董美榮

(南師附中黃山路小學(xué)，江蘇南京，210000)

“表征”即“顯示出來(lái)的現(xiàn)象，表現(xiàn)出來(lái)的特征”.作為動(dòng)詞，“表征”表示對(duì)事物本質(zhì)的揭示和闡明；作為名詞，“表征”表示事物顯示出來(lái)的現(xiàn)象、特征.多元表征指的是信息通過(guò)心象碼的建構(gòu)過(guò)程，對(duì)信息進(jìn)行編碼和形成多種轉(zhuǎn)譯，從而形成對(duì)信息多元化的表征.

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，多元表征主要分外部表征和內(nèi)部表征.所謂“外部表征”，是指學(xué)生借助語(yǔ)言、文字、符號(hào)、圖片等形式對(duì)學(xué)習(xí)對(duì)象進(jìn)行的表征；所謂“內(nèi)部表征”，是指學(xué)生加工數(shù)學(xué)的心理表征，包括言語(yǔ)表象、視覺表象、記憶表象、思維表象等.通常情況下，只有將外部表征轉(zhuǎn)化成學(xué)生的內(nèi)部表征，數(shù)學(xué)教學(xué)才能發(fā)揮應(yīng)有的效用.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師以言語(yǔ)信息(主要包括口語(yǔ)、符號(hào)、圖象、文字等)和非言語(yǔ)信息(主要包括圖片、實(shí)物、模型等)將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容呈現(xiàn)給學(xué)生，經(jīng)過(guò)學(xué)生的個(gè)體加工，將外部的言語(yǔ)或者非言語(yǔ)編碼以多元表征形式納入內(nèi)部表征系統(tǒng)之中，形成學(xué)生的心象碼.在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生能夠完成信息的轉(zhuǎn)換和意義的建構(gòu).

分?jǐn)?shù)乘除法的計(jì)算，包括了算法和算理等程序性知識(shí)，如“甲除以乙等于甲乘乙的倒數(shù)”這個(gè)法則，是在理解算理的基礎(chǔ)上，通過(guò)壓縮、抽象，將運(yùn)算過(guò)程壓縮成標(biāo)準(zhǔn)化的運(yùn)算步驟，進(jìn)而概括出運(yùn)算法則[1].同時(shí)，它也包含一些概念性的知識(shí)，如分?jǐn)?shù)乘法的意義、分?jǐn)?shù)除法的意義以及分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)等內(nèi)容，算理是總結(jié)算法的依據(jù).所以，分?jǐn)?shù)除法的計(jì)算一方面體現(xiàn)了算法的程序性知識(shí)，另一方面也體現(xiàn)了算理的概念性知識(shí).但不管哪種學(xué)習(xí)，都需要一種內(nèi)在或外在的“客體”來(lái)表征，即多元表征，來(lái)提高學(xué)生的思維能力.

1 多元表征方式的相互轉(zhuǎn)化，促進(jìn)算理的深入理解

美國(guó)的心理學(xué)家萊什(Lesh)把數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中常見的表征方式歸結(jié)為：實(shí)物情境(real-word situations)、操作模型(manipulative aids)、圖形或圖表(picture or diagrams)、語(yǔ)言表征(spo-kenlanguag)、符號(hào)表征(writtensymbols)五種表征系統(tǒng).他認(rèn)為這五種表征系統(tǒng)之間沒(méi)有先后順序關(guān)系，但能相互轉(zhuǎn)化和相互影響，正是這種轉(zhuǎn)換和影響的密切關(guān)系能有助于提高學(xué)生數(shù)學(xué)理解能力[2].

蘇教版數(shù)學(xué)六年級(jí)上冊(cè)《分?jǐn)?shù)乘法》這一單元例1，教授的是分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的計(jì)算，這部分內(nèi)容的計(jì)算方法很多學(xué)生在沒(méi)有學(xué)習(xí)之前，都能做出來(lái).但為什么可以這樣做，也就是算理是什么，大部分學(xué)生是模糊的，如果不把算理弄清楚，就會(huì)對(duì)后續(xù)的分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)以及分?jǐn)?shù)除法的計(jì)算帶來(lái)很大的困擾.

圖1 分?jǐn)?shù)乘整數(shù)計(jì)算的多元表征結(jié)構(gòu)

在分?jǐn)?shù)乘法的練習(xí)中，學(xué)生經(jīng)常會(huì)遇到下面這樣的題組練習(xí)：

(長(zhǎng)方形表示1米)

(長(zhǎng)方形表示4米)

圖2

圖3

圖4

圖5

2 多元表征方式的運(yùn)用，加深算理理解的拓展

鄭毓信教授指出：數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的真正內(nèi)核所在是我們?nèi)绾文軌蛲ㄟ^(guò)數(shù)學(xué)教學(xué)幫助學(xué)生思維，這并非是指想得更快一點(diǎn)、如何能夠與眾不同，而是我們應(yīng)當(dāng)逐步學(xué)會(huì)想得更清晰、更全面、更深刻、更合理.

