尤子成，王志剛，郭宇飛

(1.武漢科技大學(xué)，冶金裝備及其控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北武漢 430081;2.武漢科技大學(xué)，機(jī)器人與智能系統(tǒng)研究院，湖北武漢 430081)

0 前言

隨著對(duì)機(jī)器人技術(shù)研究的不斷加深，打磨機(jī)器人廣泛應(yīng)用于磨削加工領(lǐng)域。機(jī)器人打磨相比于人工打磨具有連續(xù)工作時(shí)間長(zhǎng)、效率高等優(yōu)點(diǎn)。通過對(duì)打磨機(jī)器人進(jìn)行力控制或者位置控制可提升打磨精度，保證打磨件質(zhì)量。國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)機(jī)器人打磨加工的研究主要集中在打磨機(jī)制和工藝、軌跡規(guī)劃、力控制算法及系統(tǒng)開發(fā)等幾個(gè)方面。

打磨機(jī)器人不僅要求其末端打磨機(jī)構(gòu)能按照預(yù)定的軌跡行走，更要求其打磨機(jī)構(gòu)對(duì)加工件保持恒力打磨。目前，主要的力控制方法分為力/位混合控制與阻抗控制。這兩種方法都是通過主動(dòng)控制方式，使打磨機(jī)構(gòu)與加工件接觸時(shí)存在柔順特性。阻抗控制是將機(jī)械臂系統(tǒng)建立為等效阻抗模型，當(dāng)機(jī)械臂末端與環(huán)境產(chǎn)生接觸力時(shí)或?qū)嶋H運(yùn)動(dòng)軌跡發(fā)生偏差時(shí)，阻抗模型會(huì)產(chǎn)生反饋信號(hào)對(duì)位置或力進(jìn)行調(diào)節(jié)。力/位混合控制是將機(jī)械臂末端在笛卡爾坐標(biāo)系下進(jìn)行正交分解，在2個(gè)子方向上分別進(jìn)行力控制和位置控制。文獻(xiàn)[9]采用滑?？刂茖?duì)力進(jìn)行控制，可在外界環(huán)境剛度突然發(fā)生變化的情況下保持恒力打磨。文獻(xiàn)[10]采用模糊PID控制算法提高了接觸力穩(wěn)定性。

打磨機(jī)器人通常被安裝在固定基座上對(duì)打磨件進(jìn)行打磨，但對(duì)于大型的加工件，如飛機(jī)葉片、航天器機(jī)身、薄壁工件等，打磨機(jī)器人在打磨拋光作業(yè)時(shí)需移動(dòng)打磨。然而，移動(dòng)打磨會(huì)產(chǎn)生基礎(chǔ)振動(dòng)從而影響打磨、拋光精度，同時(shí)長(zhǎng)時(shí)間打磨會(huì)對(duì)關(guān)節(jié)造成損傷。文獻(xiàn)[11]在機(jī)械臂末端添加智能執(zhí)行器以控制接觸力，達(dá)到抑制振動(dòng)的效果。文獻(xiàn)[12]對(duì)受到振動(dòng)的機(jī)械臂采取分段線性反饋控制，減少了振動(dòng)造成的影響。

