唐廷彩, 姜 銳

(北京交通大學(xué)交通運(yùn)輸學(xué)院, 北京 100044)

通勤出行是指家和工作地之間的交通出行, 一般發(fā)生在早上上班和晚上下班的兩個(gè)時(shí)間段, 在時(shí)間和空間上具有一定的恒定性, 因此需求比較固定, 而當(dāng)需求大于道路通行能力的供給時(shí), 就會(huì)發(fā)生擁堵. 早晚高峰的通勤擁堵在我們的城市出行中時(shí)常上演, 嚴(yán)重影響了城市的運(yùn)轉(zhuǎn)效率和宜居性.

通勤擁堵一般發(fā)生在道路通行能力有限的瓶頸路段. 1969 年, Vickrey[1]首次提出了描述通勤者出發(fā)時(shí)刻選擇的經(jīng)典瓶頸模型, 通過研究瓶頸路段的動(dòng)態(tài)交通分配分析了通勤者的早高峰出行行為. Smith[2]和Daganzo[3]證明了經(jīng)典瓶頸模型均衡解存在的唯一性. 由于經(jīng)典瓶頸模型的求解過程簡(jiǎn)單易行, 許多學(xué)者都基于此模型進(jìn)行通勤問題的研究, 包括拓展經(jīng)典瓶頸模型假設(shè)條件(如將同質(zhì)出行者拓展為異質(zhì)出行者), 考慮不同的應(yīng)用場(chǎng)景(如拼車共乘、瓶頸通行能力可變)以及探討通勤交通管理措施(如擁擠收費(fèi))的效果[4-6]. 隨著研究的深入, 人們發(fā)現(xiàn)通勤出行不僅存在由排隊(duì)擁堵造成的出行時(shí)間浪費(fèi), 還存在通勤車輛停車難的問題. Arnott等[7]考慮了停車后需要步行到達(dá)工作地點(diǎn)且步行時(shí)間正比于停車位與工作地距離的情形, 建立了停車位置和出發(fā)時(shí)間聯(lián)合選擇的廣義出行成本函數(shù), 并分析了各種收費(fèi)措施的管理效果.Zhang 等[8]研究了考慮停車位置選擇的早晚高峰通勤問題. Shoup[9]綜述了1927—2001 年的多項(xiàng)研究, 指出停車巡航(尋找停車位)是出行過程中不可忽視的問題. Liu 等[10]在網(wǎng)絡(luò)層面上研究了停車巡航對(duì)于早高峰通勤的影響. Qian 等[11-12]分析了存在兩個(gè)距離工作地點(diǎn)不同的停車場(chǎng)且近距離停車場(chǎng)車位不足情況下的停車管理措施. Zhang 等[13]研究了停車位使用許可證的交換對(duì)交通系統(tǒng)效率的影響. Zhang 等[14]比較了早晚高峰通勤中各種停車收費(fèi)措施的效果.Fosgerau 等[15]研究了停車費(fèi)對(duì)道路擁擠的影響. Yang 等[16]和Liu 等[17]研究了停車場(chǎng)預(yù)訂的問題.

