高 璐，姚炳學

(聊城大學 數(shù)學科學學院，山東 聊城 252059)

0 引言

粗糙集理論是由Pawlak于1982年提出的一種能夠處理信息系統(tǒng)中知識的不確定性、粒度性和不完備性的數(shù)學工具[1]。其理論核心是一對基于論域上等價關系的近似算子。由于等價關系過于苛刻，人們把等價關系放寬為一般的(模糊)關系或者(模糊)覆蓋，引入了各種各樣的廣義粗糙集[2-5]。

覆蓋粗糙集是Pawlak粗糙集的重要推廣，是由Zakowski[6]最先引入的。近十年來，覆蓋粗糙集[7-9]及其模糊推廣[10-15]，一直是粗糙集領域的研究熱點。例如，文獻[9]通過覆蓋直接定義上、下近似算子；文獻[2，3]則結(jié)合覆蓋生成的鄰域來研究上、下近似算子；文獻[7]更是從元素、粒子和子系統(tǒng)等多個視角出發(fā)，建立了一般覆蓋粗糙近似算子的理論框架。類似于經(jīng)典的覆蓋粗糙集，文獻[11]從模糊覆蓋直接定義上、下近似算子；文獻[15]借助模糊覆蓋生成的鄰域來研究近似算子；文獻[12]探討了模糊覆蓋粗糙集的公理化問題；文獻[13]建立了模糊β-覆蓋粗糙集理論。

對應于經(jīng)典集合論中的補集，模糊集理論中的補集也是不可或缺的，通常是通過單位區(qū)間[0，1]上的標準否定算子N:a1-a來定義模糊集的補集。但是除標準否定外，[0，1]上還有很多不依賴于減法“-”的否定算子；而且標準否定很難推廣到更一般的格上。于是人們通過一般的否定算子來定義模糊集的補集，所得結(jié)果自然更具普遍意義。如文獻[12，16-18]即是通過一般的否定算子來定義并研究基于模糊關系和模糊覆蓋的粗糙集。特別地，借助完全分配格上的否定算子，文獻[18]研究了模糊覆蓋生成的鄰域和補鄰域，并進一步建立了完全分配格上的模糊覆蓋粗糙集新模型。

2020年，文獻[10]引入了幾種新穎而有趣的模糊覆蓋粗糙集-基于隸屬度和隸屬函數(shù)的模糊覆蓋粗糙集。二者分別著眼于模糊覆蓋中成員對目標模糊集在局部和整體上的包含。因此，文獻[10]中的模糊覆蓋粗糙集具有了一些以往粗糙集所不具有的性質(zhì)。

本文將在文獻[10]的基礎上對基于隸屬函數(shù)的模糊覆蓋粗糙集展開進一步研究：基于單位區(qū)間[0，1]上的否定算子N，我們將引入基于隸屬函數(shù)的模糊覆蓋粗糙集新模型，研究新模型的基本性質(zhì)，并建立其與已有粗糙集模型的聯(lián)系。另外，文獻[10]指出模糊覆蓋近似算子不再具有Pawlak粗糙近似算子的部分性質(zhì)，但并未給出這些性質(zhì)成立的條件。本文將對我們的近似算子不滿足的性質(zhì)，給出其成立的充要條件。

1 預備知識

設R為論域U上的一個等價關系，稱(U，R)為一個近似空間，并記U/R={[x]R|x∈U}，其中[x]R={y∈U|(x，y)∈R}是x的等價類。

命題1[1]設(U，R)為一個近似空間，X，Y?U，記～X為X的補集。

基于覆蓋的粗糙集有多種形式的定義，下面給出其中一種，可以看做文獻[10]中模糊覆蓋粗糙集的特殊情形。

定義3[6]設(U，C)為覆蓋近似空間。對任意A?U，定義A的上、下近似為

2 模糊覆蓋粗糙集

首先回顧有關模糊集和模糊覆蓋的基本知識。

定義4[5]若映射N:[0，1]→[0，1]滿足N(0)=1，N(1)=0，a≤b?N(b)≤N(a)，?a，b∈[0，1]，則稱N為[0，1]上的一個否定算子。特別地，若N還滿足NN(a)=a，?a∈[0，1]，則稱N為[0，1]上的一個對合否定算子。此時，有德摩根對偶律成立

