彭介顧 （安徽省蕭縣中學(xué)，安徽 蕭縣 235200）

引 言

在《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》當(dāng)中的內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)板塊，要求將數(shù)學(xué)建模滲透到每個(gè)環(huán)節(jié)的教學(xué)當(dāng)中去，將學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的培養(yǎng)落到實(shí)處.但是在當(dāng)前的高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，由于教師對數(shù)學(xué)建模教學(xué)的理解不夠透徹，忽視了數(shù)學(xué)建模教學(xué)對學(xué)生終身發(fā)展的重要價(jià)值，導(dǎo)致學(xué)生在建模思想的應(yīng)用方面嚴(yán)重匱乏，很難直接參與到數(shù)學(xué)建模活動中來.因此，教師應(yīng)當(dāng)形成科學(xué)的教育觀念，深入解讀新課程標(biāo)準(zhǔn)的精神，積極探索應(yīng)用數(shù)學(xué)建模思想開展日常教學(xué)的有效方法，讓學(xué)生不僅可以掌握數(shù)學(xué)知識的表層含義，同時(shí)也能夠領(lǐng)會到數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，達(dá)到融會貫通.教師要對數(shù)學(xué)建模教學(xué)存在的不足之處進(jìn)行深入分析，建立貼合實(shí)際的數(shù)學(xué)建模流程，引導(dǎo)學(xué)生掌握有價(jià)值的數(shù)學(xué)建模方法，循序地提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

一、高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)的現(xiàn)狀

1.學(xué)生基礎(chǔ)較差

很多學(xué)生沒有養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)意識，雖然學(xué)生已經(jīng)學(xué)過了很多的數(shù)學(xué)知識，但是對于自己已經(jīng)獲得的知識，學(xué)生的記憶大多停留在“學(xué)過”這一層面上.但是對于自己是怎么學(xué)的，很少有學(xué)生會有意識地進(jìn)行反思，導(dǎo)致學(xué)生看似掌握了很多的知識，但是基礎(chǔ)并不牢固，無法自主完成數(shù)學(xué)模型的建立.

2.學(xué)生信息抽取能力差

很多學(xué)生從小開始接受應(yīng)試教育，對教師的依賴性很強(qiáng)，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中經(jīng)常會出現(xiàn)“聽得懂，但是不會做題”的問題，導(dǎo)致學(xué)生無法獨(dú)立地從數(shù)學(xué)問題當(dāng)中抽離出數(shù)學(xué)建模所必需的信息.同時(shí)，由于數(shù)學(xué)知識的抽象性，導(dǎo)致學(xué)生對數(shù)學(xué)應(yīng)用問題也普遍存在畏難的情緒，在審題的過程中會因此而出現(xiàn)思維混亂的情況，尤其是在閱讀一些文字信息比較多的問題時(shí)，學(xué)生很難運(yùn)用技巧和自己的邏輯思維從中找到關(guān)鍵的信息，從而影響了學(xué)生參與數(shù)學(xué)建?；顒拥馁|(zhì)量.

3.教師忽視對建模過程的完整教學(xué)

隨著新課程改革教育思想的不斷滲透，越來越多的教師開始重視在數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)建模的思想，進(jìn)而發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).但是由于并沒有專門的教材來指導(dǎo)教師開展數(shù)學(xué)建模教學(xué)，導(dǎo)致教師很難去帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷完整的數(shù)學(xué)建模過程，影響了學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的有效發(fā)展.

二、新課程標(biāo)準(zhǔn)下的高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)實(shí)施途徑

數(shù)學(xué)建模雖然沒有固定的步驟，但是基本上包含幾個(gè)必要的階段，分別是：明確數(shù)學(xué)問題、提出合理假設(shè)、搭建數(shù)學(xué)模型、求解數(shù)學(xué)模型、分析和檢驗(yàn)數(shù)學(xué)模型、解釋數(shù)學(xué)模型.而結(jié)合學(xué)生學(xué)習(xí)的一般規(guī)律，可以將這幾個(gè)階段整合成四個(gè)步驟，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷完整的數(shù)學(xué)建模過程.下面將以“函數(shù)的單調(diào)性和最值”當(dāng)中函數(shù)單調(diào)性模型的建構(gòu)過程為例，對建模教學(xué)的四個(gè)步驟展開一番敘述.