上述研究在考慮通勤停車時(shí), 較少涉及多起點(diǎn)單訖點(diǎn)通勤問題. 實(shí)際上, 由于個(gè)人的經(jīng)濟(jì)水平、喜好等因素, 通勤者的居住地(出發(fā)地)通常比較分散, 而工作地(目的地)往往位于市中心, 相對(duì)集中. 因此, 研究多起點(diǎn)單訖點(diǎn)的通勤出行對(duì)于現(xiàn)實(shí)更具有指導(dǎo)意義. Liu 等[18]和Wang 等[19]在多起點(diǎn)單訖點(diǎn)的通勤網(wǎng)絡(luò)上考慮了通勤過程中的停車問題, 主要分析了工作地停車位數(shù)量有限引起的通勤者的競(jìng)爭(zhēng)對(duì)交通系統(tǒng)的影響, 并提出了改善交通系統(tǒng)效率的策略,但該工作只關(guān)注停車位數(shù)量有限的問題, 忽略了停車位到工作地的步行時(shí)間. 而在現(xiàn)實(shí)生活中, 步行時(shí)間成本往往是出行總成本中不可忽視的一部分, 會(huì)引起通勤者對(duì)步行時(shí)間短的停車位的競(jìng)爭(zhēng), 從而影響高峰期出行行為. 因此, 本工作在單起點(diǎn)單訖點(diǎn)研究[7]的基礎(chǔ)上, 考慮了雙起點(diǎn)單訖點(diǎn)的通勤網(wǎng)絡(luò), 通過停車位置函數(shù)引入來自兩處不同居住地的通勤者對(duì)于停車位的競(jìng)爭(zhēng), 基于經(jīng)典瓶頸模型分析了停車位競(jìng)爭(zhēng)(由停車位到工作地的距離引起的通勤者的競(jìng)爭(zhēng))影響下的早高峰通勤的均衡狀態(tài).

1 問題描述

本工作研究不同居住地的兩組通勤者分別經(jīng)含有一個(gè)有限通行能力瓶頸的道路到達(dá)停車場(chǎng)停車, 然后步行前往工作地點(diǎn)的早高峰通勤問題, 其中兩組通勤者的出行路線沒有重疊, 工作地點(diǎn)位置相同, 共用一個(gè)停車場(chǎng), 且假定停車場(chǎng)位于工作地點(diǎn)附近, 停車位從工作地點(diǎn)開始向外線性延伸(見圖1). 另外, 不考慮停車位的收費(fèi)問題, 為了節(jié)約步行時(shí)間, 通勤者都偏向于選擇距離工作地點(diǎn)近的停車位.

圖1 雙起點(diǎn)單訖點(diǎn)通勤網(wǎng)絡(luò)示意圖Fig.1 Sketch of two-to-one commuting network

通勤者都期望在上班時(shí)刻t*準(zhǔn)時(shí)到達(dá)工作地點(diǎn), 早于或遲于該時(shí)刻的成本, 稱為早到或遲到成本. 此外, 通勤者還會(huì)承擔(dān)在途出行時(shí)間造成的出行時(shí)間成本以及由停車位步行至工作地點(diǎn)過程中產(chǎn)生的步行時(shí)間成本. 通勤者需要在居住地選擇一個(gè)合適的時(shí)間出發(fā), 以使得早高峰通勤產(chǎn)生的各項(xiàng)成本之和(出行總成本)最小.t時(shí)刻通過瓶頸的第i組通勤者的出行總成本可表示為

式中:i= 1 表示第一組通勤者,i= 2 表示第二組通勤者;αi為第i組通勤者的單位出行時(shí)間價(jià)值;βi為第i組通勤者的單位早到時(shí)間價(jià)值;γi為第i組通勤者的單位晚到時(shí)間價(jià)值;λi為第i組通勤者的單位步行時(shí)間價(jià)值;Ti(t)為第i組t時(shí)刻通過瓶頸的通勤者的出行時(shí)間;wi為第i組通勤者通過一個(gè)停車位花費(fèi)的步行時(shí)間;ni(t)為第i組通勤者中t時(shí)刻通過瓶頸的通勤者的停車位置. 式(1)等號(hào)右邊第一項(xiàng)為出行時(shí)間成本(由于出行過程中的自由流時(shí)間對(duì)結(jié)果不會(huì)造成本質(zhì)影響, 故不考慮自由流時(shí)間, 假設(shè)為0), 第二項(xiàng)為早到成本, 第三項(xiàng)為晚到成本,第四項(xiàng)為步行時(shí)間成本. 由于通勤者偏向于選擇距離工作地點(diǎn)近的停車位, 且停車位從工作地點(diǎn)開始向外線性延伸, 因此, 停車位編號(hào)ni(t)與通勤者通過瓶頸的序數(shù)相同. 高峰期時(shí), 道路的瓶頸一直滿負(fù)荷運(yùn)行, 故有

式中:si為第i組通勤者經(jīng)過的瓶頸的通行能力;Ni為第i組通勤者的出行總?cè)藬?shù);tsi為第i組通勤者的高峰期開始時(shí)刻.

