鄭銘躍，張方，蔣祺，蒙奎全，朱偉

(1.南京航空航天大學(xué)機(jī)械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇南京 210016;2.昆山華恒焊接股份有限公司，江蘇昆山 215300)

0 前言

機(jī)械臂的軌跡跟蹤問題指的是通過給定機(jī)械臂一條期望的工作軌跡，在確定好機(jī)械臂的各個(gè)參數(shù)并設(shè)定好控制器的參數(shù)之后，使得機(jī)械臂能按給定的期望軌跡工作。然而現(xiàn)實(shí)中的機(jī)械臂卻是一個(gè)具有不確定性、強(qiáng)耦合和非線性等特點(diǎn)的復(fù)雜系統(tǒng)，而在機(jī)械臂建模過程中同樣有許多不確定因素，且工業(yè)機(jī)械臂的制造過程中同樣存在制造誤差，因此難以建立準(zhǔn)確的機(jī)械臂動力學(xué)模型。而機(jī)械臂的控制品質(zhì)依賴于機(jī)械臂模型的準(zhǔn)確性，所以國內(nèi)外學(xué)者不斷尋求新的理論及控制方法以提高機(jī)械臂的控制精度。目前應(yīng)用于機(jī)械臂軌跡跟蹤的控制方法有傳統(tǒng)的比例積分微分控制算法(PID)、計(jì)算力矩法，以及較為先進(jìn)的模糊控制算法、自適應(yīng)控制、滑?？刂扑惴ǖ取ａ槍I(yè)中機(jī)械臂在工作中經(jīng)常重復(fù)運(yùn)行，發(fā)展出了迭代學(xué)習(xí)控制ILC(Iterative Learning Control)。

迭代學(xué)習(xí)算法最早是在1978年由日本學(xué)者UCHIYAMA創(chuàng)立，并于1984年被ARIMOTO正式提出。ARIMOT根據(jù)線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)設(shè)計(jì)了微分(D)型迭代學(xué)習(xí)策略，并基于此策略演化出了比例(P)型、比例積分(PI)型、比例積分微分(PID)型迭代學(xué)習(xí)策略。目前，BOUAKRIF提出了一種具有初始態(tài)算法的微分(D)型迭代學(xué)習(xí)算法，避免了每次迭代時(shí)需要選擇初始狀態(tài)值；郭文雅對迭代學(xué)習(xí)算法中的收斂速度進(jìn)行研究，讓算法的收斂速度加快。通過可調(diào)節(jié)區(qū)間證明Lebesgue-p范數(shù)下的加速迭代學(xué)習(xí)控制，蘭天一和林輝基于比例微分(PD)控制算法，提出了變增益加速迭代學(xué)習(xí)控制算法，并證明了該算法的收斂性。H B WANG、Y WANG將相鄰迭代次數(shù)同一時(shí)刻的迭代誤差添加到了傳統(tǒng)的比例(P)迭代學(xué)習(xí)中，提出了新型快速迭代學(xué)習(xí)算法，改善了機(jī)械臂迭代學(xué)習(xí)過程中的初態(tài)偏移問題，缺點(diǎn)是收斂速度較慢。何熊熊等將自適應(yīng)控制與迭代學(xué)習(xí)控制結(jié)合在一起，提高了該算法的魯棒性。

本文作者為提高某焊接機(jī)械臂的軌跡跟蹤精度，基于傳統(tǒng)比例微分(PD)迭代學(xué)習(xí)控制算法，提出一種指數(shù)變增益迭代學(xué)習(xí)算法，并驗(yàn)證了該算法的收斂性。利用ADAMS對機(jī)械臂進(jìn)行參數(shù)辨識得到機(jī)械臂的慣性參數(shù)。針對機(jī)械臂的前3個(gè)控制空間坐標(biāo)的關(guān)節(jié)，建立了動力學(xué)模型，利用MATLAB中的Simulink功能，以及函數(shù)的使用，對這3個(gè)關(guān)節(jié)進(jìn)行軌跡跟蹤仿真，并與傳統(tǒng)的迭代學(xué)習(xí)控制進(jìn)行了比較。

1 機(jī)器臂模型

表1為該焊接機(jī)器人的DH參數(shù)，將SolidWorks中機(jī)器人的3D模型導(dǎo)入到ADAMS中，模型如圖1所示。

表1 機(jī)器人DH參數(shù)

