盛 哲 周文海 高慶飛 董力耘

(1. 上海大學(xué)力學(xué)與工程科學(xué)學(xué)院, 上海市應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)研究所, 上海 200072;2.上海市力學(xué)在能源工程中的應(yīng)用重點實驗室, 上海 200072)

城市道路網(wǎng)絡(luò)中存在多種交通瓶頸,如進口、出口匝道、交叉路口、交通信號燈、道路縮減或車輛限速等. 車輛進出居民小區(qū)是日常的交通行為, 在上、下班高峰期間, 車輛頻繁離開或進入小區(qū), 會對局部交通產(chǎn)生明顯的影響. 車輛即將到達小區(qū)入口, 通常都會提前減速, 這樣就會出現(xiàn)一個固定的動態(tài)瓶頸, 可能導(dǎo)致局部擁堵. 車輛出、入小區(qū)與車輛進、出匝道有類似之處, 如車輛進入小區(qū)和車輛駛?cè)氤隹谠训蓝际擒囕v離開當(dāng)前道路. Diedrich 等[1]和Huang[2]都基于NaSch 模型研究了周期邊界條件下出、入口匝道對單車道系統(tǒng)的影響. Jia 等[3]研究了帶有出口下匝道的雙車道系統(tǒng), 考慮了有、無出車道兩種情況. Ez-Zaharaouy 等[4]研究了開放邊界下帶出口匝道的單車道系統(tǒng). 江金勝等[5]研究了帶雙下匝道的雙車道系統(tǒng), 考慮了可變信息標(biāo)志(variable message sign, VMS)的誘導(dǎo)作用. 康瑞等[6]研究了有下匝道的雙車道系統(tǒng), 考慮了匝口指示牌誘導(dǎo)作用下的敏感換道行為. Liu 等[7]采用流體力學(xué)模型研究了由下匝道導(dǎo)致的強迫換道行為的影響. Dong 等[8]研究了混入智能車的車流經(jīng)過下匝道瓶頸的交通流特征,并應(yīng)用了機器學(xué)習(xí)算法. 當(dāng)車輛的目標(biāo)小區(qū)在當(dāng)前道路的另一側(cè), 司機就要掉頭或者直接換道至逆向車道再進入小區(qū), 因而車輛進出小區(qū)對于局部路段的雙向交通流都會產(chǎn)生影響. Lee等[9]將非對稱排它過程擴展應(yīng)用于雙向交通流的研究. Fouladvand 等[10]和Popkov 等[11]研究了精確可解的雙向交通流模型. Appert-Rolland 等[12]研究了可超車的雙向兩車道交通中的自發(fā)對稱性破缺現(xiàn)象. Simon 等[13]首次基于NaSch 模型提出了實用的雙向交通流模型(SG 模型). 鄭容森等[14]基于NaSch 模型研究了雙向兩車道混合交通流特性. Moussa[15-16]指出SG模型中未能順利超車可能導(dǎo)致嚴重的阻塞, 通過改進模型研究了出現(xiàn)車輛碰撞的情況. Echab等[17]研究了周期邊界下雙向兩車道系統(tǒng)中超車行為對通行能力的影響.

車輛進入小區(qū)與車輛駛?cè)氤隹谠训赖牟煌幵谟? 除非出口匝道下游擁堵, 車輛在駛?cè)氤隹谠训罆r并不需要明顯減速; 而車輛進入小區(qū)則必然會減速, 如有些小區(qū)門口設(shè)有提醒減速慢行的限速牌, 限速5 km/h. 在一般雙向交通中, 車輛為了超車而臨時借用逆向車道, 具有較大的危險性. 而當(dāng)車輛為了進入在道路另一側(cè)的居民小區(qū), 都會減速并停車等待, 在滿足安全條件下, 再換至逆向車道. 由于車輛進入小區(qū)的意圖明顯, 此時換道相對安全, 如果車輛不能及時換道, 會對當(dāng)前車道產(chǎn)生嚴重影響. 因此, 在車輛進入居民小區(qū)或換道過程中都會形成瓶頸, 從而降低路段的通行能力. 文獻調(diào)研尚未發(fā)現(xiàn)從交通流動力學(xué)角度系統(tǒng)地研究這個瓶頸問題, 因此, 本工作基于元胞自動機模型研究車輛進入居民小區(qū)的行為如何影響局部道路的通行效率, 并探討小區(qū)入口的最佳位置.

