江西省上饒中學(xué) (334000) 張 勇

點(diǎn)評(píng)：利用切線不等式ln(x+1)≤x，直接將一個(gè)不可求積的式子轉(zhuǎn)化為一個(gè)可求和的等比數(shù)列，題目難度一下子就降下來(lái)了.除了直接運(yùn)用以外還可能會(huì)對(duì)這兩個(gè)切線不等式進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)單變形.

例4 (2017年全國(guó)新課標(biāo)Ⅱ卷文)設(shè)函數(shù)f(x)=(1-x2)ex.(1)略;(2)當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)≤ax+1，求a的取值范圍.

圖1

解：易得f(x)在x=0處的切線方程為y=x+1，又當(dāng)x≥0時(shí)，f′(x)=(-x2-2x+1)ex，f″(x)=(-x2-4x-1)ex<0，所以f(x)為上凸函數(shù)，顯然f(x)≤x+1，要使f(x)≤ax+1在x≥0時(shí)成立，則顯然a≥1.

圖2

下面證明:當(dāng)x∈(-1,1)時(shí)，f(x)<2e(x+1).

圖3

點(diǎn)評(píng)：如圖3，此題的x1,x2,m三個(gè)變量之間的關(guān)系不是很明顯，很難用直接的消元法轉(zhuǎn)化為只含有一個(gè)變量的函數(shù)問(wèn)題來(lái)求解.本題的關(guān)鍵是將其中一個(gè)零點(diǎn)x1進(jìn)行放縮，將其用y=m與函數(shù)在x=-1處的切線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)來(lái)取代x1，從而起到化簡(jiǎn)消元的作用，將題目轉(zhuǎn)化為只含有變量x2的一個(gè)不等式.此題與以上例題的本質(zhì)并無(wú)區(qū)別，都是利用切線不等式，只不過(guò)這個(gè)是橫向使用.下面我們?cè)賮?lái)看一個(gè)雙向放縮的例子.

解：(1)易得a=b=1，過(guò)程略.

圖4

點(diǎn)評(píng)：如圖4，本題的難點(diǎn)依舊在于如何利用x1,x2,m的關(guān)系進(jìn)行消元，轉(zhuǎn)化為含有一個(gè)變量的函數(shù)問(wèn)題.此題的關(guān)鍵在于將x1和x2都進(jìn)行放縮，用y=m與兩條切線的交點(diǎn)取代x1和x2.本題與例5屬于同一類，都是切線不等式的橫向運(yùn)用.