圖1 機(jī)器人ADAMS模型

其中:為機(jī)械臂的桿件長度;為機(jī)械臂的桿件扭角;為機(jī)械臂關(guān)節(jié)距離。通過ADAMS軟件，讓機(jī)器人在最優(yōu)軌跡下運(yùn)行，對機(jī)器人進(jìn)行參數(shù)辨識，得到機(jī)器人模型的慣性參數(shù)，再利用所得到的慣性參數(shù)，進(jìn)行機(jī)器人動力學(xué)模型的建模。

2 動力學(xué)分析

文中利用第二類拉格朗日法(Lagrange)對機(jī)器人進(jìn)行動力學(xué)建模，并令控制器輸出力矩以對機(jī)器人各個(gè)關(guān)節(jié)實(shí)現(xiàn)軌跡跟蹤。其中Lagrange方程的表達(dá)式為

(1)

式中:為系統(tǒng)的動能;為廣義力;為廣義坐標(biāo)。由Lagrange函數(shù)定義可得：

=-

(2)

其中:為系統(tǒng)的勢能。由于勢能僅與位置有關(guān)，是關(guān)于的函數(shù)，因此勢能對關(guān)節(jié)速度的導(dǎo)數(shù)為0，因此有：

(3)

對于串聯(lián)機(jī)器人，式子中的廣義坐標(biāo)對應(yīng)于機(jī)器人關(guān)節(jié)角度，而廣義力對應(yīng)為作用于關(guān)節(jié)的力，該焊接機(jī)器人各關(guān)節(jié)均為轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)，因此廣義力為關(guān)節(jié)力矩。機(jī)器人桿上任意一點(diǎn)上的動能為

(4)

(5)

式中：用來刻畫桿的質(zhì)量分布情況，它包含了桿的質(zhì)心以及質(zhì)心對3個(gè)軸的轉(zhuǎn)動慣量和慣性積，這些都可由ADAMS求得。由桿的動能可進(jìn)一步求得整個(gè)機(jī)器人的動能：

(6)

其中：()為×的矩陣，稱為機(jī)器人慣性矩陣,是一個(gè)正定矩陣。桿的勢能為

(7)

(8)

將式(6)和式(8)代入拉格朗日方程，得到：

(9)

寫成簡潔的矩陣形式為

(10)

該機(jī)械臂動力學(xué)模型滿足如下性質(zhì)：

性質(zhì)1：()是一個(gè)有界的正定矩陣，且滿足

(11)

性質(zhì)2：()、()滿足全局Lipschitz連續(xù)條件：

(12)

其中：是正數(shù)。

(13)

對于連續(xù)變量有引理：

(14)

其中:為實(shí)數(shù)。

對機(jī)械臂模型作出如下假設(shè)：

3 指數(shù)增益迭代學(xué)習(xí)控制算法及收斂性證明

對于考慮重力項(xiàng)的該焊接機(jī)器人，文中設(shè)計(jì)了一種指數(shù)變增益的迭代控制率，控制率為

(15)

其中:=-，為第次迭代軌跡跟蹤誤差;、分別為系統(tǒng)的比例增益矩陣與微分增益矩陣；為增益修正因子。

設(shè)置狀態(tài)變量：

(16)

于是可得狀態(tài)方程：

(17)

式(17)可簡化為

(18)

對式(18)進(jìn)行求解，代入控制率[式(15)]可得：

+1()-()=()e-+

(19)

+1()-()=-()e--

(20)

整理式(20)并取范數(shù)得：

(21)

其中:

由式(18)可以得到：

+1()-()=-[(+1)-()]()-

(+1)[(+1)-()]-[(+1)-

(22)

由式(22)以及性質(zhì)1—3和機(jī)械臂系統(tǒng)的假設(shè)，可以得到:

(23)

在式(23)兩邊同時(shí)乘以e-，可得：

(24)

由式(24)可得，當(dāng)足夠大時(shí)有:

(25)

于是可以得到:

(26)

從而有:

(27)

即:

(28)

因此該控制算法在迭代次數(shù)足夠多時(shí)，可以追蹤到期望軌跡。

4 仿真實(shí)驗(yàn)與實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

文中通過MATLAB來驗(yàn)證控制算法的有效性，使用MATLAB中的Simulink以及S函數(shù)模塊來完成對該焊接機(jī)器人的軌跡跟蹤仿真。MATLAB代碼于MATLAB R2017a的環(huán)境下運(yùn)行。機(jī)器人模型簡圖如圖2所示。由于機(jī)器人后3個(gè)關(guān)節(jié)主要控制機(jī)器人末端的姿態(tài)，因此仿真時(shí)只對機(jī)器人的前3個(gè)關(guān)節(jié)進(jìn)行討論，將后3個(gè)關(guān)節(jié)的質(zhì)量與第3個(gè)關(guān)節(jié)結(jié)合在一起，將它們看作一個(gè)整體。機(jī)器人的動力學(xué)模型見式(10)。