1 模 型

1.1 單向單車道模型

當(dāng)小區(qū)入口處于車輛當(dāng)前行駛路段的鄰側(cè)時, 車輛在接近入口時會提前減速, 并將右轉(zhuǎn)進入小區(qū). 這是最簡單的情況, 采用單向單車道模型來描述. 假設(shè)車道1 上車輛由左向右行駛(見圖1), 其中有兩類車: ①入?yún)^(qū)車(紅色向下三角形?表示), 它將進入小區(qū), 而不會駛過小區(qū)入口; ②過路車(藍色向右三角形?表示), 它們經(jīng)過當(dāng)前路段, 但不會進入小區(qū). 本工作采用開放邊界條件, 道路左側(cè)綠色連續(xù)元胞為車輛生成區(qū)域, 每個時間步, 車輛以一定進車概率α生成. 路段中央X1處的黃色元胞為小區(qū)RA1 入口. 小區(qū)入口上游為路段A, 下游為路段B. 在路段B 僅有過路車, 這些車輛將從道路右端駛出系統(tǒng).

圖1 單向單車道時車輛進入小區(qū)示意圖Fig.1 Sketch of vehicles entering a residential area on a one-way one-lane system

車輛運動采用元胞自動機模型來描述. 已有的相關(guān)研究中大多采用NaSch 模型[1], 但是在城市道路中, 常?？梢杂^察到靜止車輛的慢啟動現(xiàn)象, 如交通信號燈由紅轉(zhuǎn)綠時部分車輛的延遲啟動. 因此, 本工作采用考慮慢啟動效應(yīng)的VDR(velocity-dependent randomization)模型[2], 該模型簡單、計算效率高. 此外, 為了描述入?yún)^(qū)車輛在小區(qū)入口上游附近的提前減速過程, 在模型中引入期望時間τ. 本工作中暫時不考慮交通信號燈的影響.

式中:p0、p1分別為靜止、運動車輛對應(yīng)的減速概率值, 且p0?p1.

(2) 確定間距和期望速度.

第i輛車為過路車時, 其與前車的間距為

式中:xi+1(1)(t)是第i輛車前方緊鄰車輛的位置. 假設(shè)所有車輛長度li相等, 即li= 1. 對于頭車, 可以直接指定一個足夠大的間距(假設(shè)該車可以無阻礙地離開當(dāng)前路段).

第i輛車為入?yún)^(qū)車時, 其與前車的間距為

對于路段A 內(nèi)的入?yún)^(qū)車, 其期望速度為

式中:是向上取整函數(shù). 當(dāng)入?yún)^(qū)車在小區(qū)入口上游附近, 即使前方?jīng)]有車輛, 也會主動減速.一般而言,τ越大, 車輛開始減速的位置距離小區(qū)入口越遠. 過路車的期望速度為最大速度, 即vdes=vmax.

(3) 調(diào)整速度.

(4) 基于安全考慮的減速,

(5) 以概率pd隨機減速,

在t時刻處于靜止?fàn)顟B(tài)的車輛有更大的減速概率(見規(guī)則(1)), 表明靜止車輛的平均啟動延遲時間會更久.

(6) 車輛的運動,

入?yún)^(qū)車將會減速停在入口處, 等待下一時間步進入小區(qū).

(7) 車輛進小區(qū)/離開系統(tǒng).

另外, 開放邊界條件如下: 在車道左側(cè)入口區(qū)域(綠色元胞)以進車概率α在[-vmax+1,0]產(chǎn)生一輛速度為vmax的車輛j, 如果下一時刻, 其位置xj ＞0, 表明該車成功進入路段,否則將被清除. 注意到當(dāng)前系統(tǒng)中有兩類車輛: 入?yún)^(qū)車和過路車.γ表示進入小區(qū)車輛的概率(入?yún)^(qū)概率). 當(dāng)γ=0 時, 此時所有車輛均為過路車; 當(dāng)γ=1 時, 此時所有車輛均為入?yún)^(qū)車.在路段下游出口和小區(qū)入口處車輛以概率β離開. 本工作中設(shè)β=1, 即車輛總是可以無障礙地離開當(dāng)前路段.