1.創(chuàng)設(shè)情景，引導(dǎo)假設(shè)

數(shù)學(xué)模型的本質(zhì)是從實(shí)際問題當(dāng)中抽象出數(shù)學(xué)知識，而要想讓學(xué)生參與到數(shù)學(xué)抽象的活動中來，則需要學(xué)生形成深入細(xì)致的思考問題的態(tài)度以及積極的探索興趣，進(jìn)而使學(xué)生可以從已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)來探索數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，為學(xué)生的數(shù)學(xué)建模打造一個(gè)良好的起點(diǎn).因此教師要善于通過情景創(chuàng)設(shè)的方式來激活學(xué)生的思維，使學(xué)生在好奇心的驅(qū)動下產(chǎn)生各種具有個(gè)性化的假設(shè)，在頭腦中構(gòu)建出對數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在驅(qū)動力.教師在創(chuàng)設(shè)情景的過程中要對學(xué)生興趣、能力、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力等方面的差異進(jìn)行分析，從而讓每一個(gè)學(xué)生都能夠參與到情景探究活動中來.

在函數(shù)的單調(diào)性模型教學(xué)中，在課堂的一開始，筆者使用了開篇點(diǎn)題的教學(xué)方法，讓學(xué)生有意識地進(jìn)入到建模教學(xué)中來.筆者首先對學(xué)生說道：“函數(shù)是我們從初中就開始學(xué)習(xí)的一種數(shù)學(xué)知識，借助函數(shù)可以讓我們更好地了解事物變化的規(guī)律，而今天我們要研究的同樣也是函數(shù)的一種性質(zhì).”接著使用電子白板給學(xué)生展示了一張圖像，上面呈現(xiàn)了當(dāng)?shù)啬骋惶斓臏囟茸兓闆r，再向?qū)W生提出問題：“你認(rèn)為這張圖像上的曲線可以代表一個(gè)函數(shù)嗎？”在筆者提出了問題之后，有的學(xué)生說可以，有的學(xué)生說不可以，緊接著讓學(xué)生都說一說自己判定的理由.通過討論的方式，學(xué)生回顧了函數(shù)的定義，發(fā)現(xiàn)在教師提供的圖像當(dāng)中，對于任意的一個(gè)時(shí)間，都有一個(gè)確定的溫度與之對應(yīng)，因此這個(gè)圖像當(dāng)中的曲線可以表示一個(gè)函數(shù).這樣通過創(chuàng)設(shè)出學(xué)生熟悉的氣溫變化問題，能夠有效地激發(fā)學(xué)生的探索興趣，并讓學(xué)生回憶起函數(shù)的基本觀點(diǎn).

2.驗(yàn)證猜想，建立模型

在學(xué)生完成了明確問題、提出猜想這兩個(gè)活動之后，教師要針對學(xué)生提出的各種猜想，及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生對猜想進(jìn)行驗(yàn)證，讓學(xué)生建立基本的數(shù)學(xué)模型.在這個(gè)環(huán)節(jié)當(dāng)中，教師要強(qiáng)調(diào)學(xué)生的自主性，給學(xué)生充足的機(jī)會讓學(xué)生交流討論，發(fā)表自己的意見.教師要注重發(fā)揮自身的引導(dǎo)功能，讓學(xué)生盡可能地使用數(shù)學(xué)語言來進(jìn)行交流表達(dá)，從而使學(xué)生更好地提煉出數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，歸納出基本的數(shù)學(xué)模型.

