劉丹 王貝

（江蘇第二師范學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院）

2020年5月《高等學(xué)校課程思政建設(shè)指導(dǎo)綱要》[1]（以下簡(jiǎn)稱(chēng)《綱要》）中指出：理學(xué)、工學(xué)類(lèi)專(zhuān)業(yè)課程要在課程教學(xué)中把馬克思主義立場(chǎng)觀點(diǎn)方法的教育與科學(xué)精神的培養(yǎng)結(jié)合起來(lái)，提高學(xué)生正確認(rèn)識(shí)問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。理學(xué)類(lèi)專(zhuān)業(yè)課程，要注重科學(xué)思維方法的訓(xùn)練和科學(xué)倫理的教育，培養(yǎng)學(xué)生探索未知、追求真理、勇攀科學(xué)高峰的責(zé)任感和使命感。為貫徹習(xí)近平總書(shū)記講話精神，全國(guó)高校推進(jìn)“課程思政”建設(shè)，已有許多學(xué)者進(jìn)行了有益的探索[2-5]。文獻(xiàn)[2]介紹了南京大學(xué)數(shù)學(xué)系在推動(dòng)數(shù)學(xué)課堂與課程思政的融合方面的工作，強(qiáng)調(diào)了將數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)文化融入課程思政的重要性，以及前沿講座、專(zhuān)家學(xué)者會(huì)客廳、學(xué)習(xí)報(bào)告相結(jié)合的第二課堂課程思政平臺(tái)。文獻(xiàn)[3]從“加大政策扶持力度、開(kāi)展線上與線下混合教學(xué)模式，落實(shí)在線教學(xué)過(guò)程管理，完善評(píng)價(jià)體系，提高教師文化素養(yǎng)，逐步完善智能可視化平臺(tái)和相關(guān)配套工作”等方面提出切實(shí)可行且行之有效的高等數(shù)學(xué)課程思政建設(shè)策略。文獻(xiàn)[4]以高等數(shù)學(xué)課堂為例，列舉出以身立教、揭示數(shù)學(xué)美、陶冶情感、融入德育元素等將傳授知識(shí)與德育教育相融合的四大有效方法，強(qiáng)調(diào)知識(shí)傳授與課程思政無(wú)縫對(duì)接，為高等數(shù)學(xué)教學(xué)中實(shí)施課程思政提供有益的參考。文獻(xiàn)[5]以河海大學(xué)大禹學(xué)院《工科數(shù)學(xué)分析》思政教育改革為例，闡述了理工科思政教育的元素，介紹了理工科四條思政元素融入課堂的培養(yǎng)成果。

《數(shù)學(xué)分析》作為數(shù)學(xué)類(lèi)各專(zhuān)業(yè)基礎(chǔ)類(lèi)必修課，開(kāi)課 3 學(xué)期，理論教學(xué)近 300 學(xué)時(shí)，是開(kāi)課時(shí)間最長(zhǎng)、分量最重一門(mén)課程，是后續(xù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。該課程對(duì)學(xué)生了解微積分的產(chǎn)生背景、基本思想以及其完善過(guò)程，理解微積分在整個(gè)科學(xué)發(fā)展歷史中的意義，加深對(duì)初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)知識(shí)差異與關(guān)聯(lián)的認(rèn)識(shí)和理解，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)有重要意義。同時(shí)，數(shù)學(xué)分析課程中的許多知識(shí)和方法都充滿了辯證法，能夠有效幫助學(xué)生弄清不變與變、有限與無(wú)限、局部與整體、特殊與一般的辯證關(guān)系，進(jìn)一步培養(yǎng)辯證唯物主義史觀。因此，該課程的思想政治教學(xué)模式研究迫在眉睫。但是，注意到，由于教學(xué)內(nèi)容多、理論性強(qiáng)、抽象度高及課程難度很大、教學(xué)壓力大等問(wèn)題，使得數(shù)學(xué)分析課程思政的推進(jìn)令許多任課教師感到為難。