1.2 雙向兩車道模型

由于住宅區(qū)中間的道路多為雙向兩車道, 本工作在單向單車道模型的基礎(chǔ)上, 考慮入?yún)^(qū)車在路口掉頭進入當(dāng)前道路對面小區(qū)的情況. 圖2 為雙向兩車道時車輛進入小區(qū)示意圖. 在車道1 上的要進入小區(qū)RA2 的車輛, 它將沿車道1 繼續(xù)前行, 直到道路1 的終點處停下等待; 當(dāng)車道2 上的車輛位置更新以后, 如果車道2 上對應(yīng)的元胞未被占據(jù), 則它將換道至車道2. 車道1 的出口處用▲標(biāo)識, 車道2 的出口處用▼標(biāo)識. 兩個小區(qū)RA1 和RA2, 分別位于道路的兩側(cè), 相對于道路中心對稱分布. 車道1 根據(jù)小區(qū)入口位置分為A、B 和C 3 個路段. 在情形1 中, RA1 位于車道1 的上游; 在情形2 中, RA1 位于車道1 的下游. 每條車道上有3 種車輛:進RA1 的車輛(▽)、進RA2 的車輛(△)、過路車(車道1 上為?, 車道2 上為?).

圖2 雙向兩車道時車輛進入小區(qū)示意圖Fig.2 Sketch of vehicles entering a residential area on a two-way two-lane system

雙向兩車道交通流元胞自動機模型的規(guī)則可用車道1上的車輛運動來說明. 為節(jié)省篇幅,與單車道模型相同的部分僅做簡述, 不同之處加以說明.

(1) 在兩車道左、右入口處各以一定概率αj(j= 1,2)產(chǎn)生一輛車, 該車可能為入?yún)^(qū)車或過路車, 其速度均為vmax.

(2) 確定隨機減速概率pd.

(4) 調(diào)整速度與單車道模型規(guī)則(3)相同.

(5) 基于安全考慮的減速與單車道模型規(guī)則(4)相同.

(6) 以概率pd隨機減速與單車道模型規(guī)則(5)相同.

(7) 車輛的運動與單車道模型規(guī)則(6)相同. 對于要進入逆向道路相鄰小區(qū)的車輛, 它會沿當(dāng)前車道繼續(xù)行駛, 直至停止在車道出口處等待換道至目標(biāo)車道.

(8) 車輛進小區(qū)/換道/離開系統(tǒng). 進入當(dāng)前車道相鄰小區(qū)的車輛和過路車離開系統(tǒng)的行為與單車道模型相同. 對于停在路口等待換道的入?yún)^(qū)車輛, 如果對面車道相鄰元胞為空, 則可以換至該車道. 這里對車輛換道做了簡化處理.

2 數(shù)值模擬和討論

2.1 相關(guān)統(tǒng)計量

系統(tǒng)流量定義為

式中:Jout為單位時間經(jīng)過小區(qū)入口下游虛擬探頭的車輛數(shù);Joff為單位時間內(nèi)進入小區(qū)的車輛數(shù). 元胞i處在[T0+1,T0+T1]時段出現(xiàn)的車輛數(shù)為N(i)、車輛占有率為K(i)、車輛平均速度為U(i), 則有

式中:

2.2 單向單車道情形

圖3 為給定入?yún)^(qū)車概率γ時系統(tǒng)流量隨進車概率的變化. 由圖3 可知: 當(dāng)γ=0 時, 沒有入?yún)^(qū)車輛, 此時系統(tǒng)為開放邊界下的單車道情形, 且是自由出流, 系統(tǒng)流量隨進車概率的增加而增大, 系統(tǒng)的最大流量Jmax=(vmax-1)/vmax; 當(dāng)γ=1 時, 沒有過路車, 所有車輛均會進入小區(qū). 由于在小區(qū)入口處是一個瓶頸, 當(dāng)進車概率α和進小區(qū)車概率γ足夠大時, 可以發(fā)現(xiàn)存在一個臨界進車概率αc. 當(dāng)α ＞αc時, 出現(xiàn)一個平臺流量Jc.αc和Jc隨著γ的增大而減小. 當(dāng)γ=1 時,αc≈0.6,Jc≈0.48.

