張 彬

(江蘇省西亭高級(jí)中學(xué)，江蘇南通，226300)

涉及不等式“能成立”(或存在性成立)問(wèn)題，是高中數(shù)學(xué)中有關(guān)函數(shù)與不等式的一個(gè)重點(diǎn)與難點(diǎn)，往往以含參不等式形式出現(xiàn)，是一類(lèi)極具交匯性、綜合性與創(chuàng)新性的復(fù)雜應(yīng)用問(wèn)題，難度較大，形式多樣.此類(lèi)不等式“能成立”問(wèn)題知識(shí)融合性強(qiáng)，解決時(shí)有一定的經(jīng)驗(yàn)規(guī)律與技巧方法可循，能有效考查學(xué)生“四基”的落實(shí)情況，具有非常好的選拔性與區(qū)分度，倍受關(guān)注.

1 問(wèn)題呈現(xiàn)

問(wèn)題 (云南省昆明市2022屆高三“三診一?！泵自\斷測(cè)試?yán)砜茢?shù)學(xué)·21)設(shè)函數(shù)f(x)=x2-axlnx，a∈R.

(1) 若a=1，求曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線(xiàn)方程；

(2) 若存在x0∈[1，e]，使得f(x0)<-e(a+e)成立，求a的取值范圍.

此題是新高考中比較常見(jiàn)的一類(lèi)不等式“能成立”(或存在性成立)問(wèn)題，以含參函數(shù)為問(wèn)題背景，通過(guò)導(dǎo)數(shù)的幾何意義來(lái)構(gòu)建，求解曲線(xiàn)上相關(guān)點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；結(jié)合限定區(qū)間的給出，構(gòu)建存在條件背景下的涉及參數(shù)的不等式成立問(wèn)題，由此來(lái)求解參數(shù)的取值范圍.

這里以不等式“能成立”(或存在性成立)問(wèn)題創(chuàng)設(shè)，通過(guò)含參存在性問(wèn)題的構(gòu)建，結(jié)合不等式成立來(lái)設(shè)置，可以借助不等式成立的背景，從直接構(gòu)建函數(shù)、分離參數(shù)等方法構(gòu)建相應(yīng)的函數(shù)等常見(jiàn)的思維視角切入，也可以通過(guò)存在性問(wèn)題成立的充要條件來(lái)合理分析與推導(dǎo)等.

2 問(wèn)題破解

解析：(1) 由于函數(shù)f(x)=x2-axlnx，a∈R的定義域?yàn)?0，+∞).

若a=1，則f(x)=x2-xlnx，求導(dǎo)可得f′(x)=2x-(lnx+1).

而f′(1)=1，f(1)=1.

從而曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)(1，1)處的切線(xiàn)方程為y-1=1×(x-1)，即y=x；

(2) 方法1：(參考答案中的方法——同除簡(jiǎn)化函數(shù)法)

分析：考慮到直接對(duì)函數(shù)f(x)求解相應(yīng)的最小值，導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算量比較大，可以通過(guò)轉(zhuǎn)化，考慮將不等式f(x)<-e(a+e)兩邊同時(shí)除以x，從而將題干中的相關(guān)的復(fù)雜函數(shù)“axlnx”轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單函數(shù)“alnx”來(lái)處理，有效簡(jiǎn)化函數(shù)來(lái)分析與處理.

解析：由不等式f(x)<-e(a+e)，整理可得x2-axlnx+e(a+e)<0.

因?yàn)閤∈(0，+∞)，所以x+e>0，令g′(x)=0，得x=e+a.

若e+a≤1，即a≤1-e時(shí)，g(x)在[1，e]上單調(diào)遞增.

若e+a≥e，即a≥0時(shí)，g(x)在[1，e]上單調(diào)遞減.