反常積分在數(shù)學(xué)分析課程中占有非常重要的地位，且在數(shù)學(xué)、物理及工程學(xué)中都有著廣泛的應(yīng)用。反常積分是定積分概念的推廣，在實(shí)際應(yīng)用時(shí)需要突破定積分中對(duì)積分區(qū)間和被積函數(shù)的限制，從而導(dǎo)致反常積分概念的產(chǎn)生。但由于無(wú)窮限反常積分的定義十分抽象，教學(xué)方式單一，學(xué)生缺乏直觀想象，對(duì)初學(xué)者來(lái)講很難理解。

本文針對(duì)無(wú)窮限反常積分概念的知識(shí)點(diǎn)，科學(xué)設(shè)計(jì)案例例題，融入了課程思政到教學(xué)中。通過(guò)“神舟十四號(hào)”載人飛船發(fā)射視頻，引出求第二宇宙速度問(wèn)題，通過(guò)講述中國(guó)載人航天30年間跨越式發(fā)展的輝煌成就，激發(fā)學(xué)生的愛(ài)國(guó)情懷、民族自豪感，同時(shí)在解決問(wèn)題過(guò)程中感受微積分的神奇之美，有助于提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

一、教學(xué)設(shè)計(jì)思路

由于無(wú)窮限反常積分的定義十分抽象，采用問(wèn)題驅(qū)動(dòng)法，以“問(wèn)題導(dǎo)入—共性概括—概念的引出—總結(jié)計(jì)算公式—實(shí)例應(yīng)用—課后思考”思路展開(kāi)。首先，依托“案例教學(xué)法”“問(wèn)題驅(qū)動(dòng)法”教學(xué)模式，從求第二宇宙速度、求開(kāi)口圖形的面積兩個(gè)實(shí)例中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，并從數(shù)形結(jié)合的動(dòng)態(tài)演示中體會(huì)從有限到無(wú)限的思想，幫助學(xué)生對(duì)于無(wú)窮限反常積分的概念有一個(gè)直觀的理解和認(rèn)識(shí)；其次，從兩個(gè)實(shí)際問(wèn)題提煉出共性，把這種變上限函數(shù)的極限抽象出來(lái)，上升為數(shù)學(xué)上的概念-無(wú)窮限反常積分，進(jìn)而推導(dǎo)出無(wú)窮限反常積分的計(jì)算公式，并回看引例，實(shí)際問(wèn)題，讓學(xué)生學(xué)以致用；再次，通過(guò)實(shí)例消化無(wú)窮限反常積分概念，并強(qiáng)化計(jì)算，體會(huì)無(wú)窮限反常積分的本質(zhì)；最后，總結(jié)課程要點(diǎn)，結(jié)合課程思政，啟發(fā)學(xué)生在日后的工作生活當(dāng)中，遇到考驗(yàn)時(shí)，可以把它視為一個(gè)反常積分。表面上看似不可能的事情，實(shí)際上往往卻是收斂的，大有可為的。在看待問(wèn)題、想事情時(shí)，要用科學(xué)、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S去全方面考慮，萬(wàn)萬(wàn)不能絕對(duì)化的想當(dāng)然，解決問(wèn)題也要有創(chuàng)新性和突破性。

二、教學(xué)過(guò)程

（一）問(wèn)題的引入

由于無(wú)窮限反常積分的定義十分抽象，對(duì)初學(xué)者來(lái)講很難理解。故本知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)設(shè)計(jì)在問(wèn)題導(dǎo)入環(huán)節(jié)花費(fèi)了一些時(shí)間，用火箭發(fā)射視頻拋出第二宇宙速度問(wèn)題，引出無(wú)窮限區(qū)間上的積分，以及無(wú)界區(qū)域的面積計(jì)算問(wèn)題體會(huì)從有限到無(wú)限的思想，將抽象的概念具體化，使學(xué)生在課程初始，對(duì)于無(wú)窮積分的概念有一個(gè)直觀的理解和認(rèn)識(shí)。設(shè)計(jì)如下：