圖3 不同入?yún)^(qū)概率時系統(tǒng)流量隨進車概率的變化曲線Fig.3 The flux as a function of injection probability with different entry probabilities

圖4 為系統(tǒng)流量隨進小區(qū)車概率的變化曲線. 由圖4 可知: 當(dāng)進車概率α≤αc時, 流量并不隨入?yún)^(qū)車概率γ的改變而明顯改變, 約等于一個常數(shù), 表明當(dāng)車流量不夠大時, 入?yún)^(qū)車輛不會明顯影響局部路段的通行效率; 而當(dāng)車流量足夠大時(α ＞αc), 隨著進小區(qū)車輛的比例逐漸增多, 瓶頸效應(yīng)逐漸增強, 系統(tǒng)流量逐漸降低. 這與我們的日常經(jīng)驗是一致的. 由于本工作中采用自由出流的下游邊界條件, 因此不會出現(xiàn)嚴重的擁堵.

圖4 不同進車概率時系統(tǒng)流量隨進小區(qū)車概率的變化曲線Fig.4 The flux as a function of entry probability with different injection probabilities

圖5 給出了τ=2 時以(α,γ)為相空間的相圖. 可以發(fā)現(xiàn): 相圖中Ⅰ區(qū), 路段A 的車流處于自由流狀態(tài); 而在Ⅱ區(qū), 路段A 的車流處于擁堵流狀態(tài). 當(dāng)進車概率增大并超過αc時, 入口上游路段出現(xiàn)擁堵. 當(dāng)γ增大時,αc逐漸減小, 表明路段的通行能力逐漸降低. 由于路段下游出口過路車輛可以無障礙地離開, 因此路段B 總是處于自由的狀態(tài).

圖5 τ =2 時以(α, γ)為相空間的相圖Fig.5 Phase diagram in (α, γ) space where τ =2

圖6 給出了路段上車輛占有率K和平均速度U的分布圖. 由圖6(a)可見:當(dāng)α=0.4＜αc時, 路段A 的車輛占有率要比路段B 更大, 但是小區(qū)入口上下游車流均處于自由流的狀態(tài)(平均速度接近vmax). 在小區(qū)入口附近則出現(xiàn)占有率較大增加以及速度相應(yīng)減小的變化, 這表明了小區(qū)入口的瓶頸效應(yīng); 而當(dāng)α=0.8＞αc時, 路段A 的車輛占有率明顯增大, 速度也顯著減小(處于擁堵流狀態(tài)), 而在路段B 則仍為低密度區(qū)(通常某一路段上的車輛占有率低也說明該路段的車輛密度低), 車流處于自由狀態(tài).

圖6 典型參數(shù)下路段上車輛占有率和速度分布圖Fig.6 Profiles of occupancy and velocity on the lane under typical parameters

2.3 雙向兩車道情形

模擬中所取參數(shù)如下:L= 200,vmax= 3, 減速概率p0= 0.2,p1= 0.02, 期望時間τ=2,3, 進車概率α1=α2, 入?yún)^(qū)車概率γ=0～1.0, 進入道路同側(cè)小區(qū)的概率r=0.5. 假設(shè)兩個小區(qū)的入口位置為中心對稱, 即如果小區(qū)1 的入口位置為X1=c×L, 則小區(qū)2 的入口位置為X1=(1-c)×L, 其中c為位置系數(shù).

首先研究兩個特例: ①情形1, 小區(qū)入口靠近上游入口,c= 0.2,X1= 0.2L, X2= 0.8L;②情形2, 小區(qū)入口靠近下游出口,c=0.8,X1=0.8L,X2=0.2L. 圖7 為τ=2 時不同入?yún)^(qū)概率下系統(tǒng)流量隨進車概率的變化曲線. 由圖7 可知, 無論小區(qū)入口靠近路段上游入口還是路段下游出口, 在不同進小區(qū)車輛的概率下, 系統(tǒng)流量隨進車概率α的變化曲線都很相似, 即這兩種情況下, 小區(qū)入口位置對路段通行能力的影響不明顯. 注意到當(dāng)α ＜αc時, 流量曲線并不重合(與圖3 對比), 而是隨著入?yún)^(qū)車輛概率的增加而有所增大. 這是由于在自由流狀態(tài), 雙向兩車道的利用率比單車道更高[13], 在路段出口處等待換道的車輛使另一車道的實際進車流量略有增加所導(dǎo)致. 而當(dāng)進車概率足夠大時, 對于較大的入?yún)^(qū)概率, 同樣會出現(xiàn)流量平臺, 其對應(yīng)的流量值Jc略高于單車道的情形.

