征態(tài). 通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn), 當(dāng)～g?/ωr=0.3 時(shí), 矩陣元素〈ψ1|(a+a?)|ψ3〉=0.這意味著USC 系統(tǒng)在|ψ3〉 →|ψ1〉之間禁戒躍遷, 可得禁戒躍遷能為Δ13. 當(dāng)系統(tǒng)處于非微擾USC 區(qū)(～g?/ωr=0.5)時(shí), 系統(tǒng)|ψ4〉→|ψ1〉之間禁戒躍遷, 其禁戒躍遷能為Δ14.

基于上述兩個(gè)在不同耦合強(qiáng)度下的USC 系統(tǒng)禁戒躍遷能級(jí), 對(duì)QST 過(guò)程展開(kāi)具體的數(shù)值計(jì)算. 將QST 系統(tǒng)初始化為量子態(tài)|0〉|ψ0〉|1〉 ∈HTransmon1?HUSC?HTransmon2, 并分別在耦合比率為～g?/ωr= 0.3 和0.5 時(shí), 數(shù)值計(jì)算Transmon 系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)演化過(guò)程. 如圖7 所示, 當(dāng)CPB 頻率與禁戒躍遷能共振時(shí), 量子態(tài)|0〉|ψ0〉|1〉和|1〉|ψ0〉|0〉之間的布居數(shù)反轉(zhuǎn), 驗(yàn)證了本工作所提出的QST 協(xié)議的可行性. 此外, 隨著CPB 系統(tǒng)與LC 諧振子耦合強(qiáng)度～g的增大, Transmon 系統(tǒng)量子態(tài)反轉(zhuǎn)所需的時(shí)間也同樣增加, 即當(dāng)～g= 0.3ωr時(shí), 量子態(tài)反轉(zhuǎn)需要t= 17.75 ns; 而當(dāng)～g= 0.5ωr時(shí),t= 245.31 ns. 與此同時(shí)還發(fā)現(xiàn), 布居數(shù)大多處于Transmons 的兩個(gè)最低量子態(tài)(|0〉、|1〉), 而第二激發(fā)態(tài)并沒(méi)有對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)造成影響. 因此, 在接下來(lái)的討論中, 僅考慮二能級(jí)Transmon 系統(tǒng), 式(19)中的哈密頓量可以改寫(xiě)為

圖7 量子態(tài)|1〉|ψ0〉|0〉和|0〉|ψ0〉|1〉的布居數(shù)(ωq,1 =ωq,2 =ωr =2π×6 GHz)Fig.7 Populations between the state |1〉|ψ0〉|0〉 and the state |0〉|ψ0〉|1〉 (ωq,1 =ωq,2 =ωr =2π×6 GHz)

2.2 系統(tǒng)損耗的影響

實(shí)際上, 量子系統(tǒng)并不完全孤立. 一方面, 需要利用與外部環(huán)境的耦合來(lái)控制量子系統(tǒng);另一方面, 量子系統(tǒng)的某些自由度會(huì)與環(huán)境發(fā)生不可控的相互作用. 因此, 必須考慮QST 系統(tǒng)為開(kāi)放量子系統(tǒng), 并與一個(gè)熱庫(kù)弱耦合, 進(jìn)而研究在損耗機(jī)制下QST 協(xié)議的魯棒性. 需注意,當(dāng)中介系統(tǒng)的耦合強(qiáng)度達(dá)到USC/DSC 區(qū)間時(shí), 系統(tǒng)的耗散動(dòng)力學(xué)很大程度上取決于子系統(tǒng)之間的相互作用, 因此, 早期量子光學(xué)中使用的標(biāo)準(zhǔn)主方程形式不再有效[35]. 在這種情況下,本工作遵循規(guī)范方法, 即在計(jì)算系統(tǒng)和環(huán)境相互作用時(shí), 將USC 中介的哈密頓量對(duì)角化. 此時(shí), 系統(tǒng)的衰減率取決于系統(tǒng)的躍遷能, 并且耦合算符σz在綴飾態(tài)中不再是對(duì)角化形式. 這意味著去極化噪聲在引起退相位的同時(shí), 會(huì)造成能量弛豫.

上述耗散物理現(xiàn)象都可以由主方程法描述, 它是研究開(kāi)放量子系統(tǒng)的常用方法. 在推導(dǎo)主方程的過(guò)程中, 需要運(yùn)用Markov 近似和Born 近似, 即考慮量子系統(tǒng)在t+dt時(shí)的量子態(tài)僅依賴于t時(shí)刻的量子態(tài), 且量子系統(tǒng)不會(huì)影響環(huán)境的狀態(tài). 基于這兩個(gè)近似, 可得Lindblad 主方程[35-37]為

式中,ωT=kBT/? 為熱頻率.