首先播放神舟十四號(hào)載人飛船成功發(fā)射的視頻，并介紹其背景。既能提升學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，體會(huì)學(xué)以致用，又能通過(guò)展現(xiàn)30年間中國(guó)航天的跨越式發(fā)展激發(fā)學(xué)生民族自豪感和愛(ài)國(guó)情懷，增強(qiáng)文化自信。短片播放后提出問(wèn)題：

引例1 發(fā)射火箭，要使得火箭克服地球的引力，無(wú)限遠(yuǎn)離地球，發(fā)射的初始速度，0V至少要多大？

建立直角坐標(biāo)系，以地球的球心o為原點(diǎn)，發(fā)射塔為ox軸。地球的半徑為R，火箭的質(zhì)量為m，地面上的重力加速度用g來(lái)表示。根據(jù)萬(wàn)有引力，在距地心x處（x＞R），火箭的引

引導(dǎo)學(xué)生觀察圖1，思考：

圖1 火箭發(fā)射演示

學(xué)生現(xiàn)在還不會(huì)求火箭無(wú)限遠(yuǎn)離地球需做的功，但會(huì)求火箭從地面上升到離地心h處需要做的功hW。由已學(xué)的定積分知識(shí)可知，hW可以用下限為R，上限為h的 定積 分來(lái)表示。要求火箭從地面到無(wú)限遠(yuǎn)處克服地球引力所做的功，需要在上式中令h趨向于正無(wú)窮。注意到，當(dāng)h→+∞時(shí)，意味著積分的區(qū)間就是從R到正無(wú)窮。此時(shí)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)遇到了一個(gè)積分區(qū)間是無(wú)窮區(qū)間的非正常積分，它表示的是一個(gè)變上限定積分的極限，所反映的是火箭要無(wú)限遠(yuǎn)離地球所做的功。從而學(xué)生對(duì)無(wú)窮積分的概念有一個(gè)直觀的理解和認(rèn)識(shí)。

接著看第二個(gè)問(wèn)題。

2.2.1 對(duì)國(guó)有苗圃進(jìn)行產(chǎn)權(quán)改革和產(chǎn)業(yè)化重組，將其納入市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)軌道，主要是通過(guò)產(chǎn)權(quán)制度改革，建立能按市場(chǎng)法則辦事，徹底拋棄“等、靠、要”的思想，真正成為獨(dú)立經(jīng)營(yíng)、自負(fù)盈虧、獨(dú)立享有民事責(zé)任的法人實(shí)體，實(shí)現(xiàn)經(jīng)營(yíng)管理機(jī)制由事業(yè)性管理轉(zhuǎn)變?yōu)橐宰非蠼?jīng)濟(jì)利益最大化的市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)運(yùn)行體制，自覺(jué)適應(yīng)市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)要求。并在市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)中做強(qiáng)做大，正發(fā)揮國(guó)有苗圃的龍頭和示范帶動(dòng)作用。

因?yàn)樗菬o(wú)界區(qū)域，學(xué)生現(xiàn)在不會(huì)求開(kāi)口曲邊梯形的面積。在以往的教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，不少同學(xué)第一反應(yīng)就是，無(wú)界區(qū)域的面積不應(yīng)該是無(wú)窮大嗎？也有部分同學(xué)畫(huà)圖思考后，考慮到被積函數(shù)在[ )

1,+∞上是非負(fù)函數(shù)，直接套用定積分的幾何意義，得出結(jié)論：面積是在[1 ,+∞)上的積分，隨即發(fā)現(xiàn)右端點(diǎn)是x=+∞，這與定積分中積分區(qū)間是有限的相矛盾。學(xué)生感到困惑不已。