圖7 當(dāng)τ =2 時不同入?yún)^(qū)概率下系統(tǒng)流量隨進車概率的變化曲線Fig.7 The flux as a function of injection probability with different entry probabilities (τ =2)

圖8 給出路段上車輛占有率K和平均速度U分布. 考慮到對稱性, 這里僅給出車道1 上的分布. 由圖8 可知: 當(dāng)進車概率較小(α ＜αc)時, 小區(qū)入口上游的占有率略大于下游占有率,除小區(qū)入口附近區(qū)域和上、下游出口處以外車流均處于自由流的狀態(tài)(見圖8(a)和(c)); 而當(dāng)進車概率較大(α ＞αc)時, 小區(qū)入口上游的占有率明顯大于下游占有率, 平均速度明顯低于vmax, 而小區(qū)入口下游和路段出口上游之間的區(qū)域是低占有率的自由流狀態(tài). 由于路段出口處要換至另一車道的入?yún)^(qū)車輛, 會導(dǎo)致上、下游出口處局部占有率的明顯增大和速度的明顯降低((圖8(b)和(d)), 這表明當(dāng)前車道上存在3 個瓶頸. 當(dāng)小區(qū)入口位于路段下游時, 車道1 上的擁堵流范圍更大.

圖8 典型參數(shù)下路段上車輛占有率和速度的分布Fig.8 Profiles of occupancy and velocity on the lane 1 with typical parameters

最后研究小區(qū)入口的最佳位置. 根據(jù)前面的分析可知, 兩個典型的小區(qū)入口位置(c=0.2,0.8)時系統(tǒng)流量沒有明顯的差別. 圖9 和10 給出了更全面的結(jié)果, 其中α= 1.0(進車概率最大) 是最值得關(guān)注的情況. 由圖9 可以發(fā)現(xiàn): 當(dāng)入?yún)^(qū)概率很大時, 系統(tǒng)流量隨小區(qū)入口位置的變化可以忽略不計; 而當(dāng)入?yún)^(qū)概率較小時, 系統(tǒng)流量在小區(qū)入口靠近路口時有較明顯減小,尤其是下游路口. 這是車輛進小區(qū)形成的瓶頸和等待換道車輛所形成的瓶頸相互干擾, 道路出口處瓶頸上游的排隊車輛會阻礙入?yún)^(qū)車輛進入小區(qū). 由圖10 可見, 系統(tǒng)流量隨著入?yún)^(qū)概率的增加而減少, 除了x1= 190 以外, 流量曲線沒有明顯的差別. 當(dāng)小區(qū)入口靠近路段下游出口(x1= 190)且在入?yún)^(qū)概率較小時, 流量有較明顯的降低. 可以看出, 只要小區(qū)入口不過于靠近路口即可, 如設(shè)置在偏路段上游的位置.

圖9 不同入?yún)^(qū)概率時系統(tǒng)流量隨小區(qū)入口位置的變化曲線(α=1.0)Fig.9 Dependence of the flux on entrance location with different entry probabilities (α=1.0)

圖10 不同小區(qū)入口位置時系統(tǒng)流量隨入?yún)^(qū)概率的變化曲線(α=1.0)Fig.10 Dependence of the flux on entry probability with different entrance locations (α=1.0)

3 結(jié)束語

本工作研究了車輛進入居民小區(qū)對局部道路交通流的影響, 該問題來源于作者的日常觀察, 且尚未見到從交通流動力學(xué)角度出發(fā)的相關(guān)研究文獻. 車輛減速進入小區(qū)和車輛停車等待換道以便進入對面小區(qū)都會產(chǎn)生交通瓶頸, 而這種“微血管擁堵”也可能導(dǎo)致“主動脈運行不暢”, 尤其在交通晚高峰期間. 本工作基于考慮慢啟動效應(yīng)的VDR 模型, 并引入期望時間描述車輛進小區(qū)的提前減速行為, 先后提出了單向單車道模型和雙向兩車道模型.

現(xiàn)實中車輛可以有多種方式進入當(dāng)前道路對面的小區(qū), 其中一種常見方式是車輛在小區(qū)入口處對面道路停下等待, 在滿足安全條件時換至逆向車道并進入小區(qū). 可以預(yù)期, 上述這種方式將對路段交通流產(chǎn)生更顯著的影響.