張 進(jìn)，陳青全，朱閱，楊 震

（國防科技大學(xué)空天科學(xué)學(xué)院 湖南 長沙 410073）

1 課程概況與改革需求

隨著信息科學(xué)與計算機(jī)技術(shù)的高速發(fā)展，數(shù)值計算及分析軟件的研制和應(yīng)用已經(jīng)遍及工程和科學(xué)計算的各個領(lǐng)域。計算機(jī)是20 世紀(jì)最偉大的科學(xué)技術(shù)發(fā)明之一，但沒有軟件的有效支持，超級計算機(jī)的能力也得不到充分發(fā)揮，而軟件的核心是算法。數(shù)值計算方法常簡稱計算方法，是工科院校本科學(xué)生的學(xué)科基礎(chǔ)課，是科學(xué)計算的重要基礎(chǔ)之一。

各高校，特別是工科院校，都非常重視計算方法的教學(xué)，并進(jìn)行了大量教學(xué)改革研究，對計算方法教學(xué)的一些難點也有共識。國防科技大學(xué)空天科學(xué)學(xué)院開設(shè)該課程已超過20 年，主要面向航空航天（簡稱空天）類專業(yè)大二本科生開設(shè)，每年約5－6 個班次。雖然教學(xué)團(tuán)隊積累了豐富的經(jīng)驗，基于課程本身的特點及空天類專業(yè)的培養(yǎng)需求，計算方法教學(xué)實踐中仍然存在幾大問題沒有得到很好解決。

1.1 課程內(nèi)容之間缺乏連貫性

課程主要講授的內(nèi)容包括：解線性方程組的直接法、插值法與最小二乘法、數(shù)值積分與微分、常微分方程數(shù)值解法、逐次逼近法（線性方程組的迭代法、非線性方程與方程組的迭代法、特征值計算的冪法）等。雖然逼近、迭代兩大思想貫穿多個內(nèi)容，且部分內(nèi)容應(yīng)用于多章（如插值法應(yīng)用于數(shù)值積分、常微分方程數(shù)值解法公式的構(gòu)造等），但由于每章針對的問題不同，問題之間的支撐關(guān)系沒有明確交代，學(xué)生仍然難以形成貫穿全課程的體系思路，特別在方法如何使用、如何配合的問題上比較迷茫。

1.2 學(xué)時相對較少，重理論輕實踐

計算方法既有數(shù)學(xué)課程的理論抽象性和嚴(yán)謹(jǐn)性，又有解決實際問題的實用性和實踐性。教師們在教學(xué)中很早便意識到實踐鍛煉的重要性，需要強調(diào)編程實驗。然而，由于該課程內(nèi)容豐富，安排課時卻相對較少，造成教師教學(xué)時為了強調(diào)理論的完整性與公式推導(dǎo)，對實踐部分分配課時不足，上機(jī)實驗內(nèi)容及形式相對呆板，缺少應(yīng)用問題的興趣激發(fā)和算法設(shè)計的訓(xùn)練，造成學(xué)生完成課程學(xué)習(xí)后運用計算方法解決實際問題的能力仍然較弱。

1.3 重公式推導(dǎo)，輕直觀引導(dǎo)

數(shù)值計算公式大多冗長煩瑣，課堂上直接推導(dǎo)費時費力，且學(xué)生也很難跟上老師公式推導(dǎo)的節(jié)奏，更難長久記憶。當(dāng)整節(jié)的課程都是大量公式推導(dǎo)時，學(xué)生上課疲于聽講，沒有主動思考，容易產(chǎn)生煩躁和厭學(xué)的情緒，教學(xué)效果欠佳。

1.4 空天專業(yè)聯(lián)系弱

目前，計算方法課程內(nèi)容緊密結(jié)合了高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)等數(shù)學(xué)知識以及計算機(jī)程序設(shè)計等計算機(jī)知識，但沒有針對空天專業(yè)特點進(jìn)行內(nèi)容個性化定制，也未將后續(xù)專業(yè)課程中的科學(xué)計算問題融入計算方法課程，使得學(xué)生應(yīng)用數(shù)值計算解決專業(yè)問題的能力較弱。

計算方法作為空天類本科專業(yè)的學(xué)科基礎(chǔ)必修課，對后續(xù)專業(yè)課的學(xué)習(xí)具有重要支撐作用。如何在計算方法課程中融入有專業(yè)背景的科學(xué)計算問題，對學(xué)生科學(xué)計算思維與能力的培養(yǎng)，專業(yè)實踐啟蒙，以及達(dá)到學(xué)以致用的效果等都至關(guān)重要。