為解決這一矛盾，在x軸上取實(shí)數(shù)u大于1，那么在區(qū)間[1,u]上，就得到了一個(gè)定積分學(xué)習(xí)時(shí)常見(jiàn)的封閉的曲邊梯形，可知其面積等于下限為1，上限為u的定積分。學(xué)生通過(guò)觀察圖2，發(fā)現(xiàn)所取的u越大，則這個(gè)封閉曲邊梯形的面積就越接近無(wú)界區(qū)域的面積。利用極限思想，讓實(shí)數(shù)u趨近于無(wú)窮大，則變限定積分的極限就是開(kāi)口曲邊梯形的面積。

圖2 引例2 無(wú)界圖形面積問(wèn)題

（二）概括共性

給學(xué)生提出問(wèn)題：這兩個(gè)問(wèn)題有什么共性呢？

引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：雖然這兩個(gè)問(wèn)題的背景不同，但從數(shù)學(xué)上看二者本質(zhì)卻是相同的，都可以歸結(jié)為變上限定積分函數(shù)的極限問(wèn)題。并且形式上，當(dāng)變上限趨向于正無(wú)窮的時(shí)候，意味著積分區(qū)間就是從某一常數(shù)到正無(wú)窮。

通過(guò)以上兩個(gè)生活中的案例，讓學(xué)生形象的感受到無(wú)窮積分蘊(yùn)含著從有限到無(wú)限的思想。它將定積分的有限區(qū)間推廣到了無(wú)限區(qū)間，這就是無(wú)窮限反常積分，以下簡(jiǎn)稱(chēng)無(wú)窮積分，也有教材稱(chēng)為第一類(lèi)反常積分。

（三）無(wú)窮限反常積分定義

設(shè)函數(shù)f(x)在[a , +∞)內(nèi)有定義，且對(duì)任意一個(gè)u大于a，f (x)在[a,u ]上黎曼可積?？紤]f (x)在[a,u ]上的變上限積分，當(dāng)u趨向于正無(wú)窮時(shí)，如果這個(gè)極限存在，則稱(chēng)此極限為f (x)在[a , +∞)上的無(wú)窮積分，記做

回看引例1中，火箭無(wú)限遠(yuǎn)離地球所需做的功可用[R , +∞)上的無(wú)窮積分表示。即

由動(dòng)力學(xué)知識(shí)，火箭發(fā)射時(shí)必須具有的最小動(dòng)能應(yīng)等于地面到無(wú)限遠(yuǎn)處克服地球引力所做的功，即解得v0= 11.2公里秒。

根據(jù)上面的分析，我們就解決了，航空航天領(lǐng)域中的火箭發(fā)射的初始速度。

（四）計(jì)算公式

無(wú)窮積分是通過(guò)變限定積分的極限定義的。通過(guò)求變上限的定積分函數(shù)當(dāng)自變量趨于無(wú)窮時(shí)的極限，若極限存在則收斂，若不存在則發(fā)散。因此，無(wú)窮積分的定義式既可用于判定，又可用于計(jì)算。

根據(jù)以上的分析，教師推導(dǎo)具體的計(jì)算公式。

無(wú)窮積分的計(jì)算，首先求被積函數(shù)f(x)的原函數(shù)F(x)，將積分上下限帶入，再求極限。即

稱(chēng)為廣義的牛頓萊布尼茨公式。

（五）其他兩種形式

類(lèi)似地，可以定義其他兩種無(wú)窮區(qū)間上的積分形式。此時(shí)可以先讓學(xué)生討論f(x)在(- ∞,b]上的無(wú)窮積分，教師再給出精確定義，即

進(jìn)一步推導(dǎo)計(jì)算公式

對(duì) 于 f(x)在(- ∞,+ ∞)上 的無(wú)窮積分，用上述兩種無(wú)窮積分的和來(lái)表示并計(jì)算，即

提醒學(xué)生需要注意，這個(gè)無(wú)窮積分收斂的充要條件為：等式右端的這兩個(gè)無(wú)窮積分都收斂。以上，我們就學(xué)習(xí)了三種形式的無(wú)窮限反常積分的定義。