2 均衡分析

當(dāng)達(dá)到均衡狀態(tài)時(shí), 每組通勤者都擁有相同且最小的出行總成本, 每個(gè)通勤者都無法通過單方面地改變其出發(fā)時(shí)間來降低出行總成本, 即有

式中: ～t為通勤者的出發(fā)時(shí)刻.

由于兩組通勤者共用一個(gè)停車場(chǎng), 二者的均衡態(tài)相互影響.tei表示早高峰最后一個(gè)通勤者到達(dá)停車場(chǎng)的時(shí)刻(即第i組通勤高峰的結(jié)束時(shí)刻), 則根據(jù)tsi和tei的大小關(guān)系,兩組通勤高峰可呈現(xiàn)4 種不同的情形: ①情形A,ts1＜ts2＜te2＜te1, 代表第一組通勤高峰先開始后結(jié)束; ②情形B,ts1＜ts2＜te1＜te2, 代表第一組通勤高峰先開始先結(jié)束; ③情形C,ts2＜ts1＜te1＜te2, 代表第二組通勤高峰先開始后結(jié)束; ④情形D,ts2＜ts1＜te2＜te1, 代表第二組通勤高峰先開始先結(jié)束. 若進(jìn)一步將每組通勤者中準(zhǔn)時(shí)到達(dá)工作地的通勤者到達(dá)停車場(chǎng)的時(shí)刻與另一組第一個(gè)和最后一個(gè)通勤者到達(dá)停車場(chǎng)的時(shí)刻進(jìn)行比較, 因?yàn)閠si ＜toi ＜tei(toi為第i組準(zhǔn)時(shí)到達(dá)上班地點(diǎn)的通勤者通過瓶頸的時(shí)刻), 故上述4 種情形又可進(jìn)一步分為: ①情形A1,ts1＜to1＜ts2＜to2＜te2＜te1; ②情形A2,ts1＜ts2＜to1,to2＜te2＜te1; ③情形A3,ts1＜ts2＜to2＜te2＜to1＜te1; ④情形B1,ts1＜to1＜ts2＜to2＜te1＜te2; ⑤情形B2,ts1＜to1＜ts2＜te1＜to2＜te2; ⑥情形B3,ts1＜ts2＜to1,to2＜te1＜te2; ⑦情形B4,ts1＜ts2＜to1＜te1＜to2＜te2; ⑧情形C1,ts2＜to2＜ts1＜to1＜te1＜te2; ⑨情形C2,ts2＜ts1＜to1,to2＜te1＜te2; ⑩情形C3,ts2＜ts1＜to1＜te1＜to2＜te2;情形D1,ts2＜to2＜ts1＜to1＜te2＜te1;情形D2,ts2＜to2＜ts1＜te2＜to1＜te1;情形D3,ts2＜ts1＜to1,to2＜te2＜te1;情形D4,ts2＜ts1＜to2＜te2＜to1＜te1. 情形A2 中ts2＜to1,to2＜te2表示to1與to2均大于ts2、小于te2, 且to1與to2大小關(guān)系不影響所在的情形分類, 情形B3、C2、D3 亦類似. 因?yàn)榍樾蜟、D 和情形A、B 呈對(duì)稱性, 所以接下來只討論情形A、B.

