陳金葉，彭?yè)P(yáng)

（1.浙江經(jīng)濟(jì)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，浙江 杭州 310018；2.浙江工商大學(xué)，浙江 杭州 310018）

0 引言

庫(kù)存管理是企業(yè)為提高庫(kù)存使用效率并降低庫(kù)存成本而采取的一系列策略。庫(kù)存控制系統(tǒng)的主要目標(biāo)是在不降低顧客滿(mǎn)意度和服務(wù)水平的前提下提高企業(yè)的總利潤(rùn)。Harris于1913年提出第一個(gè)庫(kù)存模型，即經(jīng)典的經(jīng)濟(jì)訂貨批量（EOQ）模型。而庫(kù)存管理中經(jīng)典的訂貨批量模型都是基于每批次生產(chǎn)或接收的產(chǎn)品都符合所有質(zhì)量要求這一假設(shè)，與實(shí)際情況存在差異，是傳統(tǒng)EOQ庫(kù)存模型研究中的一個(gè)重要限制。近年來(lái)，庫(kù)存管理實(shí)踐過(guò)程中出現(xiàn)的“供應(yīng)干擾”問(wèn)題吸引了眾多研究者的關(guān)注，拓展出更多數(shù)學(xué)模型應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)庫(kù)存控制問(wèn)題。此外，由于供應(yīng)商之間競(jìng)爭(zhēng)加劇、上漲的通貨膨脹率以及取消訂單等因素，供應(yīng)商通常會(huì)要求零售商提前預(yù)付。

Parlar和Berkin在經(jīng)典訂貨批量模型中考慮了供應(yīng)中斷問(wèn)題，假設(shè)僅供應(yīng)商，構(gòu)建了考慮機(jī)器故障的生產(chǎn)與庫(kù)存模型。Yano和Lee的研究重點(diǎn)是供應(yīng)過(guò)程的中斷及其對(duì)產(chǎn)量不確定性的影響。Parlar和Perry提出了隨機(jī)干擾下的雙供應(yīng)商庫(kù)存控制模型，他們假設(shè)在不同的參數(shù)下，可以使用指數(shù)概率分布函數(shù)來(lái)模擬供應(yīng)商的供應(yīng)中斷。Babich研究了供應(yīng)商的相互依賴(lài)和風(fēng)險(xiǎn)如何影響供應(yīng)鏈、制造商的采購(gòu)和生產(chǎn)、供應(yīng)商的定價(jià)策略以及供應(yīng)鏈中每個(gè)成員的利潤(rùn)。Chen，等將庫(kù)存控制模型擴(kuò)展到兩個(gè)可靠和不可靠的供應(yīng)商，第一個(gè)供應(yīng)商可能會(huì)被中斷，但是第二個(gè)供應(yīng)商在中斷期間提供有限的供應(yīng)能力。Hishamuddi，等運(yùn)用數(shù)學(xué)模型研究了生產(chǎn)過(guò)程中斷下供應(yīng)鏈的恢復(fù)問(wèn)題，提出一種啟發(fā)式算法求解最佳的修復(fù)方案，使供應(yīng)鏈的總成本最小化。Wang，等對(duì)存在隨機(jī)中斷的多階段庫(kù)存控制問(wèn)題進(jìn)行了周期性回顧。Snyder將確定性需求和隨機(jī)供應(yīng)中斷引入經(jīng)典的EOQ模型，研究了最優(yōu)訂購(gòu)策略。供應(yīng)中斷可能由不同的原因（運(yùn)輸問(wèn)題、工人罷工、自然問(wèn)題等）而引發(fā)。近年來(lái)，研究人員已經(jīng)開(kāi)始關(guān)注庫(kù)存控制系統(tǒng)中的供應(yīng)中斷問(wèn)題和延遲交付。Skouri，等研究了帶有延遲訂單的單級(jí)庫(kù)存模型，其中有一批有缺陷的產(chǎn)品被拒絕，該模型類(lèi)似于考慮供應(yīng)中斷干擾的經(jīng)濟(jì)訂貨批量問(wèn)題。Salehi，等提出了一個(gè)部分延遲訂貨的EOQ模型，考慮了由于質(zhì)量問(wèn)題導(dǎo)致的供應(yīng)鏈中斷，他們采用“全部或無(wú)”策略，即該批次產(chǎn)品完全被接受或者完全被拒絕。Taleizadehet，等考慮了現(xiàn)實(shí)情況中可能發(fā)現(xiàn)的供應(yīng)鏈中斷情況，研究了部分延遲支付和隨機(jī)中斷下的庫(kù)存成本結(jié)構(gòu)變化，并給出了最優(yōu)的訂購(gòu)策略。Konstantaras，等考慮了獨(dú)立內(nèi)生供應(yīng)中斷的經(jīng)典訂貨批量問(wèn)題，采用獨(dú)立的伯努利過(guò)程研究了由（S,T）庫(kù)存策略控制的單級(jí)庫(kù)存配置問(wèn)題。