（六）例題講解

結(jié)合例題，讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)無(wú)窮積分是通過(guò)變限定積分的極限定義的。

解： 按照此無(wú)窮區(qū)間的無(wú)窮積分計(jì)算公式，

（七）課程小結(jié)

本知識(shí)點(diǎn)主要講解了三種無(wú)窮區(qū)間上的反常積分。無(wú)窮限的反常積分是通過(guò)第二宇宙速度而引入，它的幾何直觀是無(wú)界區(qū)域的面積。在課程最后，需要重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)：無(wú)窮積分是通過(guò)變限定積分的極限定義的。通過(guò)求變限的定積分函數(shù)的極限，若極限存在則收斂，若不存在，則發(fā)散。因此，無(wú)窮積分的定義式既可用于判定，又可用于計(jì)算。實(shí)際使用過(guò)程中，廣義牛頓萊布尼茨格式使用更方便。

同學(xué)們?cè)诮鉀Q這個(gè)實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程當(dāng)中也發(fā)現(xiàn)了一個(gè)違反常規(guī)的結(jié)果，無(wú)界區(qū)域的面積值竟然為有限值。這正是微積分的神奇之美。

我們?cè)诠ぷ魃钪?，遭遇考?yàn)時(shí)，都可以把它視為一個(gè)反常積分。表面上看似不可能的事情，實(shí)際上往往卻是收斂的。所以，在看待問(wèn)題、想事情時(shí)，要用科學(xué)、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S去全方面考慮，萬(wàn)萬(wàn)不能絕對(duì)化的想當(dāng)然，解決問(wèn)題也要有創(chuàng)新性和突破性。

（八）課后思考

最后，請(qǐng)學(xué)生課后來(lái)思考，無(wú)窮限的反常積分是將定積分的有限區(qū)間推廣到了無(wú)限區(qū)間。那么試想，如果將定積分的被積函數(shù)的有界性推廣到無(wú)界函數(shù)，那么又會(huì)得到什么形式的積分呢？又該如何計(jì)算呢？

三、小結(jié)

通過(guò)“神舟十四號(hào)”載人飛船成功發(fā)射的視頻超然的畫(huà)面激發(fā)學(xué)生民族自豪感。接著引出求第二宇宙速度問(wèn)題，結(jié)合求開(kāi)口圖形的面積兩個(gè)實(shí)例抽象成數(shù)學(xué)概念，讓學(xué)生感受無(wú)窮限反常積分概念產(chǎn)生的背景，探索概念的形成過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力。授課過(guò)程中，借助多媒體輔助教學(xué)，使得課程講授更加形象化。強(qiáng)調(diào)無(wú)窮限反常積分的幾何直觀，讓學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用無(wú)窮限反常積分解決實(shí)際問(wèn)題，做到學(xué)以致用。最后，結(jié)合課程思政，將課程落到實(shí)處，讓立德樹(shù)人“潤(rùn)物無(wú)聲”，為社會(huì)主義建設(shè)培養(yǎng)接班人。筆者所在高校積極推進(jìn)課程思政建設(shè)，建設(shè)課程思政示范課程。實(shí)踐證明，數(shù)學(xué)分析課程的教學(xué)效果，課堂氣氛活躍了，學(xué)生學(xué)習(xí)興趣提升了，課間討論課程學(xué)習(xí)的同學(xué)增多了。但同時(shí)需要注意的是，學(xué)生不喜歡疲沓的、枯燥的說(shuō)教，希望把具體知識(shí)和案例穿插進(jìn)思政內(nèi)容，即“潤(rùn)物無(wú)聲”。這就需要授課教師精心準(zhǔn)備教學(xué)設(shè)計(jì)，不斷挖掘課程思政元素，這也對(duì)任課教師的能力提出了更高的要求。