在打磨機(jī)器人加工過程中，機(jī)械臂末端與環(huán)境之間會(huì)產(chǎn)生持續(xù)性碰撞，接觸力反饋回關(guān)節(jié)，從而對(duì)關(guān)節(jié)造成一定的損傷。為避免機(jī)械臂關(guān)節(jié)的損傷，在機(jī)械臂末端與電機(jī)之間添加扭簧柔順裝置即串聯(lián)彈性驅(qū)動(dòng)器(Series Elastic Actuators,SEA)。文獻(xiàn)[16]中空間機(jī)器人在捕獲其余航天器過程時(shí)，通過在電機(jī)與關(guān)節(jié)之間串聯(lián)彈性驅(qū)動(dòng)器及自抗擾控制方案，避免了關(guān)節(jié)受到?jīng)_擊力。文獻(xiàn)[17]設(shè)計(jì)了一種彈簧阻尼緩沖裝置，避免關(guān)節(jié)受到載荷沖擊被破壞。但添加彈簧類裝置也會(huì)造成關(guān)節(jié)的振動(dòng)，需對(duì)柔性關(guān)節(jié)的振動(dòng)進(jìn)行抑制。學(xué)者們對(duì)此進(jìn)行了許多研究，奇異攝動(dòng)法是重要方法之一。通過奇異攝動(dòng)法可將剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)分為不同時(shí)間尺度的2個(gè)子系統(tǒng)，分別對(duì)它們?cè)O(shè)計(jì)控制器，從而實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的控制。文獻(xiàn)[18]對(duì)傳統(tǒng)SEA機(jī)械臂進(jìn)行改進(jìn)，采用干擾觀測(cè)器提高系統(tǒng)的魯棒性。文獻(xiàn)[19]對(duì)柔性空間機(jī)械臂系統(tǒng)引入奇異攝動(dòng)法，將系統(tǒng)分為快、慢2個(gè)子系統(tǒng)，慢變子系統(tǒng)采用狀態(tài)觀測(cè)器進(jìn)行控制，快變子系統(tǒng)采用差值反饋法進(jìn)行控制，抑制了系統(tǒng)的彈性振動(dòng)及外部干擾。

本文作者針對(duì)打磨機(jī)器人，考慮基礎(chǔ)振動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)柔性，建立打磨機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型。采用奇異攝動(dòng)法將系統(tǒng)分為快、慢2個(gè)子系統(tǒng)，快變子系統(tǒng)采用速度差值反饋控制法，慢變子系統(tǒng)采用力/位混合控制。力/位混合控制中，力控制采用PID控制，位置控制采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)魯棒控制器控制，研究打磨機(jī)器人在基礎(chǔ)振動(dòng)的情況下，保持恒力打磨及軌跡的準(zhǔn)確跟蹤。

1 打磨機(jī)器人建模與奇異攝動(dòng)模型

1.1 打磨機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型

以柔性關(guān)節(jié)剛性臂打磨機(jī)器人為研究對(duì)象，打磨機(jī)構(gòu)與機(jī)械臂末端相連，其簡(jiǎn)化模型如圖1所示。柔性關(guān)節(jié)處的電機(jī)輸出軸與關(guān)節(jié)部分通過線形扭簧連接，如圖2所示。

圖1 機(jī)械臂簡(jiǎn)化模型示意

圖2 柔性關(guān)節(jié)簡(jiǎn)化示意

基于以上簡(jiǎn)化模型，用拉格朗日法建立動(dòng)力學(xué)方程為

(1)

其中:()為慣性矩陣；()為離心力和哥氏力矩陣；()為系統(tǒng)重力矩陣；為傳動(dòng)部分的剛度矩陣；()為轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)柔性產(chǎn)生的附加慣量矩陣，也是一個(gè)正定對(duì)稱矩陣；為柔性關(guān)節(jié)產(chǎn)生的附加坐標(biāo);為關(guān)節(jié)的角位移；為驅(qū)動(dòng)力向量。各項(xiàng)表達(dá)式分別為

=

=(+)cos()+cos(+)

=cos(+)

式中：、分別為關(guān)節(jié)1和2處等效到電機(jī)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

1.2 奇異攝動(dòng)模型

柔性關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)動(dòng)會(huì)引起系統(tǒng)的彈性振動(dòng)，因而會(huì)對(duì)系統(tǒng)的位置控制以及力控制產(chǎn)生影響。所以，針對(duì)打磨機(jī)器人系統(tǒng)設(shè)計(jì)的控制率不僅要保持力控制和位置控制的穩(wěn)定，還要抑制柔性關(guān)節(jié)所引起的振動(dòng)。在系統(tǒng)中引入奇異攝動(dòng)法，將剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)分解為快、慢2個(gè)時(shí)間尺度子系統(tǒng)，分別對(duì)這2個(gè)子系統(tǒng)設(shè)計(jì)控制率，最后將慢變控制率與快變控制率相加可得到系統(tǒng)的總控制率。

