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        二次冪求和公式的兩種證明

        2022-09-23 04:48:06趙艷艷
        數(shù)理化解題研究 2022年27期
        關(guān)鍵詞:帕斯卡裂項(xiàng)消法

        趙艷艷

        (山西省晉中師范高等??茖W(xué)校 030600)

        1 二次冪求和公式的產(chǎn)生

        這個(gè)公式是如何推導(dǎo)出來的,后人從不同的角度對此做了許多猜想和驗(yàn)證,不僅方法多樣,還直觀易懂,其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法啟迪后來者繼續(xù)對這個(gè)問題進(jìn)行探索.本文根據(jù)人的思維發(fā)展特點(diǎn)和心理發(fā)展規(guī)律,提出歸納法是最接近古人思維的一種方法,即與一次冪求和公式進(jìn)行對比,找到規(guī)律,推導(dǎo)過程如下:

        12:1=1

        (12+22):(1+2)

        (12+22+32):(1+2+3)

        (12+22+32+42):(1+2+3+4)

        依次類推,得出二次冪求和與一次冪求和有如下關(guān)系:

        (12+22+32+…+n2):(1+2+3+…+n)

        即 12+22+32+…+n2

        數(shù)學(xué)進(jìn)入近代以后,人們轉(zhuǎn)而從代數(shù)角度運(yùn)用公式進(jìn)行演算,如17世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家帕斯卡對次數(shù)為3的二項(xiàng)式進(jìn)行變形,利用裂項(xiàng)相消的方法把三次冪進(jìn)行降冪處理,推出了二次冪求和公式,其方法如下:

        由(r+1)3=r3+3r2+3r+1得:

        (r+1)3-r3=3r2+3r+1

        于是有:

        23-13=3×12+3×1+1

        33-23=3×22+3×2+1

        43-33=3×32+3×3+1

        ?

        (n+1)3-n3=3×n2+3×n+1

        把以上n個(gè)式子相加,可得:

        由此有:

        2 兩種嘗試

        在初等數(shù)學(xué)中,對于項(xiàng)數(shù)較多的數(shù)列求和計(jì)算題用裂項(xiàng)相消法可以極大地簡化計(jì)算.本文在前人成果的基礎(chǔ)上,作了如下兩種嘗試.

        方法1:裂項(xiàng)相消法

        二次冪的一般形式為n2,我們對n2作如下變形:

        n2=n(n+1)-n,

        因?yàn)閚(n+1)

        所以,

        12=1×2-1

        22=2×3-2

        32=3×4-3

        ?

        n2=n(n+1)-n

        把上面n個(gè)式子相加,得到:

        12+22+32+…+n2

        此法沿用了裂項(xiàng)相消的思想,把二次冪求和轉(zhuǎn)化為自然數(shù)列求和,從而達(dá)到簡化計(jì)算的目的.

        方法2:公式法

        本文在帕斯卡的基礎(chǔ)上進(jìn)行了改進(jìn),運(yùn)用立方差公式推導(dǎo)出了二次冪求和公式.

        由a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)可知:

        23-13=22+2×1+12

        33-23=32+3×2+22

        ?

        (n+1)3-n3=(n+1)2+(n+1)n+n2

        把n個(gè)式子相加,有:

        所以,

        12+22+32+…+n2

        3 一點(diǎn)感想

        在數(shù)學(xué)發(fā)展的過程中,對某一問題的研究,不同的人往往會從不同的角度進(jìn)行思考,因此會有不同的創(chuàng)新點(diǎn).也正因?yàn)槿绱艘活}多解在發(fā)展思維方面有獨(dú)特的作用.通過數(shù)學(xué)史,我們可以了解古人的思維方法,發(fā)現(xiàn)古人思維的閃光點(diǎn).而古今方法的對比,往往可以給我們很多思維上的啟迪.把數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)作為數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域中的一個(gè)課題,對今天數(shù)學(xué)教育的改革有積極的意義.教學(xué)中我們可以針對某一知識點(diǎn)向?qū)W生展示古人解決問題的方法,引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)古人追求真理的精神,把我們的數(shù)學(xué)課題變成一門有血有肉活生生的課堂,更好地激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

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