王 帥，張建東，王鳳飛，朱小芹

(江蘇理工學(xué)院 數(shù)理學(xué)院，江蘇 常州 213001)

量子力學(xué)表象和算符是量子力學(xué)中最基本且重要的概念，它們?cè)诹孔永碚撝衅鹬匾淖饔?特別是，有序算符內(nèi)的積分技術(shù)(簡(jiǎn)稱IWOP)[1]進(jìn)一步推動(dòng)了量子力學(xué)表象與算符的變換理論，使狄拉克符號(hào)法更完美、更具體，能更好的表達(dá)物理規(guī)律.

(1)

(2)

它也是一個(gè)厄米算符.它與式(1)是否具有類似的性質(zhì)，對(duì)應(yīng)于同一種物理測(cè)量呢？本文將會(huì)作進(jìn)一步的探討.

在本工作中，本文將借助IWOP技術(shù)討論以上問題，給出不對(duì)稱積分型投影算符式(1)和式(2)的積分顯式，進(jìn)而討論這一類厄米算符所對(duì)應(yīng)的物理測(cè)量.

1 雙模坐標(biāo)表象的不對(duì)稱積分型投影算符

為了便于學(xué)生對(duì)量子算符的IWOP積分技術(shù)的理解，這里給出詳細(xì)的推導(dǎo)過程. 在Fock態(tài)表象中，坐標(biāo)算符的本征態(tài)|x〉可以表示為[1]

(3)

在量子力學(xué)中，雙模真空投影算符的正規(guī)乘積形式如下：

(4)

式中符號(hào)::就表示玻色算符的正規(guī)乘積排序，即所有的產(chǎn)生算符都排列在湮沒算符的左邊，在符號(hào)::內(nèi)產(chǎn)生算符和湮沒算符可以任意交換位置，而不影響結(jié)果.因此，把式(3)和式(4)代入式(1)的左邊，可得

(5)

由式(5)可見，產(chǎn)生算符都在正規(guī)乘積符號(hào)::的左邊，湮沒算符都在右邊.因此，式(5)右邊的積分已經(jīng)按正規(guī)乘積排序好了，可進(jìn)一步寫為

(6)

由于在正規(guī)乘積符號(hào)::內(nèi)，產(chǎn)生算符和湮沒算符位置可以任意交換，是對(duì)易的，故式(6)在數(shù)學(xué)上可直接進(jìn)行積分.利用數(shù)學(xué)上的積分公式：

(7)

其積分收斂條件為Re(α)>0，對(duì)式(6)積分可得

(8)

這樣，本文就利用IWOP技術(shù)給出如式(1)所示不對(duì)稱積分型投影算符的積分顯式.

(9)

然后，把式(9)泰勒展開式中的產(chǎn)生算符都排列到符號(hào)::的左邊，湮沒算符排列到右邊，再利用式(4)立即可得

(10)

(11)

顯然，與雙模Fock態(tài)表象的完備性關(guān)系

另外，比較式(8)和式(11)可見，連續(xù)變量的不對(duì)稱積分型投影算符和分離變量的不對(duì)稱求和型投影算符是同一個(gè)厄米算符，即

(12)

自然要問，式(12)表示的不對(duì)稱投影算符既然是一類厄米算符，那么它在量子力學(xué)中是否有其經(jīng)典物理對(duì)應(yīng)呢，即是否對(duì)應(yīng)于某個(gè)物理量或某種物理測(cè)量呢? 這正是本文下面要討論的另一個(gè)主要問題.

2 雙模動(dòng)量表象的不對(duì)稱積分型投影算符

類似的,下面討論基于動(dòng)量表象所構(gòu)造的不對(duì)稱積分型投影算符.在Fock態(tài)表象中，動(dòng)量算符的本征態(tài)|p〉可以表示為[1]

(13)

與式(8)的推導(dǎo)過程類似，可導(dǎo)出式(13)的積分顯式為

(14)

在Fock態(tài)表象下，式(14)的右邊還可以寫成

(15)

(16)

雖然，式(8)與式(14)略有不同，但實(shí)質(zhì)上它們都是同一類厄米算符，也都對(duì)應(yīng)著同一種物理測(cè)量.下面，本文對(duì)此給出嚴(yán)格證明.