在學(xué)生借助生活中的案例回憶起函數(shù)的基本概念之后，筆者再引導(dǎo)學(xué)生去認(rèn)真觀察圖像，讓學(xué)生看看零點(diǎn)到三點(diǎn)、三點(diǎn)到十四點(diǎn)這兩個(gè)時(shí)間段內(nèi)，溫度是怎樣變化的.針對這個(gè)問題，要求學(xué)生以小組的方式討論出結(jié)果.在給學(xué)生充足的時(shí)間進(jìn)行合作討論之后，筆者讓學(xué)生分享討論的成果.學(xué)生大多提出了這樣的觀點(diǎn)：在零點(diǎn)到三點(diǎn)這個(gè)時(shí)間段內(nèi)，氣溫是在不斷降低的，在三點(diǎn)到十四點(diǎn)這個(gè)時(shí)間段內(nèi)，氣溫是在不斷上升的.針對學(xué)生的描述，筆者再次向?qū)W生強(qiáng)調(diào)了函數(shù)的概念，讓學(xué)生用“氣溫隨著時(shí)間不斷上升”這種更加準(zhǔn)確的描述方式進(jìn)行描述.緊接著，筆者再對學(xué)生說：“在剛才的探究中，我們得到了在不同的時(shí)間段內(nèi)，氣溫會隨著時(shí)間的變化而出現(xiàn)上升或下降的情況，這種情況反映出了函數(shù)的一種基本性質(zhì)，就是單調(diào)性.”在引出了單調(diào)性的概念之后，筆者讓學(xué)生自己在紙上畫一畫，隨意畫出來幾個(gè)函數(shù)圖像，并使用剛才的描述方式來簡單描述自己畫出來的圖像.在學(xué)生練習(xí)之后，再讓學(xué)生思考問題：“我們怎樣通過規(guī)范的數(shù)學(xué)語言來描述函數(shù)這種上升或者下降的趨勢呢？”這個(gè)問題同樣需要學(xué)生以合作的方式來進(jìn)行探討.過了一段時(shí)間之后，有學(xué)生發(fā)現(xiàn)可以使用對比的方式，也就是“在零點(diǎn)到三點(diǎn)這個(gè)時(shí)間段內(nèi)任意選出兩個(gè)時(shí)間點(diǎn)，對這兩個(gè)時(shí)間點(diǎn)對應(yīng)的氣溫進(jìn)行比較”，針對學(xué)生的這種描述，筆者回應(yīng)道：“這位學(xué)生的思路非常好，大家可以接著按照他的這種思路，使用規(guī)范的數(shù)學(xué)語言來進(jìn)行描述嗎？”接著，筆者讓學(xué)生繼續(xù)合作討論，試著讓學(xué)生自己建立起增函數(shù)和減函數(shù)的模型.經(jīng)過合作探索，學(xué)生可以比較好地運(yùn)用“在……范圍內(nèi)”“任意取”“如果都有”等關(guān)鍵詞來建立增函數(shù)和減函數(shù)的基本模型.這樣通過讓學(xué)生在分析生活實(shí)例的過程中學(xué)會從數(shù)學(xué)的角度、用數(shù)學(xué)的語言去描述問題、分析問題以及解決問題，可以使學(xué)生懂得如何從實(shí)際問題當(dāng)中抽象出數(shù)學(xué)模型，有助于學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的發(fā)展.

3.總結(jié)內(nèi)化，理解模型

學(xué)生在上一環(huán)節(jié)中建立出的數(shù)學(xué)模型是根據(jù)某一個(gè)問題提煉出的，可以讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)問題的本質(zhì).接下來，教師要順應(yīng)數(shù)學(xué)建模的基本原則，引導(dǎo)學(xué)生針對建立出的基本模型，對其進(jìn)行形式化的定義，讓學(xué)生通過對模型的凝練表達(dá)來理解模型，使學(xué)生體會數(shù)學(xué)模型的價(jià)值，進(jìn)而讓學(xué)生將模型融入自己已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，形成對數(shù)學(xué)模型更完善的認(rèn)識.

在學(xué)生建立起了增函數(shù)和減函數(shù)的基本模型之后，筆者將兩種函數(shù)性質(zhì)的教材描述展示在電子白板上，讓學(xué)生根據(jù)這兩種定義來思考自己在解釋函數(shù)的增減性時(shí)應(yīng)注意哪些問題.經(jīng)過一番討論之后，有學(xué)生說道：“當(dāng)兩個(gè)自變量滿足＜時(shí)，有（）＜（），那么這樣的函數(shù)就是增函數(shù)；而當(dāng)兩個(gè)自變量滿足＜時(shí)，有（）＞（），那么這樣的函數(shù)就是減函數(shù).”在聽了這個(gè)學(xué)生的表達(dá)之后，又有學(xué)生接著說道：“我們還應(yīng)當(dāng)注意，要想判斷一個(gè)函數(shù)的單調(diào)性，必須要確保選擇的兩個(gè)自變量都在函數(shù)的定義域內(nèi)，并且要強(qiáng)調(diào)任意這兩個(gè)字，如果有一種情況不符合這個(gè)描述，那么就不能稱之為增函數(shù)或者減函數(shù).”經(jīng)過學(xué)生討論和陳述，筆者再引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行知識的遷移：“我們今天學(xué)習(xí)了函數(shù)單調(diào)性的知識，之后，我們會學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等特殊的函數(shù)，這些函數(shù)是不是也會表現(xiàn)出單調(diào)性呢？”這樣，通過讓學(xué)生對建立的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行總結(jié)，可以讓學(xué)生將函數(shù)的單調(diào)性模型融入自身的函數(shù)知識體系中，有助于培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)思維.

