雷家睿，韓潤澤，王柯人，黃 敏，趙蕓赫，馬宇翰

(1. 北京師范大學(xué) 物理學(xué)系，北京 100875；2. 四川省成都市新都一中 銘章學(xué)院，四川 成都 610500；3. 首都師范大學(xué)附屬中學(xué)，北京 100048；4. 中國工程物理研究院研究生院，北京 100193)

本文探究的問題源于國際青年物理學(xué)家錦標(biāo)賽(IYPT)2021的課題之一：一個帶槽的圓環(huán)形軌道圍繞它垂直于地面的直徑旋轉(zhuǎn)，一個剛性小球可以在圓環(huán)內(nèi)側(cè)的凹槽中滾動(如圖1所示).

圖1 裝置示意圖

這是一個典型的非慣性系中的剛體動力學(xué)問題，相關(guān)體系已吸引了不少研究興趣. 例如，王永志應(yīng)用勢能曲線得到了此系統(tǒng)中球的平衡點(diǎn)及其性質(zhì)，并對球的動力學(xué)過程進(jìn)行了定性分析[1]. Burov研究了球體在繞豎直軸旋轉(zhuǎn)圓環(huán)中的平衡位置，并在將其視作質(zhì)點(diǎn)的情況下，討論了平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性及摩擦力對平衡態(tài)的影響[2]. Duta和Ray在無摩擦、無自轉(zhuǎn)的理想狀態(tài)下，利用分析力學(xué)給出了球在繞軸旋轉(zhuǎn)圓環(huán)中運(yùn)動的解析解，分析了球的運(yùn)動模式[3]. 此外，還有針對球在旋轉(zhuǎn)拋物面[4]、旋轉(zhuǎn)桿[5]上運(yùn)動的研究. 然而，同時考慮球的自轉(zhuǎn)和摩擦對其在非慣性系中動力學(xué)行為的影響，還未有報道.

本文基于牛頓運(yùn)動方程，考慮球與軌道間的摩擦力及球的自轉(zhuǎn)，使用Matlab求解了運(yùn)動方程,得到了小球運(yùn)動規(guī)律對相關(guān)參數(shù)的依賴. 進(jìn)而搭建實(shí)驗(yàn)裝置，在測量圓環(huán)內(nèi)槽與球間摩擦系數(shù)的基礎(chǔ)上，定量檢驗(yàn)了理論結(jié)果.

1 理論分析

1.1 剛性小球平衡狀態(tài)的分析

設(shè)大環(huán)半徑為R，剛性小球半徑為r，圓環(huán)繞豎直軸轉(zhuǎn)動的角速度為ω，如圖1所示.

在圓環(huán)的隨動系中，小球在平衡時受到的科里奧利力為零，故其與槽的側(cè)面無正壓力. 若剛性小球在平衡時受到圓環(huán)底面摩擦力作用，考慮球自身的體積而非將其視作質(zhì)點(diǎn)，摩擦力力矩將使球旋轉(zhuǎn)并脫離穩(wěn)定狀態(tài)，這與球處于平衡狀態(tài)的前提相悖. 因此，剛性小球在平衡狀態(tài)下不受到摩擦力作用，只受到重力和環(huán)底面支持力作用，由牛頓第二定律可知

mgtanα=mω2(R-r)sinα

(1)

解得α=0或

(2)

由圖2可得，平衡位置α與圓環(huán)轉(zhuǎn)速ω成正相關(guān)，當(dāng)ω趨于無窮時，α趨于90°(圖2中虛線). 另外，α與圓環(huán)半徑也成正相關(guān). 與前面分析一致，對于特定半徑R，都有一個出現(xiàn)除α=0點(diǎn)以外的其他平衡位置的臨界角速度，環(huán)半徑越大，此臨界角速度值越小.

圖2 平衡位置的角度隨圓環(huán)角速度的變化(參數(shù)：r=0.8 cm)

1.2 剛性小球運(yùn)動的動力學(xué)過程

在理解了小球可能存在的靜態(tài)平衡后，本節(jié)將研究小球的運(yùn)動特征. 為了簡化理論分析，現(xiàn)做出如下限定：球與槽的相對位置如圖3所示，即槽的截面為方形，球與槽的側(cè)面和底面分別相切. 這限定了球的質(zhì)心不會有如圖3中左右的位移，只有垂直于紙面方向的位移，且槽側(cè)面對球的支持力在水平方向(z軸)上.