在上述計(jì)算過(guò)程中, 僅考慮了USC 中介的子系統(tǒng)(LC 諧振子、CPB)能量損失是由具有歐姆頻譜密度的熱庫(kù)引起的[36], 而系統(tǒng)的量子相干性損失主要是由電荷噪聲引起的[38].

因此, 基于式(21)中的QST 系統(tǒng)主方程, 在考慮損耗的情況下, 對(duì)QST 過(guò)程進(jìn)行數(shù)值計(jì)算. 將系統(tǒng)初始化為量子態(tài)ρ1=|1〉〈1|?ρTh?|0〉〈0|. 這里中介系統(tǒng)的初態(tài)為熱狀態(tài)(thermal

圖8 描述了當(dāng)耦合強(qiáng)度～g?/ωr= 0.3 和0.5 時(shí), Transmon 比特在損耗情況下的量子態(tài)布居數(shù)變化. 結(jié)果發(fā)現(xiàn): 在t= 17.75 和245.31 ns 時(shí), 量子態(tài)ρ1和量子態(tài)ρ2(ρ2=|0〉〈0|?ρTh?|1〉〈1|)之間的布居數(shù)反轉(zhuǎn); 當(dāng)CPB 與LC 諧振子耦合強(qiáng)度較小時(shí), 即～g= 0.3ωr時(shí), 由于發(fā)生布居數(shù)反轉(zhuǎn)所需的時(shí)間較短, 噪聲并沒(méi)有對(duì)Transmon 系統(tǒng)間的QST 造成太大影響.

圖8 在考慮系統(tǒng)損耗下, 量子態(tài)ρ1 =|1〉〈1|?ρTh ?|0〉〈0|和ρ2 =|0〉〈0|?ρTh ?|1〉〈1|之間的布居數(shù)(ωq,1(2) =ωr =2π×6 GHz, λ1(2) =0.02 ωr)Fig.8 Populations between the state ρ1 =|1〉〈1|?ρTh?|0〉〈0|and the state ρ2 =|0〉〈0|?ρTh?|1〉〈1|(ωq,1(2) =ωr =2π×6 GHz, λ1(2) =0.02 ωr) by considering dissipative system

為了進(jìn)一步研究QST 協(xié)議的有效性, 本工作計(jì)算了QST 過(guò)程的保真度, 即FQST=tr(ρ(t)ρ2), 其中ρ(t)是式(21)中的主方程密度矩陣解. 如圖9 所示: 當(dāng)～g/ωr= 0.3 時(shí), 系統(tǒng)的最大保真度為FQST= 0.980 3; 當(dāng)～g/ωr= 0.5 時(shí), 最大保真度為FQST= 0.878 3, 驗(yàn)證了本工作的推論.

圖9 量子態(tài)ρ2 與ρ(t)之間的QST 過(guò)程保真度Fig.9 Fidelity of the QST process between the state ρ2 and the state ρ(t)

3 結(jié)束語(yǔ)

本工作基于CPB 系統(tǒng)與LC 諧振子耦合的超導(dǎo)電路模型研究了光與物質(zhì)的相互作用. 結(jié)果表明, 通過(guò)減小約瑟夫森能量和增大諧振子阻抗, 耦合強(qiáng)度可以不斷增加, 并且能夠在子系統(tǒng)共振的同時(shí), 到達(dá)USC/DSC 區(qū)間. 通過(guò)數(shù)值優(yōu)化目標(biāo)函數(shù), 給出了在單量子比特系統(tǒng)與雙量子比特系統(tǒng)中, 實(shí)現(xiàn)光與物質(zhì)USC 所需的電路元件參數(shù). 在此基礎(chǔ)上, 利用所得的雙量子比特系統(tǒng)作為非相干中介, 在考慮外部損耗的情況下, 實(shí)現(xiàn)了兩個(gè)Transmon 比特間的QST,并驗(yàn)證了本方案在開(kāi)放量子系統(tǒng)中具有一定的抗噪聲能力. 本工作有望在多比特超導(dǎo)量子系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)USC, 并對(duì)多量子比特的制備、轉(zhuǎn)移和抗噪聲設(shè)計(jì)提供理論基礎(chǔ), 也為在光與物質(zhì)USC 的超導(dǎo)量子系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)量子調(diào)控、模擬和量子信息處理提供了可選方案.