呂 軍 庫(kù)福立 黃 華

(新疆農(nóng)業(yè)大學(xué)數(shù)理學(xué)院 830052)

行列式是線(xiàn)性代數(shù)中的基本內(nèi)容,最初源于對(duì)線(xiàn)性方程組的求解,是由德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨和日本數(shù)學(xué)家關(guān)孝和于17世紀(jì)先后提出.當(dāng)然行列式的應(yīng)用不僅在于求解方程組,在物理學(xué)、力學(xué)、工程技術(shù)等方面都有著重要的應(yīng)用.

對(duì)于一般的低階(二階或三階)行列式,可以直接利用對(duì)角線(xiàn)法則來(lái)計(jì)算,但對(duì)于高階(四階及以上)就沒(méi)有那么簡(jiǎn)單.考生因高階行列式的形式較為復(fù)雜,所以在計(jì)算時(shí)會(huì)感覺(jué)較為吃力.雖然高階行列式結(jié)構(gòu)較復(fù)雜,但是在計(jì)算時(shí)還是能夠根據(jù)其自身具有的特點(diǎn)來(lái)選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼?這樣會(huì)使其計(jì)算變得更加簡(jiǎn)單,起到事半功倍的效果.其實(shí)無(wú)論是低階還是高階行列式,其計(jì)算的中心思想就是“降階”和“化零”.本文在其中心思想下對(duì)高階行列式的計(jì)算進(jìn)行了歸納總結(jié),這樣會(huì)使考生在面對(duì)高階行列式時(shí)能夠運(yùn)用巧妙的計(jì)算方法,從而提高行列式計(jì)算的能力.

1 行列式的定義

定義1由n個(gè)自然數(shù)1,2,…,n組成的一個(gè)沒(méi)有重復(fù)的有序數(shù)組i1i2…in稱(chēng)為一個(gè)n級(jí)排列.n級(jí)排列一共有n!個(gè).

定義2在一個(gè)n級(jí)排列中，如果一個(gè)較大的數(shù)排在一個(gè)較小數(shù)之前，就稱(chēng)這兩個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)逆序.一個(gè)排列中逆序的總數(shù),稱(chēng)為這個(gè)排列的逆序數(shù)，用τ(i1i2…in)表示排列i1i2…in的逆序數(shù).

定義3由n2個(gè)元素aij(i,j=1,2,…,n)組成的記號(hào)

稱(chēng)為n階行列式.其值是取自所有不同行不同列的n個(gè)元素的乘積a1j1a2j2…anjn的代數(shù)和,各項(xiàng)的符號(hào)由n級(jí)排列j1j2…jn所決定.即

2 行列式按行(列)展開(kāi)定理

將n階行列式中的元素aij所在的第i行和第j列的元素劃掉，剩余的元素按原位置次序所構(gòu)成的n-1階行列式,稱(chēng)為元素aij的余子式,記為Mij.

Mij=

aij的代數(shù)余子式記為Aij,Aij=(-1)i+jMij.

設(shè)D=|(aij)n×n|為n階行列式,則

則行列式的任何一行(或列)的所有元素分別與它們所對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和為行列式的值.

3 幾類(lèi)行列式及其計(jì)算

3.1 抽象行列式

對(duì)于抽象行列式計(jì)算，不單單是考察行列式的計(jì)算，還涵蓋了與行列式相關(guān)聯(lián)的方陣、伴隨矩陣、逆矩陣等.在計(jì)算時(shí)要對(duì)上述概念的運(yùn)算性質(zhì)熟練掌握.

例1若A∈R3×3,又A=(a1,a2,a3),且|A|=4.再設(shè)B=(a1+2a2,3a1+4a3,5a2),求|B|.

解對(duì)矩陣或行列式進(jìn)行初等行(或列)變換,

|B|=4|(a1+2a2,3a1+4a3,a2)|=4|(a1,3a1+4a3,a2)|

=4|(a1,4a3,a2)|=20|(a1,a3,a2)|=-20|A|=-80.

3.2 n階行列式

3.2.1 將行列式各行(或列)加到同一行(或列)中(適用于各行(或列)所有元素之和相等的情形).

解Dn=

=[a+(n-1)c](a-c)n-1.

3.2.2 所求行列式某一行(或某一列)至多有兩個(gè)非零元素(此時(shí)一般按此行(或此列))展開(kāi)即可求解.

例3 計(jì)算n階行列式

解行列式第一行,第一列均只有兩個(gè)非零元素,現(xiàn)按第一列展開(kāi)可得，

=xDn-1+an

由此遞推可得：

注：用此方法求解時(shí),一般會(huì)得到一個(gè)遞推的關(guān)系式

Dn=pDn-1+qDn-2,

可用兩種方法求出行列式Dn的表達(dá)式：

(1) 首先計(jì)算D1,D2,D3等,通過(guò)D1,D2,D3找出遞推規(guī)律,再用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明即可；

3.2.3 利用范德蒙德行列式的結(jié)果來(lái)計(jì)算行列式

范德蒙德行列式：

例4計(jì)算行列式

Dn=

Dn=(x1x2…xn)n-1

由范德蒙德行列式可得：

總之,對(duì)于高階行列式的計(jì)算,由于其變化形式較多,其相應(yīng)的計(jì)算方法也較多.某一種方法可能只適用于某些具有一定特點(diǎn)的行列式,所以考生在面對(duì)不同形式的行列式時(shí),首先應(yīng)觀(guān)察行列式所具有的特點(diǎn),具體情況具體分析 ,從而體會(huì)、學(xué)習(xí)總結(jié)計(jì)算方法,通過(guò)練習(xí),由淺入深,不斷積累計(jì)算經(jīng)驗(yàn),從而進(jìn)一步提高計(jì)算能力.