而對(duì)于高季節(jié)性的產(chǎn)品或者易于腐敗變質(zhì)的產(chǎn)品來(lái)說(shuō)，賣(mài)方通常會(huì)要求買(mǎi)方預(yù)付一定的采購(gòu)費(fèi)用來(lái)降低風(fēng)險(xiǎn)，而作為回報(bào)，買(mǎi)方得到準(zhǔn)時(shí)的交貨保證或價(jià)格折扣等。Zhang建立了考慮固定預(yù)付費(fèi)用的庫(kù)存控制模型，推導(dǎo)出最優(yōu)訂購(gòu)策略。Maiti，等研究了預(yù)付策略下具有價(jià)格依賴(lài)需求的隨機(jī)庫(kù)存控制模型。Teng，等認(rèn)為針對(duì)有季節(jié)性需求的變質(zhì)商品，供應(yīng)商通常要求零售商預(yù)付采購(gòu)成本的一部分作為定金，而變質(zhì)商品的保質(zhì)期是買(mǎi)方作出購(gòu)買(mǎi)決定的重要因素。在研究中假設(shè)隨著保質(zhì)期的臨近，產(chǎn)品的變質(zhì)率逐漸增加，構(gòu)建了季節(jié)性需求產(chǎn)品庫(kù)存控制模型，并給出全局最優(yōu)決策。

國(guó)內(nèi)對(duì)于易腐品庫(kù)存控制的研究主要是將經(jīng)典的訂貨批量模型拓展到不同的需求函數(shù)或不同的支付策略。賈濤，等研究了在銷(xiāo)售單一品種的易腐品供應(yīng)鏈中，假設(shè)銷(xiāo)售商在獲得供應(yīng)鏈上游供應(yīng)商延時(shí)還款的同時(shí)，也從供應(yīng)鏈下游顧客處獲得了部分預(yù)付款，分三種情況討論了銷(xiāo)售商的成本構(gòu)成，并由此建立數(shù)學(xué)模型以求解最優(yōu)訂貨周期，使得銷(xiāo)售商單位時(shí)間總成本最小化。段永瑞，等主要對(duì)需求受展示區(qū)庫(kù)存水平影響的易腐品訂購(gòu)和轉(zhuǎn)運(yùn)問(wèn)題進(jìn)行了研究。李嘉音，等基于需求依賴(lài)庫(kù)存的一般商品的庫(kù)存模型，以單一易腐品為研究對(duì)象，考慮零售貨架空間有限和商品在零售商倉(cāng)庫(kù)及貨架腐敗速率的差異，建立了單一易腐品模型，并分析了零售商如何尋求最優(yōu)訂貨策略和補(bǔ)貨策略的問(wèn)題。彭?yè)P(yáng)，等構(gòu)建了基于部分預(yù)付策略，不允許缺貨、部分短缺以及完全短缺三種情況下的易腐品庫(kù)存控制模型，給出了零售商最優(yōu)訂貨周期和最優(yōu)訂購(gòu)批量的求解算法。崔玲，等考慮到市場(chǎng)需求不僅受零售商庫(kù)存量的影響，而且常依賴(lài)于零售商的延期支付策略，研究了易腐商品需求同時(shí)依賴(lài)于庫(kù)存量與延期支付期限的兩級(jí)延期支付庫(kù)存策略問(wèn)題。周熙登考慮了兩層次延期支付，其供貨商提供給批發(fā)商延期支付期策略，同樣批發(fā)商提供給零售商延期支付策略，建立了在商業(yè)信用條件下具有隨機(jī)缺陷率產(chǎn)品的庫(kù)存決策模型，然后得出批發(fā)商在不同情況下的最優(yōu)訂貨周期、訂購(gòu)數(shù)量的簡(jiǎn)單判定方法。林峰，等基于商業(yè)信用額度構(gòu)建了零售商關(guān)于易腐品的訂購(gòu)決策模型。通過(guò)分析零售商資金機(jī)會(huì)成本的不同形式，得到零售商關(guān)于易腐品的五種不同的成本函數(shù)表達(dá)式。結(jié)合數(shù)學(xué)證明可以得到零售商五種目標(biāo)函數(shù)的性質(zhì)，以及在商業(yè)信用額度條款下零售商最優(yōu)的訂購(gòu)決策。曹裕，等研究了具有保質(zhì)期的易變質(zhì)產(chǎn)品批量訂貨決策，考慮了不存在缺貨與缺貨部分積壓?jiǎn)栴}，引入零售商向供應(yīng)商提前支付購(gòu)置成本的支付方式，探究了零售商對(duì)于易變質(zhì)產(chǎn)品的庫(kù)存控制策略。