只需g(e)=e-a+e+a<0，不成立；

若1

方法2：(參數(shù)分離法)

分析：考慮到要求解參數(shù)a的取值范圍，通過(guò)對(duì)不等式f(x)<-e(a+e)恒成立進(jìn)行合理化歸與整理，結(jié)合變量的取值范圍進(jìn)行分類(lèi)討論，進(jìn)而結(jié)合分離參數(shù)，并利用構(gòu)建函數(shù)法將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為a

解析：由不等式f(x)<-e(a+e)，整理可得a(xlnx-e)>x2+e2.

當(dāng)x=e時(shí)，a∈?；

由于x∈[1，e)，可得2x(xlnx-e)<0，(lnx+1)(x2+e2)>0，故g′(x)<0.

則知函數(shù)g(x)在[1，e)上單調(diào)遞減.

方法3：(逆否命題等價(jià)轉(zhuǎn)化法)

分析：通過(guò)對(duì)參數(shù)a進(jìn)行分類(lèi)討論，當(dāng)a≤0時(shí)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的最值，結(jié)合不等式的性質(zhì)與求解來(lái)確定參數(shù)a的取值范圍；而當(dāng)a>0時(shí)，結(jié)合互為逆否命題的等價(jià)性思維，利用不等式的性質(zhì)以及函數(shù)的單調(diào)性來(lái)確定此時(shí)不滿(mǎn)足條件；綜合分類(lèi)討論法進(jìn)而來(lái)確定參數(shù)a的取值范圍.

解析：由于當(dāng)x∈[1，e]時(shí)，xlnx和x2均是單調(diào)遞增.

則當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)=x2-axlnx在[1，e]上單調(diào)遞增，此時(shí)f(x)min=f(1)=1.

而當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)任意x∈[1，e].

由f(x)+e(a+e)=x2-axlnx+e(a+e)=(e-xlnx)a+e2+x2.

而由于x∈[1，e]，可得1≤xlnx≤e，即e-xlnx≥0.

所以f(x)+e(a+e)=(e-xlnx)a+e2+x2>e2+x2>0恒成立.

由此可得，當(dāng)a>0時(shí)，不存在x0∈[1，e]，使得f(x0)<-e(a+e)成立；

3 變式拓展

變式1 已知函數(shù)f(x)=x2-(a+2)x+alnx，a∈R.

(I) 若a=-2，求曲線(xiàn)y=f(x)在x=1處的切線(xiàn)方程；

(II) 討論函數(shù)f(x)在[1，e]上的單調(diào)性；

(III) 若存在x∈[1，e]，使得f(x)≤0成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

而f′(1)=0，f(1)=1，所以所求切線(xiàn)方程為y=1；

即當(dāng)a≤2時(shí)，f′(x)≥0，此時(shí)函數(shù)f(x)在[1，e]上單調(diào)增；

(Ⅲ)方法一：(分類(lèi)討論法)

當(dāng)a≤2時(shí)，由于函數(shù)f(x)在[1，e]上單調(diào)增，則知函數(shù)f(x)的最小值為f(1)=-a-1，可得-1≤a≤2.

當(dāng)a≥2e時(shí)，函數(shù)f(x)在[1，e]上單調(diào)減，則知函數(shù)f(x)的最小值為f(e)=e2-(a+2)e+a.

綜上，a≥-1，所以a的取值范圍是[-1，+∞).

方法二：(分離參數(shù)法)(略)

4 解后反思

涉及不等式“能成立”(或存在性成立)問(wèn)題，解決的基本策略就是“含參”轉(zhuǎn)化與“分參”處理兩個(gè)基本思維角度，具體解決時(shí)，思維技巧方式多樣，巧思妙解，利用不等式“能成立”的背景，綜合不等式的性質(zhì)、不等式的求解以及函數(shù)的基本性質(zhì)等，借助函數(shù)的合理構(gòu)造，函數(shù)、方程與不等式三者之間的巧妙轉(zhuǎn)化，利用熟知的數(shù)學(xué)模型來(lái)分析與破解不等式的“能成立”問(wèn)題，提升數(shù)學(xué)品質(zhì)，提高數(shù)學(xué)能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).