鄒宇鵬， 吳祥淑， 孫曉偉， 張安東， 郭智超， 吳寶貴

（中國(guó)石油大學(xué)（華東）機(jī)電工程學(xué)院，山東 青島 266580）

0 引 言

在教學(xué)和實(shí)驗(yàn)過程中，涉及系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)分析的相關(guān)課程占有重要地位，諸如《機(jī)械原理課程設(shè)計(jì)》是一門培養(yǎng)學(xué)生分析應(yīng)用能力、加深學(xué)生對(duì)機(jī)械運(yùn)動(dòng)相關(guān)概念和規(guī)律理解的重要課程［1-3］。其中，解析法和矢量圖解法在機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析中有廣泛的應(yīng)用，但建模和分析過程煩瑣［4］?？紤]到經(jīng)濟(jì)、安全等問題，在實(shí)驗(yàn)教學(xué)過程中，也會(huì)采用一些計(jì)算機(jī)仿真軟件進(jìn)行機(jī)構(gòu)分析，以滿足教學(xué)需要，加強(qiáng)學(xué)生的實(shí)踐認(rèn)知，提高教學(xué)質(zhì)量［5-7］。虛擬仿真在一定程度上能克服傳統(tǒng)實(shí)驗(yàn)教學(xué)在內(nèi)容和時(shí)間上的局限性，其經(jīng)濟(jì)、高效、使用方便等特點(diǎn)使其在教學(xué)中的應(yīng)用日益廣泛［8-10］。

Multibody是Matlab提供的一個(gè)多體系統(tǒng)機(jī)構(gòu)仿真環(huán)境，支持柔性體建模，可進(jìn)行復(fù)雜信號(hào)的輸入和邏輯控制，實(shí)現(xiàn)參數(shù)可視化［11-12］?；贛atlab/Multibody建模環(huán)境，對(duì)牛頭刨床執(zhí)行機(jī)構(gòu)進(jìn)行建模，結(jié)合理論模型，分析牛頭刨床速度、加速度、力等參數(shù)的變化，為系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模及分析等相關(guān)課程的教學(xué)提供新思路，以適應(yīng)《機(jī)械原理課程設(shè)計(jì)》等課程教學(xué)改革的需要，對(duì)后續(xù)教學(xué)研究具有重要的參考意義［13］。

1 牛頭刨床工作原理及結(jié)構(gòu)參數(shù)

牛頭刨床是用于平面切削的加工機(jī)床，圖1所示為牛頭刨床示意圖［14］。

圖2所示為牛頭刨床機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)圖。

曲柄2為原動(dòng)件，勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，滑塊3帶動(dòng)導(dǎo)桿4左右擺動(dòng)，帶動(dòng)連桿5運(yùn)動(dòng)，帶動(dòng)刨刀6左右運(yùn)動(dòng)，實(shí)現(xiàn)刨刀加工工件表面的目的［15-16］。

曲柄2轉(zhuǎn)速n＝48 r/min，工作行程受到的切削阻力為4.5 kN，空回行程時(shí)阻力忽略不計(jì)。行程速比系數(shù)K＝1.4。

牛頭刨床主體機(jī)構(gòu)的物理參數(shù)及含義見表1。

表1 牛頭刨床主體機(jī)構(gòu)物理參數(shù)

2 牛頭刨床解析法分析

機(jī)架O2O4位置向量為L(zhǎng)1，曲柄O2A位置向量為L(zhǎng)2，滑塊A位置向量為L(zhǎng)3，導(dǎo)桿O4B位置向量為L(zhǎng)4，連桿BC位置向量為L(zhǎng)5，刨頭導(dǎo)路O4D位置向量為L(zhǎng)D，刨頭中心C位置向量為L(zhǎng)C。由圖2，牛頭刨床主體機(jī)構(gòu)滿足幾何封閉向量方程式：

2.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

（1）位移分析。將向量方程式（1）分別向x軸和y軸投影，得位移方程組：

整理可得導(dǎo)桿O4B的角位移：

滑塊A的位移

搖桿BC的角位移

刨刀中心C點(diǎn)的位移

（2）速度分析。分別對(duì)位移方程組（3）、（4）求導(dǎo)，得速度方程組，整理可得導(dǎo)桿O4B的角速度以及滑塊A在導(dǎo)桿O4B上的線速度