根據(jù)上述文獻(xiàn)綜述，基于部分預(yù)支付和部分延遲訂購(gòu)下同時(shí)針對(duì)買(mǎi)方可能面臨的隨機(jī)中斷情況的易腐品經(jīng)濟(jì)訂貨批量問(wèn)題研究不多，并且相關(guān)研究中鮮少考慮預(yù)支付所產(chǎn)生的資金成本和部分延遲訂購(gòu)產(chǎn)生的延期交貨成本。在易腐品市場(chǎng)中，供應(yīng)商如何通過(guò)部分預(yù)付策略降低經(jīng)營(yíng)風(fēng)險(xiǎn)，獲取采購(gòu)保證以及零售商需要面臨供應(yīng)隨機(jī)中斷情況下的訂購(gòu)風(fēng)險(xiǎn)等都是實(shí)際訂購(gòu)中需要考慮的問(wèn)題，均可成為易腐品庫(kù)存控制的研究方向。本文建立了基于隨機(jī)干擾和部分預(yù)支付條件下部分延遲交貨的經(jīng)濟(jì)訂貨批量模型。總成本函數(shù)包括固定訂貨成本、采購(gòu)成本、庫(kù)存持有成本、資金成本、變質(zhì)成本、延期交貨成本和損失的銷(xiāo)售機(jī)會(huì)成本。給出了具體的模型以及零售商最優(yōu)訂貨周期與最大收益的決策算法，并且在推導(dǎo)出理論結(jié)果后進(jìn)行了數(shù)值實(shí)驗(yàn)和靈敏度分析，最后從管理分析角度提出了決策建議。

1 符號(hào)表示與條件假設(shè)

1.1 符號(hào)表示

模型中所用到的主要符號(hào)見(jiàn)表1。

表1 模型參數(shù)與變量

1.2 條件假設(shè)

模型的假設(shè)條件為：（1）供應(yīng)鏈內(nèi)有一個(gè)供應(yīng)商銷(xiāo)售單一產(chǎn)品給零售商，計(jì)劃期無(wú)限長(zhǎng)，瞬時(shí)補(bǔ)貨，不考慮訂貨提前期和運(yùn)輸能力限制；（2）供應(yīng)商要求零售商在訂單下達(dá)時(shí)將采購(gòu)費(fèi)用按照一定次數(shù)分批預(yù)支付，零售商可在預(yù)付期內(nèi)分批將的采購(gòu)費(fèi)用分成期支付，在零售商收到訂貨后，需要按照合同立即支付貨款比例的(1)給供應(yīng)商；（3）產(chǎn)品為易腐品，市場(chǎng)需求率與時(shí)間以及庫(kù)存有關(guān)，且產(chǎn)品僅在庫(kù)存階段出現(xiàn)變質(zhì)情況，變質(zhì)率為常數(shù)(01)；（4）考慮允許缺貨且缺貨部分延遲情況；（5）供應(yīng)商不完全可靠，供貨批次低于質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)的概率是固定的（缺陷交付），缺陷交付事件是相互獨(dú)立的；（6）每次供貨到貨后都要進(jìn)行檢驗(yàn)，如果發(fā)現(xiàn)有缺陷，就予以拒收，整個(gè)系統(tǒng)實(shí)行“全接收或全退回”策略；（7）無(wú)緊急交付，不合格批次的總數(shù)量按常規(guī)添加到下一個(gè)交付周期。

