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        自轉(zhuǎn)多方球的內(nèi)部結(jié)構(gòu)

        2022-10-25 09:20:02羅昕睿
        大學(xué)物理 2022年10期
        關(guān)鍵詞:綱化無量勢能

        羅昕睿,余 聰

        (中山大學(xué) 物理與天文學(xué)院,廣東 珠海 519082)

        多方球經(jīng)常被作為模型來描述氣狀恒星的內(nèi)部結(jié)構(gòu). 對于靜止的多方球,利用流體靜力學(xué)平衡方程以及多方關(guān)系可以得到萊恩-埃姆登方程,通過求解該方程可以近似描述恒星的內(nèi)部結(jié)構(gòu). 但在更一般的情況下,恒星處于自轉(zhuǎn)中,因此旋轉(zhuǎn)對恒星多方球模型的外邊界與內(nèi)部結(jié)構(gòu)的影響尤為重要.而當考慮旋轉(zhuǎn)后,就需要對萊恩-埃姆登方程進行修改,修改后的方程從一維的常微分方程變成二維的偏微分方程.當自轉(zhuǎn)速度較慢時,此時的自轉(zhuǎn)多方球可以看成是對靜止多方球的一個偏移,所以可以利用微擾展開的方法進行求解,進而對自轉(zhuǎn)較慢的多方球的外邊界及內(nèi)部結(jié)構(gòu)有一個較為精準的認識.

        1 自轉(zhuǎn)情形下對萊登-埃姆登方程的修改

        在多方球模型中,假設(shè)壓強和密度滿足下列關(guān)系:

        (1)

        其中,p為內(nèi)部壓強,ρ為內(nèi)部密度,K為常數(shù),n為多方指數(shù).這個關(guān)系給出了氣狀恒星內(nèi)部的壓強是如何隨著內(nèi)部密度的改變而改變的,并由此結(jié)合一些基本動力學(xué)方程與熱力學(xué)方程就可以計算出恒星的內(nèi)部密度分布、內(nèi)部質(zhì)量分布、內(nèi)部溫度分布、熵輪廓等基本性質(zhì),進而使我們對恒星內(nèi)部結(jié)構(gòu)有一個直觀的認識.盡管這個關(guān)系是假設(shè)的,但利用該關(guān)系計算出來的結(jié)果與一些恒星的標準模型作比較卻非常接近,因此這個假設(shè)是非常合理的[8].下面我們主要利用流體靜力學(xué)平衡方程,分別討論靜止情形下的多方球滿足的方程與考慮自轉(zhuǎn)后的多方球滿足的方程.

        對于靜止多方球內(nèi)部達到流體靜力學(xué)平衡后,會滿足下列方程:

        ?p=ρ?V

        (2)

        ?2V=-4πGρ

        (3)

        其中,式(3)是引力勢能V滿足的泊松方程.對徑向長度r和密度ρ進行無量綱處理,并代入上述式(2)、(3),得到

        (4)

        考慮自轉(zhuǎn)后,假設(shè)自轉(zhuǎn)方向是沿著直角坐標下的z軸方向,則多方球的流體靜力學(xué)平衡方程在球坐標系(r,?,φ)中的表達式為

        (5)

        (6)

        μ=cos ?

        (7)

        其中,ω為多方球的自轉(zhuǎn)速度.而式(3)也可以寫為

        (8)

        將式(5)、式(6)、式(8)結(jié)合在一起,可得

        (9)

        (10)

        (11)

        其中,ξ為無量綱化后的徑向長度,ρcΘn為無量綱化后的密度,v為無量綱化后的自轉(zhuǎn)速度的平方. 式(10)為自轉(zhuǎn)情形下對萊恩-埃姆登方程的修改[1-3].

        2 求解自轉(zhuǎn)較慢情形下的方程

        假設(shè)自轉(zhuǎn)較慢情形下方程的解是對靜止多方球的解的一個微擾[1,3],即

        Θ(ξ,μ)=θ(ξ)+vΨ(ξ,μ)+…

        (12)

        其中θ(ξ)為靜止情形下萊恩-埃姆登方程的解,故不依賴角度.若僅考慮v的一階項,將式(12)代入式(10),并結(jié)合式(4)可得

        (13)

        利用分離變量的思路[1,3],Ψ可以展開為

        (14)

        其中,ψ0、ψj都是僅依賴ξ的函數(shù).Pj(μ)是僅依賴μ的勒讓德函數(shù),其對應(yīng)的勒讓德方程如下

        (15)

        將展開式(14)代入式(13),并利用式(15)進行化簡,可得ψ0、ψj滿足的方程如下

        (16)

        j=1,2,3,4,…

        (17)

        下面需要通過計算勢能,進而確定解式(14)的每一項前面的系數(shù)Aj.

