郭 立

(南京市金陵中學(xué)，江蘇南京，210000)

《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》中明確地指出：“教師應(yīng)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，向?qū)W生提供充分從事數(shù)學(xué)活動(dòng)的機(jī)會(huì)，幫助他們在自主探究和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能、數(shù)學(xué)思想和方法，獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).”本文以研究“超越函數(shù)的極值估計(jì)問題”為例，一起探討如何引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行“自主探究”和“合作交流”.

1 復(fù)習(xí)回顧，引入問題

在高三復(fù)習(xí)階段，我們在函數(shù)問題學(xué)習(xí)時(shí)，用導(dǎo)數(shù)求極值是其中的基本問題，在函數(shù)問題解決中也起到了重要作用，超越函數(shù)的極值、最值問題也是高考中?？嫉膬?nèi)容和難點(diǎn).

在之前《導(dǎo)數(shù)》專題的學(xué)習(xí)中，我們通過導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)來進(jìn)一步求解函數(shù)極值，如果導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)可求，函數(shù)極值易得，如果導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)不可求，函數(shù)的極值一般不可求，下面通過例1來研究超越函數(shù)的極值估計(jì)問題：

當(dāng)x∈(0，x0)，f′(x)<0，f(x)單減，當(dāng)x∈(x0，+∞)，f′(x)>0，f(x)單增.

通過本例可以看到解決超越函數(shù)的極值估計(jì)有幾個(gè)關(guān)鍵步驟：

①說明存在極值點(diǎn)x0，確定零點(diǎn)方程f′(x0)=0；

②對f(x0)表達(dá)式進(jìn)行轉(zhuǎn)化；

③結(jié)合f(x0)表達(dá)式和x0所在區(qū)間對極值進(jìn)行估計(jì).

為了得到f(x0)想要的估計(jì)范圍，我們需要對x0有對應(yīng)的估計(jì).理論上，可以將極值大小估算到任意想要的精度.如何把握精度的“度”？粗了無法得到需要的精度，過度精確也沒必要，使得運(yùn)算更復(fù)雜，做到“精準(zhǔn)打擊”.

我們回想一下，為什么要進(jìn)行極值點(diǎn)代換進(jìn)行消去超越式化簡，因?yàn)楸磉_(dá)式簡單，我們方便研究.可是有時(shí)候，我們在對x0更精確估計(jì)的時(shí)候遇到了困難，比如無法細(xì)化了，細(xì)化的過程中遇到了計(jì)算上的難度，那如何對極值估計(jì)有新的手段？

2 補(bǔ)充變式，打破套路

當(dāng)常用方法不適用時(shí)，需要另辟蹊徑，除了調(diào)整x0所在區(qū)間，f(x0)的估計(jì)還有一個(gè)關(guān)鍵步驟就是轉(zhuǎn)化f(x0)表達(dá)式，也可以從這個(gè)角度去處理.

將例題和變式兩種做法對比一下，讓學(xué)生自己大膽嘗試，不怕犯錯(cuò)，在活動(dòng)中產(chǎn)生學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，更具有課程價(jià)值.變式從證明結(jié)果來看直接匹配，而且過程更簡單，用到的方法是f(x0)化簡的時(shí)候可以進(jìn)行局部代換(只代換lnx)，甚至不代換(直接利用原函數(shù)f(x)單調(diào)性)，也可以完成極值估計(jì).

我們不能被套路“套住”，我們發(fā)現(xiàn)超越函數(shù)的極值估計(jì)問題實(shí)際是x0，f′(x0)，f(x0)三者關(guān)系的研究，最終本質(zhì)是函數(shù)的取值范圍，需要解決兩個(gè)問題——表達(dá)式是什么？變量的范圍是什么？這樣便得到極值的所在區(qū)間.

3 趁熱打鐵，總結(jié)提升

此類問題在高考和?？碱}中出現(xiàn)過很多次，比如2017年全國高考題中：

分析:先判斷存在性，確定x0滿足2x0-2-lnx0=0.

證明：由(1)知f(x)=x2-x-xlnx，f′(x)=2x-2-lnx，

且當(dāng)x∈(0，x0)時(shí)，h(x)>0；

當(dāng)x∈(x0， 1)時(shí)，h(x)<0；當(dāng)x∈(1，+∞)時(shí)，h(x)>0，

因?yàn)閒′(x)=h(x)，所以x=x0是f(x)的唯一極大值點(diǎn)，

由f′(x0)=0得lnx0=2(x0-1)，故f(x0)=x0(1-x0)，

在2022年南京市二?？荚囍械?1題同樣出現(xiàn)了一道超越函數(shù)的極值估計(jì)的題目，在掌握了以上方法后，這道題的第二問會(huì)有很多種方法.

(1) 求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2) 記函數(shù)g(x)在(0，+∞)上的最小值為m，證明：e

解：(1)由f(x)=(x2-x+1)ex-3，得f′(x)=(x2+x)ex.令f′(x)=0，得x=-1或x=0.

當(dāng)x∈(-∞，-1)∪(0，+∞)時(shí)，f′(x)>0；當(dāng)x∈(-1，0)時(shí)，f′(x)<0.

f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞，-1)，(0，+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(-1， 0).

所以，在(0，x0)上，f(x)<0，即g′(x)<0，故g(x)遞減；在(x0，+∞)上，f(x)>0，即g′(x)>0，故g(x)遞增.

一方面，證明m<3：

(**).

法二：因?yàn)間(x)在(0，x0)上遞減，且x0∈(1， 2)，所以m=g(x0)

另一方面，證明m>e：

【實(shí)際上x0≈1.05，需要將隱零點(diǎn)范圍縮小至x0∈(1， 1.377)才能完成解題.

因?yàn)閤0∈(1， 2)，且函數(shù)y=xex在(1， 2)上遞增，所以m=x0ex0>e.

這道題做法很多，實(shí)際上是因?yàn)槌胶瘮?shù)的極值估計(jì)可操作的部分很多，極值f(x0)的表達(dá)式可以怎么轉(zhuǎn)化？極值點(diǎn)x0所在的區(qū)間應(yīng)該怎么調(diào)整？而解決這兩個(gè)問題的前提是要先分析題目中需要證明的范圍，做到有的放矢，有效解題，才可以精準(zhǔn)打擊.

在高三復(fù)習(xí)課中，一味地灌輸、教授，題海戰(zhàn)術(shù)無法調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，反而會(huì)讓學(xué)生喪失在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中最有意思的一個(gè)環(huán)節(jié)，讓學(xué)生勇于嘗試，在解法“碰壁”中獲取學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)不失為一種更有效的學(xué)習(xí)方式.