2 模型構(gòu)建

圖1 T'=2T時(shí)基于隨機(jī)干擾和部分預(yù)支付的易腐品庫(kù)存控制模型

本文的需求方程中，假設(shè)在庫(kù)存降為零以后，由于拖后率是等待時(shí)間的遞減函數(shù)，即存在部分顧客由于等待時(shí)間過(guò)長(zhǎng)而造成銷(xiāo)售機(jī)會(huì)損失，則其需求率可由式（1）表示：

則訂購(gòu)批量(0)()。

在一個(gè)訂貨周期[0]內(nèi)，庫(kù)存系統(tǒng)的成本包括：固定訂貨成本、庫(kù)存持有成本、采購(gòu)成本、資金成本、延遲交貨成本、變質(zhì)成本、機(jī)會(huì)成本，除固定訂貨成本外，其余成本分別為：

由泰勒公式可知：

總成本為以上幾部分的總和，即為：

平均成本為：

則目標(biāo)函數(shù)平均成本可以轉(zhuǎn)換為以下形式：

其中：

情形一：

方程Δ()可寫(xiě)成：

由于()0無(wú)根，則()在定義域上嚴(yán)格大于0或者嚴(yán)格小于0，又因?yàn)?0)≤0，則()在定義域[01]上應(yīng)嚴(yán)格小于等于0。

由計(jì)算可得：

情形二：

方程Δ()可寫(xiě)成：

由于()0無(wú)根，則()在定義域上嚴(yán)格大于0或者嚴(yán)格小于0。(0)≤0，則()在定義域[01]上嚴(yán)格大于0。將()代入Δ()中，則：

將代入()中，可得：

3 數(shù)值實(shí)驗(yàn)和靈敏度分析

3.1 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

本文數(shù)值試驗(yàn)參數(shù)設(shè)置見(jiàn)表2。

表2 參數(shù)賦值

計(jì)算可得最優(yōu)解為：=0.147 7，=0.754 3，=187.055 3，=339 86。

3.2 靈敏度分析

為了研究各參數(shù)值變化對(duì)最優(yōu)解的影響，進(jìn)行以下數(shù)值分析。

由于庫(kù)存系統(tǒng)成本中有部分成本項(xiàng)目相同，包括固定訂貨成本、采購(gòu)成本、資金成本、庫(kù)存持有成本、延遲交貨成本、變質(zhì)成本、機(jī)會(huì)成本，所以本文將對(duì)部分相關(guān)參數(shù)的靈敏度進(jìn)行分析，將各參數(shù)分別變化-60%、-30%、30%、60%，令其他參數(shù)不變，逐一進(jìn)行計(jì)算，結(jié)果見(jiàn)表3。根據(jù)表3的計(jì)算結(jié)果，可得以下結(jié)論：

表3 靈敏度分析

隨著參數(shù)的變化，未出現(xiàn)變化，、和都出現(xiàn)明顯變化；隨著參數(shù)d增加，最優(yōu)訂貨周期降低，而最優(yōu)訂貨批量增加，反之亦然；總成本出現(xiàn)與參數(shù)d相似的改變。

