張 晨

(南京市第九中學，江蘇南京，210000)

1 數(shù)學習題課教學現(xiàn)狀

現(xiàn)階段，不少中小學老師仍然習慣將過去的“題海戰(zhàn)術”作為指導數(shù)學的教學規(guī)律和高考應試訓練的法寶，因為他們始終堅信“熟能生巧”.但是過度的練習只會讓學生“熟能生厭”，使學生不想學習，阻礙其發(fā)展.在這種比較傳統(tǒng)枯燥的高中數(shù)學的教學訓練方式下，學生雖然能夠較迅速快捷地理解識別考試題型、套用各種解題策略的思維技巧方式和學習方法，但是對于應用普通數(shù)學知識工具去直接解決現(xiàn)實生活場景中遇到的某些實際的問題時，他們往往變得束手無策.最終會導致許多學生只能停留在機械模仿的層面上進行解題，不利于學生的思維能力、創(chuàng)新意識及應用能力的培養(yǎng)和提高，從而使素質教育很難真正落實.

通過對多年實驗研究探索后發(fā)現(xiàn)，在陳舊落后的學校，傳統(tǒng)的數(shù)學習題課業(yè)測驗及教學評價思維模式體系中加入一些富有啟發(fā)性、開放性、探究性問題，可以在很大程度上，有效彌補學校在傳統(tǒng)的數(shù)學紙、筆、題、作業(yè)等測驗考查形式框架中的封閉性，試題體系固有存在的種種教學功能及不足，從而提高數(shù)學習題課的教學有效性.在進行高中數(shù)學新課程實驗教學研究工作中，教師發(fā)現(xiàn)：如若教師們能及時系統(tǒng)地按現(xiàn)行考試指導大綱要求，結合現(xiàn)有高中階段通用各種版本教材，經(jīng)常針對性地和適時而定量性地去對其教材某些基礎定理、例題等一一去作比較，進行認真地、詳細地、系統(tǒng)地和透徹地剖析，編擬好其中一些題目難度系數(shù)適中、形式十分活潑和多樣新穎的且都十分能吸引學生思考特點的開放性、探究性題目，讓學生開動腦筋去探究及思考，這將會對提高課堂教學氣氛、激發(fā)培養(yǎng)起學生課外自主學習與探究的興趣、培養(yǎng)并提高學生課外自主思維創(chuàng)造技能及創(chuàng)造思維能力等會起到一個十分正面、積極的作用，使數(shù)學習題課真正體現(xiàn)課程改革的理念.

2 開放性問題

開放性問題，是指一個相對較于一般那些考查條件較完備、結論相對確定可靠的封閉式研究問題類型而言，在具體設問和方式研究上也要求具有多角度、多層次研究的開放型問題.開放性數(shù)學問題，或條件結論均不完全唯一，或已知條件皆不十分完備，或未知條件和未知結論都比較開放，徹底上改變了中國傳統(tǒng)開放性數(shù)學題思維的一種封閉的形式，容易充分激發(fā)了學生思維探求的欲望，誘導著學生主動離棄他們原有固定的傳統(tǒng)思維軌道，從不同學科的認知角度、尋求以不同思維的途徑去解決這些問題，為新世紀學生個性化的開放數(shù)學問題學習的活動探索創(chuàng)造提供了另外一種充滿探索未知、富有探索挑戰(zhàn)意識的思維新的環(huán)境，讓開放式數(shù)學的學習活動真正成為了一個生動的、主動參與的、個性表達的學習過程.

2.1 設計結論開放性問題

例1已知定義在R上的函數(shù)f(x)不是常值函數(shù)，滿足以下兩個條件：①f(1+x)=f(1-x)；②對任意x1∈R，均存在x2∈R使得f(x1)=2f(x2)成立；則函數(shù)f(x)=.(寫出一個符合條件的答案即可)

本題條件中僅給出了函數(shù)滿足的兩個性質，需要學生根據(jù)性質，寫出符合條件的一個函數(shù).要求學生對于函數(shù)的對稱性和取值范圍有比較深刻的認識，能夠靈活的使用.

2.2 設計條件開放性問題

例2設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，，若bn=an·2an，求數(shù)列{bn}的前n項和.請在以下三個條件中任選一個，補充在上面的問題中，并進行解答.

本題在推導an的通項公式時，學生可以自由選擇，可以選擇an與Sn的關系，可以選擇an的相鄰項之間的關系(差的關系，或者是商的關系).而這幾種得到通項公式的方法，都是學習過程中的重點內容，學生可以根據(jù)自身具體情況，選擇最擅長的方法進行求解.

2.3 設計條件和結論都開放性問題

例3如圖，某公園內有一條寬為100米的筆直的河道(假設河道足夠長)，現(xiàn)擬在河道內圍出一塊直角三角形區(qū)域養(yǎng)殖觀賞魚.三角形區(qū)域記為△ABC，A到河兩岸的距離AE,AD相等，B,C分別在兩岸上，AB⊥AC.為方便游客觀賞，擬圍繞△ABC區(qū)域在水面搭建景觀橋.為了使觀景橋的總長度L(即△ABC的周長)最短，工程師設計了以下兩種方案，請從中自選一種解答.

方案1：設∠ABD=α，求出L關于α的函數(shù)解析式f(α)，并求出f(α)的最小值.

方案2：設EC=x米，求出L關于x的函數(shù)解析式g(x)，并求出g(x)的最小值.