圖3 球與槽的相對關(guān)系

取x軸為極軸，逆時針為正方向，沿大圓環(huán)徑向向外的方向矢量為er，沿大圓環(huán)切向的方向矢量為eθ，z的方向矢量為k，滿足右手螺旋關(guān)系，如圖4所示.

圖4 小球的三維受力圖及坐標(biāo)系示意圖

設(shè)圓環(huán)轉(zhuǎn)動角速度為ω，圓環(huán)的圓心到圓環(huán)底面的距離為R，剛性小球質(zhì)量為m，半徑為r，重力加速度為g. 對剛性小球的三維受力分析如圖4所示，其中小球位于圓環(huán)上圖1中所示的位置.

設(shè)球與槽底面的正壓力為N1. 在隨圓環(huán)轉(zhuǎn)動的非慣性系中，存在沿x軸方向的慣性離心力F與沿k方向的科里奧利力Fcor，而Fcor的存在會使得球與槽的側(cè)壁產(chǎn)生與Fcor大小相同但方向相反的正壓力N2；因此，圓環(huán)的槽與球之間存在兩個摩擦力，分別是槽底面、側(cè)面與球的摩擦力，它們的大小分別為：

f1=μN(yùn)1

(3)

f2=μN(yùn)2=μFcor

(4)

(5)

(6)

由于f1、f2方向總與接觸點(diǎn)相對滑動方向相反，f1與f2各自的兩個分力具有如下關(guān)系：

(7)

(8)

分別列出er、eθ、k方向上球運(yùn)動的動力學(xué)方程為

(9)

(10)

(11)

其中

(12)

F=mω2(R-r)sinθ

(13)

對于球自轉(zhuǎn)，分解到er、eθ、k方向，列出方程：

(14)

(15)

(16)

其中球的轉(zhuǎn)動慣量I=2mr2/5. 在球的運(yùn)動過程中，摩擦力的方向是在動態(tài)變化的，故在上述方程組中引入符號函數(shù)：

(17)

聯(lián)立式(5)至式(17)，即可得到描述小球運(yùn)動的二階非線性微分方程組. 該微分方程組可使用Matlab進(jìn)行其數(shù)值求解，相應(yīng)結(jié)果將在2.3節(jié)中與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對比時具體給出.

2 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

2.1 實(shí)驗(yàn)裝置

本文搭建的實(shí)驗(yàn)裝置如圖5所示，其中圓環(huán)由普菲德5RK60RGN-CF型60 W電機(jī)帶動實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)動，電機(jī)上加裝了普菲德5GU-20-K型減速齒輪降低電機(jī)的轉(zhuǎn)速，使轉(zhuǎn)速達(dá)到實(shí)驗(yàn)要求的范圍. 同時，使用調(diào)速器對減速電機(jī)供電并實(shí)現(xiàn)電機(jī)的可控調(diào)速. 為加工得到合適的圓環(huán)，使用Shapr3D軟件對圓環(huán)進(jìn)行建模，并使用普通白色樹脂3D打印. 使用DHTC-1型多功能微秒計連接光電門，測量圓環(huán)的轉(zhuǎn)動角速度，同時監(jiān)測圓環(huán)是否勻速轉(zhuǎn)動.

圖5 實(shí)驗(yàn)裝置圖

實(shí)驗(yàn)中，由于剛性小球可能一直停在α=0的平衡位置而不在圓環(huán)上運(yùn)動，可使用鼓風(fēng)機(jī)對剛性小球提供微擾，使其能夠稍偏離平衡位置并在圓環(huán)上運(yùn)動. 小球的運(yùn)動狀態(tài)由在裝置的側(cè)面的云臺搭載攝像機(jī)進(jìn)行拍攝，拍攝幀率為120 fps到960 fps不等，具體幀率由圓環(huán)的轉(zhuǎn)速決定. 實(shí)驗(yàn)后，將拍攝的視頻導(dǎo)入Tracker，進(jìn)行數(shù)據(jù)分析.