搖桿BC的角速度

刨刀中心C點(diǎn)的速度

（3）加速度分析。對(duì)速度方程組式（9）求導(dǎo)，整理可得滑塊A在導(dǎo)桿O4B上的線加速度以及導(dǎo)桿O4B的角加速度：

搖桿BC的角加速度

刨刀中心點(diǎn)C的加速度

采用比例法確定導(dǎo)桿4的質(zhì)心S4、連桿5質(zhì)心S5的加速度：

2.2 動(dòng)力學(xué)分析

將牛頭刨床進(jìn)行桿組拆分，分為連桿刨刀Ⅱ級(jí)組、滑塊導(dǎo)桿Ⅱ級(jí)組和原動(dòng)件曲柄2、機(jī)架1。根據(jù)前述所求的物理量，由達(dá)朗貝爾原理，對(duì)連桿刨刀Ⅱ級(jí)組進(jìn)行受力分析，受力模型如圖3所示。

對(duì)B點(diǎn)取矩，由力矩平衡條件

可得：

式中：

根據(jù)力平衡條件：

可得：

以滑塊導(dǎo)桿Ⅱ級(jí)組為研究對(duì)象，受力模型如圖4所示。

對(duì)O4點(diǎn)取矩，由力矩平衡條件：

式中：PI3x＝-m3aA4cos θ4；PI3y＝-m3aA4sin θ4；PI4x＝-m4aS4x；PI4y＝-m4aS4y；MI4＝-J4ε4；MI3＝-J3ε4。

整理得：

根據(jù)力平衡條件

可得：

對(duì)曲柄進(jìn)行受力分析，如圖5所示。

對(duì)O2點(diǎn)取矩，根據(jù)力矩平衡條件

可得平衡力矩

3 牛頭刨床圖解法分析

如圖6所示，取曲柄2位于θ2＝3π/4位置，利用圖解法進(jìn)行建模分析。

3.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

（1）速度分析。取曲柄2與滑塊3在A處的重合點(diǎn)進(jìn)行速度分析，得速度矢量方程

曲柄2與滑塊3在A處的轉(zhuǎn)動(dòng)副相連，故vA3＝vA2＝ω2l2，方向垂直于O2A，指向與轉(zhuǎn)速n一致。速度矢量分析如圖7所示。

由圖7可求得vA4、vA4A3及ω4，根據(jù)速度影像原理可得vB＝ω4l4，方向如圖7所示。

對(duì)C點(diǎn)進(jìn)行速度分析：

由速度多邊形圖7可求得加速度vCB，vC及角加速度ω5。

（2）加速度分析。取滑塊3和導(dǎo)桿4重合點(diǎn)A進(jìn)行加速度分析，列加速度矢量方程

根據(jù)分析作加速度多邊形如圖8所示。

由圖8可得aA4、aτA4及ε4。同時(shí)，由加速度影像法可求得aS4，aB4及aB5的值。

對(duì)C點(diǎn)進(jìn)行加速度分析：

根據(jù)加速度多邊形圖8可得刨頭中心加速度aC的值。

3.2 動(dòng)力學(xué)分析

對(duì)連桿5、刨刀6進(jìn)行受力分析，方向如圖9所示，已知PI6＝-m6aC及PI5＝-m5aS5。

根據(jù)力平衡條件

根據(jù)式（28）繪制連桿刨刀力多邊形，如圖10所示。由圖10可得R16及R45的大小。

分離滑塊3、導(dǎo)桿4進(jìn)行受力分析，受力分析如圖11所示，R54＝R45大小已知，對(duì)O4點(diǎn)取矩，由

可得：

式中：hi為力到O4的垂直距離（i＝1，2，3）；PI3＝-m3aA3；MI3＝-J3ε4；PI4＝-m4aS4；MI4＝-JS4ε4。由

式（29）可求解可得力R23。

根據(jù)圖11力平衡條件

可得：

在已知R23的情況下，由式（30）作力多邊形，如圖12所示。由圖12可解得力R14，方向見圖12。

分離曲柄2，曲柄受力分析圖如圖13所示。

已知R23＝R32，PI2＝m2ω22l2，由

可得：

根據(jù)式（31）繪制力多變形，如圖14所示。由圖14可求得力R12。

對(duì)O2點(diǎn)取矩，由

可得：

解得平衡力矩Mb。

4 基于Multibody的牛頭刨床建模及分析

4.1 牛頭刨床建模

Multibody是Matlab提供的一個(gè)多體系統(tǒng)機(jī)構(gòu)仿真環(huán)境，包含了系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模分析所需的基本功能模塊。牛頭刨床模型構(gòu)建步驟如下：