式中I為任一指標集。當N(a)=1-a時，稱N為[0，1]上的標準否定算子，簡稱標準否定。

若不做特別說明，文中出現(xiàn)的N為[0，1]上的對合否定算子。

當N為標準否定時，記NA為～A。

為區(qū)別稍后引入的新模型，我們稱文獻[10]中的粗糙集為基于隸屬函數(shù)的第一型模糊覆蓋粗糙集。

3 基于隸屬函數(shù)的模糊覆蓋粗糙集新模型

本節(jié)引入基于隸屬函數(shù)的模糊覆蓋粗糙集新模型，并研究其基本性質(zhì)。

接下來，我們給出基于隸屬函數(shù)的第二型模糊覆蓋近似算子的基本性質(zhì)。

(2H) 可由(3H)推得。

因此，(6L)得證。類似可證(6H)。

(8LI)和(8HI)分別由(3L)和(3H)推得。

即使對分明覆蓋，性質(zhì)

一般也不成立。下面的命題給出了使得上式成立的充分必要條件。

證明僅證(1)(3)，(2)(4)類似可證。

另一邊由(5LR)可得。故等式成立。

即條件(ML)成立。

綜上有

下例說明上、下近似一般不滿足對偶性

證明僅證第一個等式，第二個類似。

注記2文獻[10]指出當N為標準否定時，基于隸屬函數(shù)的第一型模糊覆蓋上、下近似不滿足對偶性。因標準否定是特殊的對合否定，由定理1知，基于隸屬函數(shù)的第二型模糊覆蓋上、下近似其實與第一型模糊覆蓋下、上近似是對偶的。

這表明我們所提出的基于隸屬函數(shù)的第二型模糊覆蓋粗糙集與Pawlak粗糙集雖有密切聯(lián)系，但它卻不是Pawlak粗糙集的直接推廣，而是一種新的粗糙集模型。

4 β-模糊覆蓋粗糙集新模型

本節(jié)引入基于隸屬函數(shù)的β-模糊覆蓋粗糙集新模型，并研究其基本性質(zhì)。

因此，當β=1時，基于隸屬函數(shù)的第二型β-模糊覆蓋粗糙集就是基于隸屬函數(shù)第二型模糊覆蓋粗糙集。換言之，基于隸屬函數(shù)的第二型β-模糊覆蓋粗糙集是基于隸屬函數(shù)的第二型模糊覆蓋粗糙集的推廣。

接下來，我們給出基于隸屬函數(shù)的第二型β-模糊覆蓋近似算子的基本性質(zhì)。

證(1L)對任意x∈U，根據(jù)定義9，有

(2H) 可由(1H)推得。

類似可證(6H)。

下例說明上、下近似一般不滿足對偶性

所以上下近似不滿足對偶性。

證明僅證第一個等式，第二個可類似證明，

注記5 文獻[10]指出當N為標準否定時，基于隸屬函數(shù)的第一型β-模糊覆蓋上、下近似不滿足對偶性，因標準否定是特殊的對合否定，由定理2知，基于隸屬函數(shù)的第二型β-模糊覆蓋的上、下近似其實與第一型模糊覆蓋下、上近似是對偶的。

注記6 因為基于隸屬函數(shù)的第二型β-模糊覆蓋粗糙集是基于隸屬函數(shù)的第二型模糊覆蓋粗糙集的推廣，而后者是Pawlak粗糙集的推廣。因此，基于隸屬函數(shù)的第二型β-模糊覆蓋粗糙集也是Pawlak粗糙集的推廣。

注記7 前文中我們一直考慮N為對合否定，在非對合否定情形下，不少結(jié)論仍是成立的，如命題2中的(1L)，(1H)，(2L)，(2H)，(3L)，(3H)，(6L)，(6H)，(8LI)，(8HI)與命題4中的(1L)，(1H)，(2L)，(2H)，(3L)，(3H)，(6L)，(6H)，證明過程由命題2和命題4可知，這里不再贅述。

5 結(jié)語

本文結(jié)合單位區(qū)間[0，1]上的否定運算N，引入了基于隸屬函數(shù)的模糊覆蓋粗糙集新模型，研究了其基本性質(zhì)，并探討了它們與已有粗糙集模型的聯(lián)系。特別地，我們證明了當N為標準否定時，新模型的上、下近似與文獻[10]中的下、上近似是對偶的。需要指出的是，無論是本文還是文獻[10]中近似算子的定義，模糊覆蓋中成員對目標模糊集的包含都是二值的，即要么包含要么不包含。未來工作中，我們將考慮用包含度來代替包含關系來研究模糊粗糙集模型。