圖2 機(jī)械臂DH簡圖

仿真時(shí)機(jī)械臂參數(shù)由ADAMS參數(shù)辨識得到。其中關(guān)節(jié)1質(zhì)量=778.945 kg，關(guān)節(jié)2質(zhì)量=656.701 kg，關(guān)節(jié)3質(zhì)量=483.232 kg。

4.1 傳統(tǒng)迭代學(xué)習(xí)仿真

傳統(tǒng)迭代學(xué)習(xí)控制的學(xué)習(xí)率為

(29)

圖3 關(guān)節(jié)1實(shí)際軌跡與期望軌跡(傳統(tǒng)算法) 圖4 關(guān)節(jié)2實(shí)際軌跡與期望軌跡(傳統(tǒng)算法)

圖5 關(guān)節(jié)3實(shí)際軌跡與期望軌跡(傳統(tǒng)算法) 圖6 各關(guān)節(jié)隨迭代次數(shù)誤差變化(傳統(tǒng)算法)

從圖3—圖5中可以看出：傳統(tǒng)迭代學(xué)習(xí)算法經(jīng)過30次迭代后能夠完全地追蹤期望軌跡。而從圖6可以看出：經(jīng)過第一次控制算法控制后，3個(gè)關(guān)節(jié)的誤差已經(jīng)縮小到1°左右，前3次迭代誤差減小速度較快，而經(jīng)過第4次迭代之后，3個(gè)關(guān)節(jié)的誤差已經(jīng)基本為0°，實(shí)際軌跡已經(jīng)完全追蹤到期望軌跡。

4.2 指數(shù)增益迭代學(xué)習(xí)仿真

為了更好地對比指數(shù)增益迭代學(xué)習(xí)算法與傳統(tǒng)迭代學(xué)習(xí)算法，將比例增益系數(shù)和微分增益系數(shù)設(shè)置得和傳統(tǒng)迭代學(xué)習(xí)相同，而修正系數(shù)取0.1，圖7—圖9為機(jī)械臂3個(gè)關(guān)節(jié)在迭代30次后的實(shí)時(shí)軌跡與期望軌跡的對比圖。圖10為機(jī)械臂3個(gè)關(guān)節(jié)軌跡跟蹤誤差隨著迭代次數(shù)的變化。

從圖7—圖9中可以看出：指數(shù)增益迭代學(xué)習(xí)算法經(jīng)過30次迭代后能夠完全地追蹤期望軌跡，證明了指數(shù)增益迭代學(xué)習(xí)控制算法的收斂性。通過圖10可以看出：在前2次迭代過程中，指數(shù)增益迭代學(xué)習(xí)算法收斂速度很快，并在第3次將誤差減小到0的鄰域內(nèi)，之后的誤差穩(wěn)定在0鄰域附近。相比于傳統(tǒng)的迭代學(xué)習(xí)算法，指數(shù)增益迭代學(xué)習(xí)算法收斂更快，且第3關(guān)節(jié)的誤差在迭代過程中逐漸縮小，沒有出現(xiàn)浮動，充分說明文中提出的指數(shù)變增益迭代學(xué)習(xí)算法的效果。

圖7 關(guān)節(jié)1實(shí)際軌跡與期望軌跡(文中算法) 圖8 關(guān)節(jié)2實(shí)際軌跡與期望軌跡(文中算法)

圖9 關(guān)節(jié)3實(shí)際軌跡與期望軌跡(文中算法) 圖10 各關(guān)節(jié)隨迭代次數(shù)誤差變化(文中算法)

5 結(jié)論

文中針對某六自由度焊接機(jī)器人，建立了簡易的動力學(xué)模型，并針對其前3個(gè)關(guān)節(jié)提出了一種指數(shù)變增益迭代學(xué)習(xí)控制算法，通過在控制率的微分增益上添加修正系數(shù)來達(dá)到加快控制算法收斂的效果。利用MATLAB進(jìn)行仿真，將提出的指數(shù)變增益迭代學(xué)習(xí)控制算法與傳統(tǒng)的迭代學(xué)習(xí)算法進(jìn)行了比較，證明了提出的算法收斂更快。缺點(diǎn)是三關(guān)節(jié)機(jī)械臂的計(jì)算量較大，且迭代次數(shù)的增加也會增大計(jì)算量，計(jì)算機(jī)需要花費(fèi)更多的時(shí)間去計(jì)算。今后的研究可以著重放在加快該算法的運(yùn)算速度等問題上。