2.2 圓環(huán)與球摩擦系數(shù)的測量

在使用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對理論進(jìn)行驗(yàn)證時，需要將實(shí)驗(yàn)參數(shù)代入到理論方程中，進(jìn)而求得理論曲線. 球半徑、圓環(huán)轉(zhuǎn)速等參數(shù)可以使用游標(biāo)卡尺、光電門等設(shè)備直接測量得到，但球與環(huán)間的摩擦系數(shù)無法直接測量. 以下提出一種用于測量小球與圓環(huán)內(nèi)壁摩擦系數(shù)的方法：

保持圓環(huán)靜止不旋轉(zhuǎn)，若在小角度α0時將小球釋放，小球因受到摩擦力作用而做振幅衰減的阻尼振動. 對于從α0靜止釋放到第n次運(yùn)動到振幅最大點(diǎn)αn的過程，由能量守恒定律可得

mg(R-r)(cosαn-cosα0)=

(18)

(19)

實(shí)驗(yàn)中，測量出α0和αi即可得到摩擦系數(shù)μ. 在圓環(huán)靜止不動時，將小球小角度釋放，使用Tracker軟件分析得到小球第i次運(yùn)動到振幅最大點(diǎn)時的角度αi，如圖6所示.

圖6 第i個振幅極大值點(diǎn)的角度αi實(shí)驗(yàn)測量值

重復(fù)多次實(shí)驗(yàn)，將實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)代入式(19)可求得球與環(huán)之間的摩擦系數(shù)μ=0.048.

2.3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及理論驗(yàn)證

首先分別在R=0.1 m和R=0.15 m的圓環(huán)上進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，檢驗(yàn)小球平衡位置和轉(zhuǎn)速的關(guān)系[式(2)]，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與理論對比如圖7所示. 其中誤差棒代表五次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)的均方差.

圖7 r=0.016 m,R=0.10 m和0.15 m時平衡位置隨角速度變化圖

從圖7可以看出，平衡位置與轉(zhuǎn)速、圓環(huán)半徑均成正相關(guān)，理論值均在實(shí)驗(yàn)值誤差棒范圍內(nèi)，說明理論與實(shí)驗(yàn)符合良好. 同時，除了圖中所示的平衡位置外，α=0對于任意轉(zhuǎn)速ω均是一個平衡位置，這在實(shí)驗(yàn)和理論上均得到了證實(shí).

對于球在圓環(huán)上的運(yùn)動過程，需要將實(shí)驗(yàn)中測量得到的摩擦系數(shù)、圓環(huán)半徑以及小球的初始位置和速度等參數(shù)代入到1.2節(jié)給出的動力學(xué)方程組中，求出微分方程的數(shù)值解. 再將對應(yīng)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與理論值比較. 在R=0.20 m,r=0.016 m，ω分別16.20 rad/s、12.05 rad/s時，實(shí)驗(yàn)與理論對比如圖8所示.

圖8 R=0.20 m,ω=16.20 rad/s和ω=12.05 rad/s時理論驗(yàn)證

其中黑色實(shí)線為理論的數(shù)值解，黑色散點(diǎn)則為在實(shí)驗(yàn)中測得的數(shù)據(jù)點(diǎn).兩組獨(dú)立實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與理論曲線均符合良好，驗(yàn)證了理論模型的正確性. 在對小球運(yùn)動過程的理論進(jìn)行驗(yàn)證時，摩擦系數(shù)是實(shí)驗(yàn)中唯一不確定的參量，它測量的精確性直接影響到了實(shí)驗(yàn)對理論的驗(yàn)證效果. 圖8中的理論與實(shí)驗(yàn)的良好一致性，也說明了2.2節(jié)中提出的摩擦系數(shù)測量方法具有很高的精確度.

3 總結(jié)與展望

本文的研究對理解非慣性系中運(yùn)動物體的旋轉(zhuǎn)和摩擦對其動力學(xué)行為的影響有啟發(fā)性，提出的測量弧面上物體摩擦系數(shù)的辦法也具有可拓展性，可用于其它相似的系統(tǒng).