一道美國(guó)數(shù)學(xué)競(jìng)賽題的推廣
2022-10-10 08:26:18廣東省深圳市深圳中學(xué)518001邱際春
中學(xué)數(shù)學(xué)研究(江西) 2022年10期
廣東省深圳市深圳中學(xué) (518001) 邱際春
2016年AMC12B中第20題是如下組合計(jì)數(shù)問(wèn)題：
原題呈現(xiàn)A set of teams held a round-robin tournament in which every team played every other team exactly once. Every team won 10 games and lost 10 games; there were no ties. How many sets of three teams {A,B,C} were there in which A beat B, B beat C, and C beat A?
(A)385 (B)665 (C)945
(D)1140 (E)1330
原題譯文若干支球隊(duì)進(jìn)行循環(huán)賽，即每組球隊(duì)與其他球隊(duì)各進(jìn)行一場(chǎng)比賽．已知每組球隊(duì)贏了10場(chǎng)比賽且輸了10場(chǎng)比賽，每場(chǎng)比賽中不出現(xiàn)平局．在三支球隊(duì)組成的集合{A,B,C}中，A贏了B，B贏了C，C贏了A，請(qǐng)問(wèn)有多少個(gè)這樣的集合？
(A)385 (B)665 (C)945
(D)1140 (E)1330
顯然，這種情況是可能的：將各球隊(duì)圍成一個(gè)圓圈，并且按順時(shí)針的順序使得每支球隊(duì)均打敗接下來(lái)的10支球隊(duì)．
評(píng)注：此題有一定難度，關(guān)鍵是對(duì)題目的理解的把握，如果能從題干中獲知循環(huán)賽的球隊(duì)數(shù)，那么根據(jù)循環(huán)賽的規(guī)則就不難得到本題答案為A．
若考慮將每組球隊(duì)輸或贏的比賽場(chǎng)數(shù)推廣至n場(chǎng)，則原題可作如下初步推廣：
若將原題中滿(mǎn)足給定條件的三支球隊(duì)組成的集合{A,B,C}推廣至k支球隊(duì)組成的集合{a1,a2,…,ak}，則可進(jìn)一步得到下面的推廣2：
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