2.1 均衡態(tài)出發(fā)率、到達(dá)率

圖2～3 給出了情形A、B 的均衡態(tài), 其中包括兩組通勤者的出發(fā)曲線、通過(通過瓶頸, 即到達(dá)停車場(chǎng))曲線以及到達(dá)(工作地)曲線, 需要注意第一組通勤者與第二組通勤者高峰期均衡狀態(tài)對(duì)應(yīng)圖中橫縱坐標(biāo)的尺度并不一致. 在情形A 中, 第二組的通勤高峰均包含在第一組通勤高峰中. 因此, 第一組通勤者的出發(fā)曲線由4 段直線構(gòu)成, 到達(dá)曲線由3 段直線構(gòu)成; 第二組通勤者的出發(fā)曲線由2 段直線構(gòu)成, 到達(dá)曲線為一條直線. 而在情形B 中, 兩組通勤高峰均只有部分重疊, 因此兩組通勤者的出發(fā)曲線均由3 段直線構(gòu)成, 到達(dá)曲線均由2 段直線構(gòu)成.

下面以情形A1(見圖2(a))為例進(jìn)行詳細(xì)說明. 在情形A1 中, 第一組通勤者的出發(fā)曲線由4 段直線構(gòu)成. 在ts1＜～t ＜～to1(～toi為第i組準(zhǔn)時(shí)到達(dá)上班地點(diǎn)的通勤者的出發(fā)時(shí)刻)出發(fā)的通勤者將會(huì)早到, 在～to1＜～t ＜～t1s2出發(fā)的通勤者將會(huì)遲到; 在這兩個(gè)時(shí)段出發(fā)的通勤者到達(dá)停車場(chǎng)時(shí), 尚未有第二組通勤者到達(dá)停車場(chǎng). 在～t1s2＜～t ＜～t1e2出發(fā)的通勤者也會(huì)遲到, 且當(dāng)他們到達(dá)停車場(chǎng)時(shí), 第二組通勤者會(huì)以s2的到達(dá)率到達(dá)停車場(chǎng). 在～t1e2＜～t ＜te1出發(fā)的通勤者會(huì)遲到, 但當(dāng)他們到達(dá)停車場(chǎng)時(shí), 第二組通勤者已全部到達(dá)停車場(chǎng).

圖2 情形A 均衡態(tài)Fig.2 The equilibrium states in situation A

第二組通勤者的出發(fā)曲線由兩段直線構(gòu)成, 其中在ts2＜～t ＜～to2出發(fā)的通勤者將會(huì)早到,在～to2＜～t ＜te2出發(fā)的通勤者將會(huì)遲到. 在這兩個(gè)時(shí)段出發(fā)的通勤者到達(dá)停車場(chǎng)時(shí), 第一組通勤者一直以s1的到達(dá)率到達(dá)停車場(chǎng). 因此, 第二組通勤者的到達(dá)工作地曲線為一條直線.

對(duì)于兩組通勤高峰, 通勤者的通過曲線比較簡(jiǎn)單, 分別為斜率等于各自瓶頸容量的直線.

圖3 情形B 均衡態(tài)Fig.3 The equilibrium states in situation B

易知, 在該時(shí)段內(nèi)

將式(6)代入式(5), 可解得

由于對(duì)應(yīng)時(shí)段內(nèi)的累積出發(fā)率和停車場(chǎng)的累積到達(dá)率相等,

兩邊對(duì)t求導(dǎo), 可得

兩邊對(duì)t求導(dǎo), 可得

聯(lián)立式(6)和(11), 可解得

表1 和表2 分別列出了情形A 和B 均衡態(tài)的出發(fā)率與到達(dá)率.

表1 均衡態(tài)出發(fā)率Table 1 Departure rates under equilibrium states

表2 均衡態(tài)到達(dá)率Table 2 Arrival rates under equilibrium states

2.2 均衡態(tài)關(guān)鍵時(shí)刻

在情形A 中, 第一組在ts1時(shí)刻出發(fā)的通勤者僅有早到成本,

在te1時(shí)刻出發(fā)的通勤者有遲到成本和步行成本,

第二組在ts2時(shí)刻出發(fā)的通勤者有早到成本和步行成本,

在te2時(shí)刻出發(fā)的通勤者有遲到成本和步行成本,

當(dāng)達(dá)到均衡狀態(tài)時(shí),

同理, 對(duì)情形B, 可解得

其中,ξ=(β2+γ2)(β1+γ1+(λ1+γ1)w1s2)-(β1+γ1)(λ2-β2)w2s1,η=β1+γ1+(λ1+γ1)w1s2.