數(shù)學(xué)語(yǔ)言和符號(hào)表征是數(shù)學(xué)研究中兩種古老的方法，將兩者結(jié)合起來(lái)，也是非常實(shí)用的教學(xué)方法，在分?jǐn)?shù)算法的探究和算理的理解上能起到錦上添花的作用.教師在教學(xué)的過(guò)程中，要幫助學(xué)生建立新舊知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，打通思維的脈絡(luò)，使學(xué)生獲得原理性知識(shí).把直觀地發(fā)現(xiàn)演變成深刻的理性思考的符號(hào)表征環(huán)節(jié)是課堂教學(xué)的核心點(diǎn).

蘇教版數(shù)學(xué)六年級(jí)上冊(cè)第39頁(yè)有這樣一道思考題.

圖6

看到這道題目，很多同學(xué)會(huì)感到無(wú)從下手，即使知道應(yīng)該先確定中間那個(gè)數(shù)是多少，但也不知道如何確定下來(lái).教師應(yīng)該幫助學(xué)生深入理解“使每條線上3個(gè)數(shù)的乘積都是1”這句話，乘積是1，聯(lián)想到倒數(shù)的概念.我們剛剛學(xué)習(xí)過(guò)的是“乘積是1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)”，那延伸開來(lái)，三個(gè)數(shù)是不是也可以找到一個(gè)數(shù)與另外兩個(gè)數(shù)的積互為倒數(shù)呢？結(jié)合題目我們繼續(xù)探究中間的○同時(shí)在三條線上這一關(guān)鍵信息，也就是說(shuō)中間的數(shù)要與每一條線上的另外兩個(gè)數(shù)的積正好是互為倒數(shù)，則三個(gè)數(shù)的乘積才能是1.這樣，我們就能找到解決問(wèn)題的突破口.

圖形表征是將概念或法則用圖形、圖象、直觀模型等方式描述出來(lái)理解.低年級(jí)學(xué)生由于抽象思維能力相對(duì)較弱，借助直觀圖形來(lái)解題的情況很多.其實(shí)，在高年級(jí)，遇到較難或是易錯(cuò)的題目時(shí)，圖形表征也是一種非常有效的教學(xué)方法，例如在分?jǐn)?shù)除法教學(xué)中，讓學(xué)生從圖形中找出計(jì)算的步驟，并理解計(jì)算過(guò)程中每一個(gè)數(shù)據(jù)在圖形中所代表的模塊.

蘇教版數(shù)學(xué)六年級(jí)上冊(cè)第52頁(yè)的思考題如下.

圖7

圖8

這題我們也可以轉(zhuǎn)化成份數(shù)來(lái)解決：小明原有金魚5份，送給小紅1份后，兩人的金魚條數(shù)一樣多.這時(shí)小明還有4份，而小紅加上1份后變成4份，說(shuō)明小紅原本只有3份，也就是說(shuō)原來(lái)小明比小紅多2份，正好是多了8條金魚.那我們便可以利用8÷2求出1份金魚的數(shù)量是4條.

3 多元表征方式的運(yùn)用，促進(jìn)不同層次學(xué)生的真正發(fā)展

新修訂的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(2017年版)中提出：要使不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展，要調(diào)動(dòng)學(xué)生積極性，引導(dǎo)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，鼓勵(lì)學(xué)生的創(chuàng)造性思維[3].在課堂教學(xué)中，為了促進(jìn)學(xué)生學(xué)會(huì)對(duì)知識(shí)進(jìn)行圖形、模型、語(yǔ)言、符號(hào)情境等表征形式的運(yùn)用，可以讓學(xué)生借助“畫一畫、做一做、說(shuō)一說(shuō)、寫一寫、舉例子”的形式來(lái)探究知識(shí)，使學(xué)生手、眼、耳、口、腦全方面、多途徑地去理解知識(shí)，從而達(dá)到有效地理解計(jì)算的目的.

蘇教版數(shù)學(xué)六年級(jí)上冊(cè)《分?jǐn)?shù)除法》這一單元，從分?jǐn)?shù)除以整數(shù)，到整數(shù)除以分?jǐn)?shù)，再到分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)，采取層層遞進(jìn)的方式讓學(xué)生慢慢掌握分?jǐn)?shù)除法的計(jì)算法則.

圖9

圖10

圖11

圖12

列式：

通過(guò)上面分?jǐn)?shù)除法例題和題目的講解，我們不難發(fā)現(xiàn)，對(duì)待同一題目，要根據(jù)不同層次學(xué)生的理解能力，在不同的教學(xué)環(huán)節(jié)采用不同形式和層次進(jìn)行表征，實(shí)施恰當(dāng)有效的教學(xué)來(lái)提升學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)除法計(jì)算知識(shí)的深刻理解.

小學(xué)分?jǐn)?shù)乘除法計(jì)算算理的理解很抽象，應(yīng)該善用各種表征，為學(xué)生搭起思考的橋梁.針對(duì)不同的教學(xué)內(nèi)容，巧用、善用數(shù)學(xué)多元表征和不同的教學(xué)策略，為更多學(xué)生的發(fā)展提供幫助.