        將式(8)(即球坐標下的泊松方程)寫成無量綱化的形式,并代入假設(shè)解,得

        (18)

        仍然利用分離變量的思路,假設(shè)上述方程的解具有如下形式:

        (19)

        其中,U(ξ)是靜止多方球的勢能,V0、Vj是僅依賴ξ的函數(shù),Pj(μ)是僅依賴μ的勒讓德函數(shù).將式(19)代入式(18),通過比較Pj(μ)前的系數(shù),可得

        (20)

        (21)

        (22)

        利用式(20)可得

        U=Rθ+cons

        (23)

        利用式(16)和式(21)可得

        (24)

        利用式(17)和式(22)可得

        (25)

        進而得到式(22)的一個特解:

        Vj=RAjψj+cons

        (26)

        但式(22)的通解還需加上下面常微分方程的解:

        (27)

        而式(27)的解為RBjξj,Bj為常數(shù),故式(22)的通解為

        Vj=R(Ajψj+Bjξj)+cons

        (28)

        綜合式(23)、式(24)、式(28),可得最終解為

        (29)

        此時,式(29)將勢能V與無量綱化后表征內(nèi)部壓強的Θ聯(lián)系在了一起,但仍存在一個待定系數(shù)Bj,而式(5)正好是壓強與勢能滿足的關(guān)系,可以借此確定Bj.

        (30)

        將式(29)代入式(30),通過比較Pj(μ)的系數(shù),可得

        Bj=0,j≠2,

        (31)

        進而可得

        (32)

        需要注意的是,式(32)表征的是多方球內(nèi)部某處的勢能,多方球外部的勢能應(yīng)由下列展開式所表征,即

        (33)

        而多方球內(nèi)外的勢能大小及勢能一階導(dǎo)數(shù)在多方球外邊界處應(yīng)保持相等,否則勢能會出現(xiàn)不連續(xù)性.由于這里考慮的多方球自轉(zhuǎn)速度較慢,多方球外邊界可近似取為靜止多方球的外邊界,設(shè)為ξ1,則由V(ξ1)=Vext(ξ1),V′(ξ1)=V′ext(ξ1),可得

        Aj=Cj=0,j≠2

        而j=2,為

        (34)

        (35)

        解得

        (36)

        進而得到最終解為

        Θ=θ+

        (37)

        由式(16)、式(17)知ψ0(ξ)和ψ2(ξ)滿足下列的常微分方程:

        (38)

        (39)

        式(4)、式(38)、式(39)均為常微分方程,利用四階顯式龍格-庫塔方法[6,7]可數(shù)值求解上述常微分方程.

        3 求解自轉(zhuǎn)多方球的外邊界

        (40)

        (41)

        多方球內(nèi)部壓強越往外越小,故θ(ξ)是一個單調(diào)遞減的函數(shù),所以-θ′(ξ1)=|θ′(ξ1)|,進而得到自轉(zhuǎn)情形下的多方球外邊界為

        (42)

        n=1,v=0.018

        n=1.5,v=0.018

        n=2,v=0.018圖1 自轉(zhuǎn)情形下的多方球外邊界(n ≤ 2)

        n=3,v=0.001 8

        n=3.5,v=0.001 8

        n=4,v=0.000 18圖2 自轉(zhuǎn)情形下的多方球外邊界(3≤n≤4)

        圖3 自轉(zhuǎn)情形下多方球扁率隨無量綱化自轉(zhuǎn)速度的平方的變化(n≤2)

        圖4 自轉(zhuǎn)情形下多方球扁率隨無量綱化自轉(zhuǎn)速度的平方的變化(3≤n≤4)

        由圖可見,n越大,自轉(zhuǎn)情形下多方球扁率受自轉(zhuǎn)速度的影響越敏感,形變越明顯.可以猜測,這主要是因為,n越大,其靜止多方球模型的密度分布越為集中,如圖5所示,導(dǎo)致靜止多方球的外邊界附近壓強較小,進而更容易受到由自轉(zhuǎn)帶來的離心力的影響,造成形變.