定義柔性力變量為

=(-)

(2)

引入攝動(dòng)參數(shù)，定義新的剛度矩陣：

=

(3)

將柔性力變量和新剛度矩陣代入式(1)，求得系統(tǒng)的奇異攝動(dòng)模型為

(4)

分別對(duì)奇異攝動(dòng)模型中的快、慢子系統(tǒng)進(jìn)行求解。

1.2.1 慢時(shí)變子系統(tǒng)

由式(4)可知，令攝動(dòng)參數(shù)=0,可求得慢時(shí)變剛性系統(tǒng)變量為

(5)

將式(5)代入式(4)中的第1個(gè)公式，可以得出慢時(shí)變子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程：

(6)

通過對(duì)比剛性二自由度機(jī)械臂模型，可知在不考慮柔性的前提下，慢時(shí)變子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程與前者一致。

1.2.2 快時(shí)變子系統(tǒng)

將式(4)中的第1個(gè)公式進(jìn)行變形得：

(7)

將式(7)代入式(4)的第2個(gè)公式，得：

(8)

將=0代入式(8)，可得：

(9)

(10)

式中：=-為快時(shí)變子系統(tǒng)的廣義控制量。

(11)

2 控制器的設(shè)計(jì)

2.1 混合控制

通過前文可知，只需將快、慢2個(gè)子系統(tǒng)的2個(gè)控制率相加即可得到系統(tǒng)的控制率：

=+

(12)

通過慢時(shí)變子系統(tǒng)控制率，實(shí)現(xiàn)打磨機(jī)器人的力控和位置控制；通過快時(shí)變子系統(tǒng)控制率實(shí)現(xiàn)柔性關(guān)節(jié)的振動(dòng)抑制。混合控制器原理如圖3所示。

圖3 打磨機(jī)器人混合控制原理

2.2 快時(shí)變子系統(tǒng)的控制率

分別對(duì)快、慢子系統(tǒng)進(jìn)行設(shè)計(jì)，設(shè)計(jì)的快時(shí)變子系統(tǒng)的控制率為

(13)

式中：=/,為正定對(duì)角矩陣。根據(jù)關(guān)節(jié)的實(shí)際角速度與電機(jī)輸出的角速度差對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行反饋控制，以保證系統(tǒng)穩(wěn)定。

2.3 慢時(shí)變子系統(tǒng)的控制

由前述可知，采用奇異攝動(dòng)法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分解，分解后的慢時(shí)變子系統(tǒng)與剛性系統(tǒng)無(wú)區(qū)別。針對(duì)打磨機(jī)器人在工作中會(huì)受到振動(dòng)的影響，利用力/位混合控制對(duì)打磨機(jī)進(jìn)行力控和位控，在位置控制中提升系統(tǒng)的控制精度和魯棒性。

2.3.1 力控制

將打磨機(jī)器人末端與環(huán)境的接觸模型等效于彈簧模型，由胡克定律可知：

=(-)

(14)

式中:為環(huán)境剛度;為打磨頭在工作空間的實(shí)際位置;為打磨頭在打磨件上的位置。

由于機(jī)械臂與環(huán)境存在接觸，為保持機(jī)械臂的穩(wěn)定工作狀態(tài)，需對(duì)關(guān)節(jié)角施加一定的關(guān)節(jié)扭矩，則可將機(jī)械臂力控環(huán)的動(dòng)力學(xué)方程由式(6)改寫為

(15)

式中：為接觸力通過雅可比矩陣映射在關(guān)節(jié)空間上的扭矩。接觸力與驅(qū)動(dòng)力矩的關(guān)系為

=

(16)

式中:為雅可比矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣，具體公式為

=-sin()-sin(+)

=-sin(+)

=cos()+cos(+)

=cos(+)

對(duì)力控環(huán)采用PID控制方法進(jìn)行控制，式(16)改寫為

(17)