4.拓展推廣，應(yīng)用模型

數(shù)學(xué)建模能夠?yàn)閷W(xué)生解決生活中的實(shí)際問題搭建起橋梁，學(xué)生經(jīng)過自主建立模型，能夠使學(xué)生對數(shù)學(xué)模型產(chǎn)生更加深刻的理解.因此為了讓學(xué)生可以感受到數(shù)學(xué)建模中蘊(yùn)含的樂趣，使學(xué)生收獲建模的成就感，教師要在學(xué)生完成了數(shù)學(xué)建模之后，及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生有意識地將數(shù)學(xué)建模應(yīng)用到現(xiàn)實(shí)生活中去，讓學(xué)生將知識進(jìn)行拓展和深化，從而使學(xué)生在實(shí)際的體驗(yàn)當(dāng)中對建立出的模型產(chǎn)生感性的理解，落實(shí)對學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的培養(yǎng)目標(biāo).

為了讓學(xué)生進(jìn)一步感受到函數(shù)單調(diào)性模型建立的重要性，筆者在學(xué)生建立了模型之后，在課堂上引入了交叉學(xué)科的思想，讓學(xué)生在合作中探索兩個(gè)問題，問題1：在物理學(xué)中有一個(gè)概念稱之為波義耳定律，內(nèi)容為＝（是常數(shù)），這個(gè)概念的含義為對于一定量的氣體，當(dāng)體積減小時(shí)，壓強(qiáng)會增加.試著從數(shù)學(xué)的角度證明這個(gè)定律；問題2：小明針對某一天的氣溫獲得了如下的信息，從早上八點(diǎn)到中午十二點(diǎn)，天氣變得越來越暖和.十二點(diǎn)到下午一點(diǎn)，下起了大雨.在雨過之后，溫度又開始上升了，一直到下午六點(diǎn)太陽落山.請你根據(jù)小明記錄的情況，畫出這一天早上八點(diǎn)到下午六點(diǎn)氣溫的大概圖像，并說出其中的單調(diào)區(qū)間.這樣通過引入生活中的問題來引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行模型的拓展應(yīng)用，可以更好地調(diào)動學(xué)生的積極性，讓學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用價(jià)值.

三、新課程標(biāo)準(zhǔn)下的高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)反思

1.深入挖掘教材，探索建模思想

現(xiàn)階段，我國的整體教育機(jī)制正在實(shí)現(xiàn)從應(yīng)試教育到素質(zhì)教育的轉(zhuǎn)變，新一版的高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)同樣強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)教育要將培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用思想作為主要的目標(biāo)之一，使學(xué)生懂得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的價(jià)值.因此為了落實(shí)課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，教師應(yīng)當(dāng)要有積極備課的意識，在教學(xué)準(zhǔn)備的過程中對教材中的模型思想進(jìn)行深入的挖掘，明確教材當(dāng)中知識的來源，從而在教學(xué)的過程中更好地建立起基礎(chǔ)數(shù)學(xué)模型.

同時(shí)，在確定教學(xué)目標(biāo)的過程中，教師也要將模型的理解作為重要的教學(xué)內(nèi)容，使學(xué)生找到數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)建模思想的交叉點(diǎn).比如，在引導(dǎo)學(xué)生建立指數(shù)函數(shù)的模型時(shí)，教師可以引入生物方面的知識，讓學(xué)生去回憶細(xì)胞分裂的過程，讓學(xué)生可以從生物現(xiàn)象中抽象出數(shù)學(xué)概念.總之，教師要對教材展開充分的研讀，結(jié)合課程標(biāo)準(zhǔn)對學(xué)生應(yīng)用能力提出要求，挖掘出教材當(dāng)中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)建模思想，實(shí)現(xiàn)用教材而不是教教材.

