☉湖北省云夢(mèng)縣第一中學(xué) 何 明

與完全平方有關(guān)問題的求解策略

☉湖北省云夢(mèng)縣第一中學(xué) 何 明

我們把形如“a2+2ab+b2”這樣的式子叫做完全平方式，有關(guān)完全平方的話題是各級(jí)各類競(jìng)賽命題的熱點(diǎn)，本文將這類問題加以歸類，提出一些基本方法，供讀者參考.

一、根據(jù)定義求值

例1 要使x2+2（m+2）x+16成為一個(gè)完全平方式，則m的值是________.

解析：先根據(jù)平方項(xiàng)確定出這兩個(gè)數(shù)，再利用完全平方式的乘積二倍項(xiàng)列式即可求出m的值.因?yàn)閤2+2（m+2）x+16是完全平方式，所以2（m+2）x=±2·x·4，解得m=2或m=-6.

評(píng)注：本題依據(jù)完全平方公式的特征直接解答.兩數(shù)的平方和，再加上或減去它們積的2倍，就構(gòu)成了一個(gè)完全平方式．此題解題的關(guān)鍵是利用平方項(xiàng)求乘積二倍項(xiàng)，注意答案有兩個(gè)．

二、根據(jù)非負(fù)數(shù)求值

例2 已知實(shí)數(shù)a、b、c滿足a+b=5，c2=ab+b－9，則c=________.

解析：因?yàn)閍+b=5，所以a=5－b，所以c2=（5－b）·b+b－9=－（b－3）2，因?yàn)椋╞－3）2≥0，而－（b－3）2≥0，所以b－3=0，所以c=0.

評(píng)注：初中階段常見的非負(fù)數(shù)的形式有三種：實(shí)數(shù)的偶次方為非負(fù)數(shù)；實(shí)數(shù)的絕對(duì)值為非負(fù)數(shù)；算術(shù)根亦為非負(fù)數(shù).常用的非負(fù)數(shù)的性質(zhì)有三個(gè)：如果幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為零，則每個(gè)非負(fù)數(shù)必為零；非負(fù)數(shù)的和、積、商（除數(shù)不能為零）仍為非負(fù)數(shù)；最小的非負(fù)數(shù)是零，無最大非負(fù)數(shù).

三、巧妙構(gòu)造求值

例3 已知a+b+c=0，a2+b2+c2=4，試求：a4+b4+c4的值.

評(píng)注：利用完全平方的變形式可以巧妙、靈活地求出較復(fù)雜的代數(shù)式的值.

四、根據(jù)奇偶性求值

例4 一個(gè)正整數(shù)，若分別加上100和168，則可得到兩個(gè)完全平方數(shù)，這個(gè)正整數(shù)為________.

解析： 設(shè)這個(gè)正整數(shù)為a，a+100=m2，a+168=n2，m、n是正整數(shù).

則n2-m2=68，即（n-m）（n+m）=68，根據(jù)奇偶分析可知，n-m、n+m奇偶性相同，因?yàn)?8是偶數(shù)，所以可列方程組：

評(píng)注：整數(shù)按能否被2整除分為奇數(shù)和偶數(shù)兩大類，除奇偶數(shù)的最基本性質(zhì)以外，我們還應(yīng)掌握以下性質(zhì)：①設(shè)a、b為整數(shù)，則a與an的奇偶性相同；a+b、a-b的奇偶性相同.②若m為整數(shù)，a為奇數(shù)，則m±a的奇偶性與m相反.若m為整數(shù)，b為偶數(shù)，則m±b的奇偶性與m相同.③若m是整數(shù)，a為奇數(shù)，則ma的奇偶性與m相同.

五、分類討論求值

例5 已知n是正整數(shù)，且47+4n+42010是完全平方數(shù)，求n.

解析：本題需分類討論，47+4n+42010=（27）2+22n+（22010）2.

（1）將22n看成是“2ab”，

由于它是完全平方數(shù)，所以22n=2×27×22010=22018.

（2）將22n看成是“b2”，所以47+4n+42010=（27）2+24020+（2n）2，所以2×27×2n=24020.

評(píng)注：分類思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想，使用分類思想解題，要根據(jù)已知條件和題意的要求，分不同的情況作出符合題意的解答.其關(guān)鍵是把握好分類標(biāo)準(zhǔn)，做到不重復(fù)，不遺漏.

六、通過夾逼法求值

例6 已知n是自然數(shù)，且n2-17n+73是完全平方數(shù)，那么n的值是________或________.

因?yàn)椋╪－8）2與（n－9）2是相鄰平方數(shù)，

所以n2－17n+73不是平方數(shù).

評(píng)注：夾逼法是一種較為典型的解題方法，它常常用于解決與正整數(shù)有關(guān)的一些問題.其基本思想是：以一定的限定條件為依據(jù)，對(duì)所研究的對(duì)象進(jìn)行考查，先估計(jì)研究對(duì)象的存在范圍，這樣“可能”的對(duì)象被減少，符合條件的對(duì)象也就變得易于探求，最后得到我們所需要的結(jié)果.

與完全平方有關(guān)問題的求解可以通過以上幾個(gè)問題進(jìn)行說明，通過幾種方法的學(xué)習(xí)，可以幫助了解此類題型的特點(diǎn)，以便學(xué)生們更好地備考.