式中:、、分別為PID控制的3個(gè)參數(shù)；為選擇矩陣；為理論輸入力。

2.3.2 實(shí)際工作空間位置與關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)換

為方便對(duì)打磨機(jī)器人進(jìn)行控制，需將笛卡爾坐標(biāo)系下機(jī)械臂末端運(yùn)動(dòng)軌跡轉(zhuǎn)換至關(guān)節(jié)坐標(biāo)系下表示。由圖1可得關(guān)節(jié)角位移和與機(jī)械臂在實(shí)際工作空間中的坐標(biāo)和之間的關(guān)系：

(18)

由式(18)可得：

(19)

根據(jù)余弦定理以及的位置關(guān)系可得：

(20)

(21)

可得：

(22)

2.3.3 位置控制

為避免基礎(chǔ)振動(dòng)對(duì)位置控制的干擾，在式(6)的基礎(chǔ)上引入干擾項(xiàng)，新的動(dòng)力學(xué)方程為

(23)

式中:為干擾項(xiàng)。

令=+,將式(23)變形為

(24)

定義跟蹤誤差=-，為理論關(guān)節(jié)角，設(shè)計(jì)前饋控制率為

(25)

式中:為反饋控制率。將式(25)代入式(24)中得：

(26)

使用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)擾動(dòng)進(jìn)行逼近：

(27)

將式(27)代入式(26)中得：

(28)

定義1:

(29)

式中:為常數(shù)且大于0。

(30)

式中:是的范數(shù)，越小，系統(tǒng)的魯棒性越好。

(31)

將式(28)代入式(29)，得：

(32)

式(32)可化簡(jiǎn)為式(31)的格式，具體變量如下：

設(shè)計(jì)慢時(shí)變子系統(tǒng)設(shè)計(jì)自適應(yīng)調(diào)整率為

(33)

式中:為大于0的常數(shù)。

設(shè)計(jì)反饋系統(tǒng)的控制率為

(34)

(35)

2.3.4 穩(wěn)定性證明

對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行證明，定義Lyapunov函數(shù)為

(36)

(37)

將式(32)中的第2個(gè)公式與式(33)代入式(37)得：

由HJI定理，可定義：

(38)

則有：

3 仿真與分析

為驗(yàn)證所設(shè)計(jì)的控制器對(duì)存在基礎(chǔ)振動(dòng)時(shí)打磨機(jī)器人控制的有效性，設(shè)計(jì)2組數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)，采用MATLAB/Simulink進(jìn)行對(duì)照分析。第1組：基礎(chǔ)振動(dòng)時(shí)，快變控制器打開，慢變控制器中位置控制設(shè)置為PD控制，力控制設(shè)置為PID控制，檢驗(yàn)機(jī)械臂末端在工作空間的軌跡跟蹤、關(guān)節(jié)1位置跟蹤、關(guān)節(jié)2位置跟蹤以及力的恒定效果；第2組：存在基礎(chǔ)振動(dòng)時(shí)，通過關(guān)、開快變子系統(tǒng)，設(shè)置慢變子系統(tǒng)控制器中位置控制率為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)魯棒控制器，力控為PID控制器，檢驗(yàn)系統(tǒng)能否抑制基礎(chǔ)振動(dòng)，實(shí)現(xiàn)對(duì)期望軌跡和期望力的跟蹤響應(yīng)。施加的基礎(chǔ)振動(dòng)信號(hào)如圖4所示，系統(tǒng)模型所取的參數(shù)和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)如表1所示。

圖4 振動(dòng)信號(hào)

表1 系統(tǒng)模型參數(shù)與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)

圖5—圖8所示為位置控制為PD控制時(shí)，機(jī)械臂末端理論軌跡跟蹤、關(guān)節(jié)1(qd1)位置跟蹤、關(guān)節(jié)2(qd2)位置跟蹤、期望力的跟蹤結(jié)果。可知:打磨機(jī)器人在作業(yè)時(shí)，PD控制對(duì)振動(dòng)的振幅和頻率有一定的抑制效果，但是其軌跡跟蹤出現(xiàn)明顯的波動(dòng)，跟蹤效果不理想，與此同時(shí)力跟蹤出現(xiàn)了明顯的超調(diào)。