其余關(guān)鍵時(shí)刻的求解原理類似, 文中不再列出.

2.3 分析討論

根據(jù)ts1、ts2、te1、te2、to1、to2的表達(dá)式, 可求得所有情形的邊界的表達(dá)式. 例如, 以情形A為例, 令to1=ts2, 可求得A1 和A2 邊界的表達(dá)式如下:

其余邊界表達(dá)式可類似求出, 文中不再列出.

觀察關(guān)鍵時(shí)刻表達(dá)式, 可得以下命題.

命題1 當(dāng)兩組通勤者步行速度相等時(shí), 各組準(zhǔn)時(shí)到達(dá)上班地點(diǎn)的通勤者通過瓶頸的時(shí)刻相同.

證明 將w1=w2代入每種情形下的to1和to2的表達(dá)式, 可得ts2＜to1＜te2,ts1＜to2＜te1且to1=to2, 由此得證.

推論1 當(dāng)兩組通勤者的步行速度相等時(shí), 有且只有一個(gè)停車位置xo可以滿足準(zhǔn)時(shí)到達(dá)上班地點(diǎn)的要求.

基于推論1, 可以考慮設(shè)計(jì)停車收費(fèi)策略, 在該位置收取最大停車費(fèi), 而離該位置越遠(yuǎn), 收費(fèi)越低. 在將來的工作中, 我們將分析該停車收費(fèi)策略的有效性.

命題2 在兩組通勤者同質(zhì)(各時(shí)間價(jià)值相同)且步行速度相同的情況下, 兩組通勤出行人數(shù)和通行能力不同時(shí), 只有可能出現(xiàn)情形A2 和情形C2.

命題3 在兩組通勤的出行人數(shù)和通行能力相同的情況下, 兩組通勤者異質(zhì)或步行速度不同時(shí), 只有可能出現(xiàn)情形B、D.

證明 根據(jù)情形A 和情形B 中ts1、ts2、te1、te2的表達(dá)式, 在N1=N2、s1=s2的情況下, 當(dāng)β1＜β2或γ1＞γ2或λ1＞λ2或w1＞w2時(shí), 可推導(dǎo)得出ts1＜ts2＜te1＜te2, 即情形B; 當(dāng)β1＞β2或γ1＜γ2或λ1＜λ2或w1＜w2時(shí), 可推導(dǎo)得出ts2＜ts1＜te2＜te1, 即情形D, 由此得證.

最后, 需指出由于和步行速度相比, 車速往往較快, 所以本工作模型忽略了尋找停車位的巡航時(shí)間. 在車速和步行速度相差不大的情形下, 則需要考慮尋找停車位的巡航時(shí)間. 對(duì)于向外線性延伸的停車場(chǎng), 若假定尋找停車位的巡航時(shí)間正比于停車位至工作地的距離, 則可將式(1)修改為

3 算例分析

本章主要討論兩組通勤者時(shí)間價(jià)值相同且兩條道路的瓶頸通行能力相同時(shí)兩組通勤者步行速度與出行人數(shù)不同對(duì)均衡態(tài)的影響. 參考文獻(xiàn)[7], 參數(shù)設(shè)置為:α1=α2= 6.4 $/h,β1=β2= 3.9$/h,γ1=γ2= 15.21$/h,λ1=λ2= 6.4$/h,s1=s2= 120 veh/h,w2= 5 s.

根據(jù)邊界條件, 畫出分區(qū)圖(見圖9和10).