3 Mach-Zehnder干涉儀的宇稱測(cè)量方案

在量子度量學(xué)中，基于光學(xué)Mach-Zehnder干涉儀的相位估計(jì)方案有著重要且廣泛的應(yīng)用[6]. 宇稱測(cè)量，或稱為光子數(shù)的奇偶測(cè)量，是Mach-Zehnder干涉儀相位估計(jì)方案中的一種具體的測(cè)量方法[7]，如圖 1所示. 在圖1中，虛線框前的部分為量子態(tài)經(jīng)過第一塊平衡分束器BS1后，再經(jīng)過相移器，這一過程通常稱為參數(shù)化過程. 參數(shù)化后的量子態(tài)，本文用|Ψ〉ab來表示.這里相移器描述光經(jīng)過干涉儀的兩條光路所產(chǎn)生的相位差φ，這正是需要測(cè)量的參數(shù)．從測(cè)量的角度來講，在量子態(tài)|Ψ〉ab之后的部分均可認(rèn)為是測(cè)量部分.所以圖1虛線框所示的就是Mach-Zehnder干涉儀的宇稱測(cè)量方案.

圖1 Mach-Zehnder干涉儀中宇稱測(cè)量方案

Mach-Zehnder干涉儀的宇稱測(cè)量方案是指量子態(tài)|Ψ〉ab經(jīng)過最后一塊分束器后的光子數(shù)奇偶測(cè)量，即求測(cè)量算符的期望值：

(17)

(18)

(19)

在分束器的相位角θ=π/2和φ=0的特殊情況下,即考慮一塊平衡分束器，高洋等人把Mach-Zehnder干涉儀的宇稱測(cè)量方案表示成如下投影算符[3]：

(20)

進(jìn)而簡(jiǎn)化了宇稱測(cè)量信號(hào)的計(jì)算. 但他們并沒有給出解析的證明.

(21)

解析證明了結(jié)果式(20)的正確性，而且還給出了該測(cè)量方案在相干態(tài)表象、糾纏態(tài)表象中的表示，做了進(jìn)一步推廣.當(dāng)θ=π/2時(shí)，即為平衡分束器時(shí)，上式簡(jiǎn)化為

(22)

顯然，當(dāng)式(22)中參數(shù)φ=0和φ=π時(shí)，式(22)就分別等于式(8)和式(14)了.所以，式(8)和式(14)所表示的不對(duì)稱積分投影算符，都對(duì)應(yīng)于任意雙模量子態(tài)經(jīng)過一塊平衡分束器后的宇稱測(cè)量方案.因此，這里就回答了本文所提出的第2個(gè)有趣問題.

另一方面，與式(11)推導(dǎo)類似，容易給出式(22)在Fock態(tài)表象下的表示，即

(23)

當(dāng)式(23)中參數(shù)φ=0和φ=π時(shí)，式(23)就分別等于式(11)和式(15)了. 由以上討論可見，對(duì)于同一個(gè)厄米算符，可以根據(jù)不同需要，把它表示成不同量子力學(xué)表象下的不對(duì)稱投影算符形式，從而簡(jiǎn)化相關(guān)量子算符的運(yùn)算.

綜上所述，本文基于坐標(biāo)、動(dòng)量表象構(gòu)造了一類簡(jiǎn)單有趣的不對(duì)稱積分型投影算符，它們是量子力學(xué)上的一種厄米算符. 通過有序算符內(nèi)的積分技術(shù)，得到了該類不對(duì)稱積分型投影算符的正規(guī)乘積形式. 同時(shí)，本文嚴(yán)格證明了這類不對(duì)稱投影算符對(duì)應(yīng)于光學(xué)Mach-Zehnder干涉儀相位估計(jì)中的宇稱測(cè)量方案,從另一個(gè)角度展現(xiàn)了量子力學(xué)中的厄米算符和量子表象之間的緊密關(guān)系. 本文內(nèi)容比較新穎且有趣、計(jì)算推導(dǎo)過程相對(duì)簡(jiǎn)單易懂，為量子力學(xué)中表象變換論和狄拉克符號(hào)法提供了一個(gè)教學(xué)研究范例．