2 實踐教學(xué)改革

2.1 改革思路

針對當(dāng)前課程內(nèi)容缺乏連貫性、學(xué)時相對較少而重理論輕實踐、重公式推導(dǎo)而輕直觀引導(dǎo)、與空天專業(yè)聯(lián)系弱等不足，建設(shè)空天案例體系以加強課程與空天類專業(yè)聯(lián)系的同時串聯(lián)計算方法知識點，建設(shè)圖形動畫集以直觀引導(dǎo)理論學(xué)習(xí)并提高教學(xué)效率，進(jìn)行線上線下混合式教學(xué)縮減課內(nèi)講授學(xué)時，設(shè)計競賽性上機(jī)實驗和開發(fā)自動化驗證平臺以激發(fā)學(xué)生興趣并鍛煉動手能力；開展課程思政建設(shè)，培養(yǎng)空天精神。

2.2 改革措施

2.2.1 貫穿全課程的空天案例體系建設(shè)

以神舟飛船交會對接任務(wù)設(shè)計、控制中的數(shù)值計算需求為牽引，結(jié)合計算方法課程知識點，對實際問題進(jìn)行適當(dāng)簡化，并用課程中的方法進(jìn)行求解，進(jìn)而建立了貫穿課程各章的空天案例體系。飛船從發(fā)射入軌到交會對接涉及多個階段，對應(yīng)的設(shè)計控制問題均需要計算方法的支持。例如：在發(fā)射入軌階段，火箭上升過程中需要在線計算大氣阻力，而阻力的計算需要大氣密度這一隨高度變化的參數(shù)，實際任務(wù)中往往通過高度-大氣密度表，基于高度插值的方式計算大氣密度；為了預(yù)測后續(xù)任務(wù)的準(zhǔn)確時刻、航天器的狀態(tài)，需要進(jìn)行軌道預(yù)報，實際任務(wù)中往往基于位置速度的常微分方程組，采用Runge-Kutta 法進(jìn)行求解；在地面控制部分軌道機(jī)動的計算需求解非線性方程組，在自主控制部分軌道機(jī)動計算需求解線性方程組等。通過將圍繞一個航天任務(wù)的數(shù)值計算案例引入計算方法課程，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，加強了課程與空天專業(yè)的聯(lián)系，學(xué)以致用；同時，用任務(wù)需求貫穿各知識點，在學(xué)生知識結(jié)構(gòu)中形成網(wǎng)絡(luò)，相互關(guān)聯(lián)，更有利于學(xué)生后續(xù)對方法的應(yīng)用與拓展。

2.2.2 直觀易懂的計算方法演示圖形動畫集建設(shè)

計算方法課程一些關(guān)鍵概念、方法的公式推導(dǎo)過程較冗長，僅直接講解公式，效率低，學(xué)生易疲勞且方法思想掌握效果不好。通過剖析關(guān)鍵概念與算法公式的特點，以幾何曲線、形狀的動態(tài)組合進(jìn)行展現(xiàn)，并將不同方法、計算迭代/步進(jìn)過程以動態(tài)曲線等形式進(jìn)行比較，使復(fù)雜的公式、概念更易于理解接受，提升教學(xué)效果與效率。例如：常微分方程求解的Euler 公式步進(jìn)過程可以用動畫的方式逐漸展現(xiàn)過點與斜率做直線，進(jìn)而通過多組直線構(gòu)成的折線來近似原曲線的過程，幫助學(xué)生直觀形象地理解Euler 公式的實質(zhì)；Runge-Kutta 公式的構(gòu)造可用多個斜率構(gòu)成的圖形幫助學(xué)生直觀形象地理解其使用加權(quán)平均斜率的實質(zhì)。

通過幾何圖形幫助理解公式幾何意義的教學(xué)方法，已在計算方法的部分內(nèi)容中使用，教學(xué)改革中盡可能讓這種方法覆蓋大部分重點、難點的概念與公式，并通過圖形動畫的精心設(shè)計與制作以提高展示效果。另一方面，增強了計算方法中各方法的步進(jìn)過程、不同方法求解過程的動態(tài)比較等以加深理解。

2.2.3 線上線下混合式教學(xué)

在學(xué)時不能增加的情況下，要增加編程實踐內(nèi)容，則必然要擠壓理論部分教學(xué)的學(xué)時?；跂|北大學(xué)的國家精品MOOC“數(shù)值分析”，構(gòu)建了SPOC 線上課堂，給學(xué)生分配部分易學(xué)或拓展理論知識點作為自學(xué)內(nèi)容，學(xué)生基于MOOC視頻、課件、在線習(xí)題開展自主學(xué)習(xí)，部分緩解了課內(nèi)學(xué)時有限的問題。

2.2.4 競賽性上機(jī)實驗設(shè)計與自動化驗證平臺開發(fā)