        圖5 不同n的靜止多方球(無量綱)密度分布

        表1 不同n的靜止多方球的及

        4 自轉(zhuǎn)情形下的多方球內(nèi)部密度分布

        以n=2,v=0.018為例,自轉(zhuǎn)情形下的多方球沿不同角度的內(nèi)部密度分布如圖6、圖7所示.

        圖6 自轉(zhuǎn)多方球沿不同角度的內(nèi)部密度分布(無量綱)

        圖7 對圖6進行局部放大

        當然,不同的n對應(yīng)的密度分布差異值所取的徑向長度也會有所不同,仍然選取對應(yīng)兩極方向和赤道方向的密度差異最為明顯的無量綱徑向長度ξ即可.這里僅代表n=2.

        圖8 密度分布差異值與(無量綱化)自轉(zhuǎn)速度的平方的關(guān)系(n=2)

        可以看到,隨著自轉(zhuǎn)速度的增加,密度分布差異值也在增加,這是符合預(yù)測的.因為自轉(zhuǎn)速度越大,多方球的赤道方向上的物質(zhì)受到更強的離心力,進而往外流動,并且兩極處的物質(zhì)也更容易“甩”到赤道附近,使得赤道方向上的密度分布越來越松散,而兩極方向上的密度分布越來越集中.

        5 求解自轉(zhuǎn)多方球的質(zhì)量半徑關(guān)系

        最后,我們計算自轉(zhuǎn)多方球的質(zhì)量半徑關(guān)系,利用式(43)

        M=2π?ρr2drdμ

        (43)

        將無量綱化半徑ξ及密度Θ代入,并保留v的一階項,得到從中心到任意徑向長度ξ′的質(zhì)量公式:

        (44)

        其中

        A=θn+nθn-1vψ0(ξ)-

        (45)

        (46)

        (47)

        (48)

        (49)

        因此,質(zhì)量半徑關(guān)系為

        (50)

        對于靜止多方球,即v=0時,其質(zhì)量半徑關(guān)系為

        M0=-Gξ′2θ′(ξ′)

        (51)

        利用式(50)可以改寫式(49)為

        (52)

        若將二者畫出來,如圖9—12所示.

        圖9 多方球(無量綱化)質(zhì)量半徑關(guān)系(n=1,v=0.018)

        圖10 多方球(無量綱化)質(zhì)量半徑關(guān)系(n=2,v=0.018)

        圖11 多方球(無量綱化)質(zhì)量半徑關(guān)系(n=3,v=0.001 8)

        圖12 多方球(無量綱化)質(zhì)量半徑關(guān)系(n=4,v=0.000 18)

        可以看到,在相同中心密度的情況下,自轉(zhuǎn)多方球的質(zhì)量要大于靜止多方球的質(zhì)量,并且由圖可以看到,半徑越大,自轉(zhuǎn)多方球與靜止多方球的質(zhì)量相差越大.這是可以被理解的,在靠近核心處,離心力的作用還較小,可以被忽略,故主要的流體靜力學(xué)平衡還是引力與壓強達到平衡,所以靜止多方球與自轉(zhuǎn)多方球的質(zhì)量較為接近;而越往外,離心力的作用越來越大,當大到一定程度后,離心力的作用不可被忽略,此時向內(nèi)的引力需要和向外的壓強與離心力達到平衡,故需要的更大質(zhì)量來提供足夠的引力,所以越往外,自轉(zhuǎn)多方球的質(zhì)量與靜止多方球的質(zhì)量相差越大.

        6 討論求解方法的局限性

        本文利用微擾法求解自轉(zhuǎn)速度較慢的多方球時較為準確,但當自轉(zhuǎn)速度較快時,微擾法將不再適用.若仍采用微擾法進行求解,求解出來的壓強為0的等高線會沿赤道裂開,也就代表了微擾法求解的多方球外邊界也沿赤道裂開,如圖13所示.本文認為當出現(xiàn)這個狀況時,微擾法將不再適用于求解自轉(zhuǎn)多方球,應(yīng)該使用其它辦法進行求解.

        圖13 利用微擾法求解的自轉(zhuǎn)較快多方球外邊界(n=2)

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