在解三角形問題中，用角表示和用邊表示三角形中的邊角關系，本身就是非常重要的兩種思考問題的角度.本題以開放的形式，讓學生自己選擇研究的角度，是用邊表示，還是用角表示？是用正弦關系，還是用余弦關系？

開放題的條件可以是一般性的規(guī)則，也可以是一段材料，常常在細微之處體現(xiàn)編題的功夫.開放題的解答和編制過程，是建構認知的全過程，能充分體現(xiàn)答題人或編題人的能力，這不是由套路可以直接辦到的.因此，編制開放題的要求和難度要大于編制其他題.作為教師，要在習題課的教學中充分發(fā)揮其作用，讓各類題目取得匹配作用和綜合效應，進而最大可能地發(fā)揮數(shù)學題的教學作用，實現(xiàn)數(shù)學習題具有的最大數(shù)學教育價值，以此提高數(shù)學習題課的教學有效性.

3 探究性問題

探究性問題是指給學生提供一定的數(shù)學事實，要求學生歸納、探索出一定的數(shù)學結果.它的主要特點在于條件和結論有可能都是需要自己去發(fā)現(xiàn)的，有時還不是唯一的.這一類綜合試題解法的合理求解過程應更加富于思維創(chuàng)造性，有助于真正調動高三學生復習的主觀學習與積極性，激發(fā)高考學生良好的自主求知欲力和學習進取創(chuàng)新精神.

3.1 給出題設條件，但結論未指明，或者只給出結論范圍，但要求解題者作出判斷或選擇

例4設函數(shù)f(x)對于x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)，且x>0時，f(x)<0,f(1)=-2.

(1) 說明函數(shù)f(x)是奇函數(shù)還是偶函數(shù)？

(2) 探究f(x)在[-3， 3]上是否有最值？若有，請求出最值，若沒有，說明理由.

本題的第(2)問要探究函數(shù)f(x)在區(qū)間上的最值，前提是學生先能主動發(fā)現(xiàn)函數(shù)f(x)自身具備單調性和奇偶性，在應用這兩項性質的基礎之上，再去進一步研究函數(shù)的最值問題.所以需要學生對于函數(shù)的一般性質有一定的研究基礎，給自己后面的研究尋找一些必要的臺階.

3.2 給出題目結論，但沒有給出或部分給出題目的條件，要求給出或補充使題目成立的條件

例5已知函數(shù)f(x)=e2x-8ex+6x，若曲線y=f(x)在點P(x0，f(x0))處的切線與該曲線有且只有一個公共點P，則以下選項中滿足條件的x0可以是( )

A. -ln 2 B. ln 2 C. ln 4 D. ln 5

本題中給出了最后需要滿足的結論，學生可以通過結論反過來推出滿足條件的x0需要滿足的范圍，從而進行選擇.也可以將四個選項中的x0依次代入條件，正面研究此時是否符合最后的結論.正向思維和逆向思維，都是數(shù)學學習過程中需要培養(yǎng)的思維方式，學生可以通過這種方式進行自主的強化.

3.3 給出了一些特殊的情況，要求考生歸納、猜測這些一般情況結論并最后給出證明

例6設fk(x)=sin2kx+cos2kx(x∈R)，

(1) 求fk(x)在k=1, 2, 3時的值域；

(2) 猜想k∈N*時fk(x)的值域(結果用k表示)；

(3) 對于(2)中的值域的結論，試用二項式定理給出證明.

本題需要學生細心觀察k=1， 2， 3時的三個結果，大膽猜測k∈N*時fk(x)的值域，要求學生具備很強的歸納推理的能力.而后面的證明過程，則需要結合二項式定理中的相關結論.“大膽猜測，小心求證”本身就是數(shù)學學科發(fā)展的主要途徑，因此從這個方面給予學生一定的探究指導，對于其后續(xù)的成長發(fā)展都是有好處的.

4 展望

數(shù)學基礎教育，是一門著重關注如何培養(yǎng)高中生數(shù)學思維模式與能力的教育學科，有效且扎實深入地推進高中數(shù)學基礎階段教學，更應該著重注意讓學生們在能夠學到掌握一定高中數(shù)學知識方法規(guī)律的同時，滲透學習數(shù)學思維方式，數(shù)學思想與現(xiàn)代基本生活數(shù)學觀念.

新課程實踐教學過程強調高效課堂，有效教學，而對如何去提高整個高中數(shù)學課程實踐教學過程工作質量，又更需要在我們最大程度去發(fā)揮有效課堂勞動；有效教學過程輔助教學功能發(fā)揮效率與作用，減少由于課堂無效教學與無效的課堂互動之間所造成的時間浪費，減輕了高中學生對課外的學習與勞動時間的無謂緊張和強度，提高了有效的課堂與有效的教學之間的總體效率，達成基礎教育新課程整體育人水平的總目標.在中學數(shù)學習題課中，如能合理地加入一些有利于培養(yǎng)與考查學生創(chuàng)新意識、創(chuàng)新思維和應用能力的開放性問題、探究性問題，則可以更好地提高習題課的教學有效性，真正關注學生自身的各項能力發(fā)展，從而更好地培養(yǎng)學生的探索精神和創(chuàng)造能力.

有效科學的教學理念能夠真正激活沉睡多年的潛能，開啟被封存起來的記憶.教學無止境，在新課程教學的道路上我們還有很多方面需要去探索和實踐.