通過上機(jī)實驗來鍛煉學(xué)生應(yīng)用計算方法的能力，在不少計算方法課程教改論文中有關(guān)注，也在一些課程教學(xué)中得到貫徹執(zhí)行。然而，已有的計算方法上機(jī)實驗中，學(xué)生只需輸入程序、調(diào)試，然后獲得期望的正確結(jié)果，撰寫實驗報告，即滿足要求。這種方式關(guān)注算法設(shè)計與正確實現(xiàn)，忽視了我們需要培養(yǎng)的數(shù)值計算思維的其他重要方面，如算法的精度、穩(wěn)定性、效率等，而且學(xué)生主觀能動性也未得到充分調(diào)動。通過結(jié)合計算方法課程主要算法及空天案例設(shè)計競賽性的實驗內(nèi)容，開發(fā)了自動化驗證平臺，讓學(xué)生在有限的時間里在線提交解決實驗問題的計算程序，并以程序提交時間、結(jié)果正確性、計算精度、穩(wěn)定性、運行效率等作為指標(biāo)進(jìn)行競爭性實時排名，而排名又作為得分重要依據(jù)。在線自動化驗證平臺的開發(fā)，縮短了學(xué)生熟悉程序的時間，提高了實驗效率、鍛煉了動手能力，也激發(fā)了學(xué)生主動學(xué)習(xí)的興趣。同時，自動化驗證平臺也大大減少了老師批改程序作業(yè)的工作量。另外，課程大作業(yè)分組開展，不限制具體題目，但要求必須用到課內(nèi)講授的特別是實驗過的算法，以進(jìn)一步鍛煉學(xué)生動手能力，并充分發(fā)揮各自的聰明才智；大作業(yè)采用課件的形式進(jìn)行展示匯報，并互相提問回答，鍛煉了學(xué)生的交流表達(dá)能力。

2.2.5 課程思政建設(shè)

課程思政方面，從數(shù)學(xué)家的貢獻(xiàn)、計算方法中各算法的科學(xué)家的故事等入手，幫助學(xué)生培養(yǎng)民族自豪感、刻苦學(xué)習(xí)、不畏艱難的精神。同時，特別注意挖掘航天歷史上與數(shù)值計算相關(guān)的關(guān)鍵問題與事跡。例如，Gauss 對軌道邊值問題求解中的貢獻(xiàn)幫助天文學(xué)家再次跟上谷神星，也幫助其一戰(zhàn)成名，而這與常微分方程邊值問題求解及非線性方程求解緊密相關(guān)；航天領(lǐng)域的軌道初值問題本質(zhì)是Kepler 方程這一非線性方程的求解問題，通過介紹Kepler 雖然視力不佳但通過對老師觀測數(shù)據(jù)的分析與數(shù)學(xué)推導(dǎo)提出行星運動三大定律的故事，引導(dǎo)學(xué)生志在空天、追求卓越。

3 改革效果

3 年多來，課程教學(xué)團(tuán)隊將教學(xué)改革逐步推行至學(xué)院航空航天類專業(yè)全部教學(xué)班次，參與學(xué)生近400 人，取得了顯著成效。對2021 年秋季學(xué)期4 個教學(xué)班105 名學(xué)生的調(diào)查問卷結(jié)果中，大部分認(rèn)為對知識點的關(guān)系有較好理解并對專業(yè)課有所期待，說明案例體系起到了搭建基礎(chǔ)與專業(yè)橋梁的作用；91%的學(xué)生認(rèn)為啟發(fā)了用數(shù)值計算的思想來解決其他課程部分問題的思路，說明有效地培養(yǎng)了數(shù)值思維；75%的學(xué)生認(rèn)為在線實驗自動化驗證平臺幫助其提高了實驗效率；75%的學(xué)生認(rèn)為開放式大作業(yè)題目有利于各展所長；36%的學(xué)生自信可以用計算方法來解決其他實際問題，而50%的學(xué)生認(rèn)為有效入了門但還有很長的路要走，說明編程實踐鍛煉取得了良好的效果。

改革后的課程為學(xué)生學(xué)習(xí)后續(xù)專業(yè)課程提供了更好的實踐基礎(chǔ)，架設(shè)了基礎(chǔ)課與專業(yè)課的橋梁，助力學(xué)生在各類競賽中獲得了豐碩的成果。“計算方法”課程也被評為2021 年湖南省線上線下混合式一流課程。

4 結(jié)論

針對“計算方法”課程內(nèi)容缺乏連貫性、學(xué)時相對較少而重理論輕實踐、重公式推導(dǎo)而輕直觀引導(dǎo)、與空天專業(yè)聯(lián)系弱等不足，建設(shè)了空天案例體系、圖形動畫集，構(gòu)建了線上線下混合式教學(xué)環(huán)境，開發(fā)了在線實驗自動化驗證平臺，進(jìn)行了課程思政建設(shè)。教學(xué)效果表明，改革后的課程有效培養(yǎng)了學(xué)生數(shù)值計算的思想，學(xué)生的理論與實踐結(jié)合的能力得到顯著提高，真正架設(shè)了基礎(chǔ)課與專業(yè)課的橋梁。研究成果可作為其他數(shù)值計算相關(guān)課程教學(xué)的參考。