2.關(guān)注已有模型，促進(jìn)自主發(fā)現(xiàn)

數(shù)學(xué)建模是一種思想，通過引導(dǎo)學(xué)生反復(fù)經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的過程，使學(xué)生逐漸掌握數(shù)學(xué)建模的有效方法，進(jìn)而讓學(xué)生懂得如何從現(xiàn)實(shí)生活問題當(dāng)中抽象出數(shù)學(xué)模型.而在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，由于學(xué)生的數(shù)學(xué)建?；A(chǔ)普遍比較薄弱，因此在剛開始展開數(shù)學(xué)建模教學(xué)時(shí)，教師要減少學(xué)生自主建立模型的過程，要積極引導(dǎo)學(xué)生從已經(jīng)建立好的模型來理解數(shù)學(xué)建模的內(nèi)涵，避免學(xué)生因過早地展開自主建模而對數(shù)學(xué)建模活動產(chǎn)生誤解，出現(xiàn)基礎(chǔ)不牢固的情況.

在高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)中，教師要對學(xué)生已經(jīng)獲得的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行充分的挖掘，讓學(xué)生可以構(gòu)建出基本的數(shù)學(xué)認(rèn)知框架，從而為學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)生活中的數(shù)學(xué)模型做好準(zhǔn)備.教師要對學(xué)生學(xué)到的數(shù)學(xué)概念、定理、公式等知識進(jìn)行充分的探索，積極引導(dǎo)學(xué)生去分析這些知識形成的過程，讓學(xué)生可以開展有意義的數(shù)學(xué)探究活動.同時(shí)，教師也要注重引導(dǎo)學(xué)生將自己新獲得的知識和自己已經(jīng)獲得的知識經(jīng)驗(yàn)聯(lián)系在一起，使學(xué)生從中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)建模的規(guī)律，落實(shí)對學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的培養(yǎng).

3.加強(qiáng)課堂練習(xí)，滲透建模思想

在建模教學(xué)中，讓學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)模型去解決實(shí)際問題是一個(gè)十分重要的環(huán)節(jié)，能夠使學(xué)生自然而然地實(shí)現(xiàn)對數(shù)學(xué)建模過程的反思，讓學(xué)生鞏固學(xué)到的方法、概念和定理.在實(shí)際的教學(xué)中，經(jīng)常會看到學(xué)生明明對基礎(chǔ)知識的掌握十分牢固，但是在解題的過程中卻會出現(xiàn)很多的錯(cuò)誤，這是因?yàn)閷W(xué)生沒有及時(shí)鞏固自己的知識，缺乏實(shí)際應(yīng)用的經(jīng)驗(yàn).因此在高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)中，教師要向?qū)W生展示基于數(shù)學(xué)建模思想的解題方式，讓學(xué)生可以按照自己建立數(shù)學(xué)模型的步驟來解決問題，用邏輯思維去找到問題的答案，從而讓學(xué)生對數(shù)學(xué)知識融會貫通.

同時(shí)，教師也要在學(xué)生解決問題的過程中鼓勵(lì)學(xué)生從不同的角度去思考問題.針對同一問題，有時(shí)可以建立出不同的數(shù)學(xué)模型，讓學(xué)生去尋找多種解題方法，可以使學(xué)生形成靈活的問題思考方式，使學(xué)生的歸納能力、探究能力、分析能力等獲得提升，培養(yǎng)更加靈活的數(shù)學(xué)建模思想.

結(jié) 語

當(dāng)前，高中數(shù)學(xué)教學(xué)中建模思想的滲透還存在很多的不足，因此教師應(yīng)當(dāng)深入貫徹新課程標(biāo)準(zhǔn)的精神，加強(qiáng)對高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中教學(xué)內(nèi)容的解讀，總結(jié)出行之有效的數(shù)學(xué)建模教學(xué)方法，使學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力獲得實(shí)質(zhì)的提升，為學(xué)生以后高效應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決問題奠定良好的基礎(chǔ).教師要結(jié)合數(shù)學(xué)建模的一般方式，使用合適的方法將建模的思想融入教學(xué)中來，幫助學(xué)生建立適合自己的數(shù)學(xué)建模體系，改善高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)的質(zhì)量.