步驟1如圖15（a），基本環(huán)境配置。定義求解器類型、物理場(chǎng)的慣性參考系和重力加速度。

步驟2如圖15（b），建立機(jī)架Frame，兩端面連接轉(zhuǎn)動(dòng)副R14、R12。引入Rigid Transform_1、Rigid Transform_2使R14、R12的z軸與世界坐標(biāo)系y軸方向一致。設(shè)置R12驅(qū)動(dòng)選項(xiàng)，構(gòu)建Driver子系統(tǒng)。

步驟3如圖15（c），建立曲柄Crank、轉(zhuǎn)動(dòng)副R23和滑塊Slider1。兩端面分別連接轉(zhuǎn)動(dòng)副R12、R23。

步驟4構(gòu)建移動(dòng)副P34，如圖15（d）所示。Rigid Transform_3使移動(dòng)副P34的參考坐標(biāo)系的z軸與世界坐標(biāo)系的z軸方向一致，坐標(biāo)轉(zhuǎn)換Rigid Transform_4進(jìn)行坐標(biāo)軸對(duì)齊。

步驟5如圖15（e），建立導(dǎo)桿模型Guide-bar，導(dǎo)桿兩端分別連接轉(zhuǎn)動(dòng)副R14、R45。

步驟6如圖15（f），建立連桿Linkage，經(jīng)Rigid Transform_5繞z軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)183°。轉(zhuǎn)動(dòng)副R56經(jīng)Rigid Transform_6與轉(zhuǎn)動(dòng)副R45一致。

步驟7如圖15（g），Rigid Transform_7使移動(dòng)副P16參考坐標(biāo)系的z軸和世界坐標(biāo)系的x軸方向一致，構(gòu)建機(jī)架Frame2，經(jīng)Rigid Transform_10變換與世界坐標(biāo)軸對(duì)齊。

編譯運(yùn)行模型，得圖16所示的模型仿真界面。

步驟8數(shù)據(jù)采集

如圖17所示，打開運(yùn)動(dòng)副屬性下的傳感器模塊，會(huì)顯示相應(yīng)的物理信號(hào)端口，調(diào)用示波器模塊即可提取相關(guān)運(yùn)動(dòng)參數(shù)。

4.2 運(yùn)動(dòng)學(xué)分析結(jié)果對(duì)比

將3種方法所得的刨刀位置、速度及加速度結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析，如圖18～20所示。由圖可得，解析法所得理論值與仿真值曲線相吻合，圖解法因繪制、測(cè)量等原因存在一些誤差。3種方法對(duì)比驗(yàn)證了Multibody建模的準(zhǔn)確性。

4.3 動(dòng)力學(xué)分析結(jié)果對(duì)比

提取作用在牛頭刨床曲柄上的平衡力矩，將仿真值與解析法、圖解法所得理論值進(jìn)行對(duì)比分析，如圖21所示。

由圖21對(duì)比結(jié)果表明，作用在牛頭刨床曲柄上的平衡力矩圖解法由于繪制或測(cè)量等原因存在一定誤差，解析法所得理論值和仿真值的結(jié)果基本一致，驗(yàn)證了Multibody動(dòng)力學(xué)仿真結(jié)果的可行性。

5 結(jié) 語

為使《機(jī)械原理課程設(shè)計(jì)》等課程動(dòng)力學(xué)建模分析過程更加具形象化，基于Matlab/Multibody建模環(huán)境，以牛頭刨床為研究對(duì)象，運(yùn)用解析法獲得牛頭刨床理論模型，利用矢量圖解法求解某一特定時(shí)刻的牛頭刨床動(dòng)力學(xué)參數(shù)，利用Multibody建立牛頭刨床仿真模型，將3種方法所得結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析，結(jié)果表明，基于Matlab/Multibody的動(dòng)力學(xué)建模分析方法可行，此方法使學(xué)生更直觀地了解多體系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)特性，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，為系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)分析等相關(guān)課程的教學(xué)奠定了基礎(chǔ)，有助于提高教學(xué)質(zhì)量。