圖4 均衡態(tài)分區(qū)圖(w1 ≤w2)Fig.4 Diagrams of equilibrium states (w1 ≤w2)

需指出, 若將第二組通勤者的參數(shù)w2= 5 s 視作正常步行速度(5 km/h)對(duì)應(yīng)的參數(shù), 則1.25 s ≤w1≤10 s 可以視作第一組通勤者參數(shù)的合理取值區(qū)間, 對(duì)應(yīng)于2.5～20 km/h. 其中,w1＜w2可理解為第一組通勤者有其他代步工具(例如自行車、滑板車、平衡車等), 因此步行速度大于第二組通勤者, 從而w值減小; 而w1＞w2則可理解為第一組通勤者需要攜帶大件物品, 因此步行速度小于第二組通勤者, 從而w值增大.

圖5 均衡態(tài)分區(qū)圖(w1 ＞w2)Fig.5 Diagrams of equilibrium states (w1 ＞w2)

由分區(qū)圖可看出, 當(dāng)w1＜w2時(shí), 會(huì)出現(xiàn)情形A、C、D; 當(dāng)w1＞w2時(shí), 會(huì)出現(xiàn)情形A、B、C. 隨著w1的增大, 情形D 的區(qū)域減小, 情形B的區(qū)域增大. 這是因?yàn)楫?dāng)w1增大時(shí), 第一組通勤者的步行成本增大. 為了減小步行成本, 第一組通勤者傾向于提前出發(fā)以獲得較近的停車位, 其通勤高峰提前. 當(dāng)w1＜w2時(shí), 隨著w1的增大, 情形D 中的情形D3 逐漸占據(jù)主導(dǎo);當(dāng)w1＞w2時(shí), 隨著w1的增大, 情形B 中的情形B2 逐漸占據(jù)主導(dǎo). 此外, 直線N1=N2一直處于情形D 或情形B 所在的區(qū)域中, 說明在只有兩組通勤者的步行速度不同的情況下, 只會(huì)存在情形B和情形D. 這與命題3 相符. 當(dāng)w1=w2時(shí), 只會(huì)出現(xiàn)情形A2和情形C2. 這與命題2 相符.

對(duì)于情形A、C, 當(dāng)w1＜w2時(shí), 隨著w1的增大, 情形A、C 所在的區(qū)域增大; 當(dāng)w1＞w2時(shí), 隨著w1的增大, 情形A、C 所在的區(qū)域減小. 更具體的, 在w1＜w2時(shí), 情形A從A3 逐漸過渡到A2, 情形C從C1逐漸過渡到C2; 在w1＞w2時(shí), 情形A 從A2 逐漸過渡到A1,然后情形A完全消失; 情形C 從C2 逐漸過渡到C3.

4 結(jié)束語

本工作研究了雙起點(diǎn)單訖點(diǎn)的通勤網(wǎng)絡(luò)中的早高峰通勤問題. 考慮了來自兩處不同居住地的通勤者沿不同道路到達(dá)同一個(gè)工作地上班并在同一個(gè)停車場(chǎng)停放車輛的情形. 基于瓶頸模型, 引入停車位置函數(shù), 分析了兩組通勤者的早高峰出行行為. 根據(jù)兩組通勤者通勤高峰開始及結(jié)束的早晚關(guān)系, 均衡狀態(tài)可分為4 種情形. 進(jìn)一步考慮通勤者準(zhǔn)點(diǎn)到達(dá)時(shí)刻, 可將這4種情況分為14 種子情形. 我們推導(dǎo)得出了這些情形下兩組通勤者的出發(fā)和到達(dá)曲線. 最后, 算例分析考慮兩組通勤者時(shí)間價(jià)值相同且兩條道路的瓶頸通行能力相同的情形, 分析了隨著第一組通勤者步行速度的減小, 各種情形均衡態(tài)對(duì)應(yīng)區(qū)域的變化情況.

在將來的工作中, 可將該模型推廣至多起點(diǎn)單訖點(diǎn)場(chǎng)景, 還可在此模型基礎(chǔ)上分析交通管理政策的作用, 例如擁擠收費(fèi)、停車收費(fèi)、錯(cuò)峰上班等. 此外, 還可以考慮其他實(shí)際因素的影響, 例如, 通行能力的隨機(jī)性, 通勤者的異質(zhì)性, 通勤模式的多樣性等.