圖5 PD控制時(shí)機(jī)械臂末端位置跟蹤 圖6 PD控制時(shí)關(guān)節(jié)1位置跟蹤

圖7 PD控制時(shí)關(guān)節(jié)2位置跟蹤 圖8 PD控制時(shí)力跟蹤

圖9—圖12所示為關(guān)閉快時(shí)變控制器時(shí)機(jī)械臂的位置、關(guān)節(jié)、力跟蹤結(jié)果?？芍翰豢刂迫嵝躁P(guān)節(jié)振動(dòng)時(shí)，軌跡跟蹤及關(guān)節(jié)1和關(guān)節(jié)2的位置跟蹤明顯出現(xiàn)了持續(xù)的振動(dòng)，且打磨力出現(xiàn)明顯的超調(diào)和振動(dòng)，但相比于PD控制，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)魯棒控制器對(duì)基礎(chǔ)振動(dòng)有著較強(qiáng)的抑制能力，其實(shí)際末端軌跡可較好地跟蹤理論軌跡。

圖9 快變控制器關(guān)閉時(shí)機(jī)械臂末端位置跟蹤 圖10 快變控制器關(guān)閉時(shí)關(guān)節(jié)1位置跟蹤

圖11 快變控制器關(guān)閉時(shí)關(guān)節(jié)2位置跟蹤 圖12 快變控制器關(guān)閉時(shí)力跟蹤

圖13—圖16所示為開啟快變控制器時(shí)機(jī)械臂末端的位置、關(guān)節(jié)、力跟蹤結(jié)果?？芍簷C(jī)械臂末端軌跡及關(guān)節(jié)1和關(guān)節(jié)2有著精確的跟蹤效果，相比于關(guān)閉快變控制器時(shí)軌跡跟蹤的效果，快變控制器開啟時(shí)對(duì)柔性關(guān)節(jié)的振動(dòng)有很好的抑制作用；其接觸力保持在(20±0.1)N內(nèi)(20 N為理論力)，滿足工作要求，保證了加工件的質(zhì)量。

圖13 快變控制器打開時(shí)機(jī)械臂末端位置跟蹤 圖14 快變控制器打開時(shí)關(guān)節(jié)1位置跟蹤

圖15 快變控制器打開時(shí)關(guān)節(jié)2位置跟蹤 圖16 快變控制器打開時(shí)力跟蹤

4 結(jié)束語(yǔ)

對(duì)存在外界基礎(chǔ)擾動(dòng)及關(guān)節(jié)受到力沖擊的打磨機(jī)器人控制進(jìn)行了研究，主要結(jié)論如下：

(1)在打磨機(jī)器人的實(shí)際作業(yè)中，需保持恒力打磨，但在受到基礎(chǔ)振動(dòng)后，通過傳統(tǒng)PD或PID控制難以抑制振動(dòng)，軌跡跟蹤和力跟蹤都出現(xiàn)了明顯的超調(diào)，而通過神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)魯棒控制器可以對(duì)振動(dòng)造成的干擾進(jìn)行抑制，達(dá)到工作要求；

(2)在傳統(tǒng)剛性打磨機(jī)器人的基礎(chǔ)上添加柔順驅(qū)動(dòng)，緩沖了機(jī)械臂末端與環(huán)境接觸時(shí)的碰撞力，減少對(duì)打磨機(jī)器人關(guān)節(jié)的損傷。但柔順驅(qū)動(dòng)的引入帶來(lái)了柔性關(guān)節(jié)的振動(dòng)，可以通過奇異攝動(dòng)法設(shè)計(jì)控制器對(duì)振動(dòng)進(jìn)行抑制。結(jié)果表明：所設(shè)計(jì)的控制器能克服打磨機(jī)器人在作業(yè)時(shí)受到的振動(dòng)影響及抑制柔性關(guān)節(jié)的振動(dòng)，實(shí)現(xiàn)打磨機(jī)器人的軌跡跟蹤和恒力打磨。