隨著參數(shù)的變化，未出現(xiàn)變化，和出現(xiàn)明顯變化，出現(xiàn)較小變化；隨著參數(shù)A增加，最優(yōu)訂貨周期和最優(yōu)訂貨批量隨之明顯增長(zhǎng)，總成本出現(xiàn)微弱增長(zhǎng)趨勢(shì)，反之亦然。這是因?yàn)殡S著固定訂貨成本的增加，為了平衡總成本，庫(kù)存系統(tǒng)會(huì)相應(yīng)減少采購(gòu)次數(shù)，提高訂購(gòu)批量和延長(zhǎng)訂購(gòu)周期。

隨著參數(shù)的變化，、和出現(xiàn)較小變化，變化不明顯（靈敏度較小，可忽略不計(jì)）；隨著參數(shù)增長(zhǎng)，最優(yōu)訂貨周期、和最優(yōu)訂貨批量均隨之小幅度降低，反之亦然。這是因?yàn)殡S著變質(zhì)率上升，庫(kù)存系統(tǒng)需要減少平均庫(kù)存量來(lái)降低整體庫(kù)存損耗，所以最優(yōu)訂貨周期和訂貨批量都會(huì)降低。

隨著參數(shù)的變化，、、和均出現(xiàn)較小變化，隨著參數(shù)增加，最優(yōu)訂貨周期、最優(yōu)訂貨批量和總利潤(rùn)出現(xiàn)微弱的增長(zhǎng)趨勢(shì)，出現(xiàn)微弱的降低趨勢(shì)，反之亦然。這是因?yàn)殡S著單位時(shí)間資金成本率的增加，庫(kù)存系統(tǒng)中的資金成本增加，所以總成本會(huì)有所降低，反之亦然。

隨著參數(shù)的變化，、、和均出現(xiàn)較小變化，隨著增加，最優(yōu)訂貨周期、最優(yōu)訂貨批量和總成本出現(xiàn)微弱的增長(zhǎng)趨勢(shì)，出現(xiàn)微弱的降低趨勢(shì)，反之亦然。這是因?yàn)楣?yīng)商要求零售商提前支付的采購(gòu)成本比例增加會(huì)導(dǎo)致整個(gè)庫(kù)存資金成本的增加。

隨著參數(shù)C的變化，、和均出現(xiàn)較小的變化趨勢(shì)，變化不明顯（靈敏度較小，可忽略不計(jì)）。隨著C增加，最優(yōu)訂購(gòu)周期、和最優(yōu)訂購(gòu)批量均出現(xiàn)下降趨勢(shì)，總成本出現(xiàn)微弱的增長(zhǎng)趨勢(shì)，反之亦然。

隨著參數(shù)r的變化，、、和均出現(xiàn)一定程度的變化。隨著r增長(zhǎng)，最優(yōu)訂購(gòu)周期出現(xiàn)明顯下降趨勢(shì)，和最優(yōu)訂購(gòu)批量出現(xiàn)明顯增長(zhǎng)趨勢(shì)，總成本出現(xiàn)較小程度的增幅。這是因?yàn)閹?kù)存周期控制依賴(lài)于每批次由于不合格而被拒收的概率，若概率增加，零售商將通過(guò)縮短訂購(gòu)周期和提高訂貨批量以應(yīng)對(duì)隨機(jī)干擾風(fēng)險(xiǎn)。

隨著參數(shù)的變化，、、和變化不明顯（靈敏度較小，可忽略不計(jì)）。

隨著參數(shù)的變化，、、和均出現(xiàn)較小程度的變化。隨著增加，、和出現(xiàn)較小的增幅，出現(xiàn)較小幅度的降低，反之亦然。

4 管理分析

本文定量地分析了隨機(jī)干擾情況下易腐品供應(yīng)鏈中的經(jīng)濟(jì)訂貨批量和庫(kù)存控制問(wèn)題，在部分預(yù)支付條件下對(duì)零售商成本構(gòu)成進(jìn)行了詳細(xì)分析。分別從供應(yīng)商和零售商的角度出發(fā)，提出最優(yōu)決策，從而降低各自的經(jīng)營(yíng)和采購(gòu)風(fēng)險(xiǎn)。綜合以上模型的數(shù)值實(shí)驗(yàn)和算例分析可知，對(duì)于零售商而言，更傾向于選擇批次處理不合格概率更低、預(yù)付比例更少、預(yù)付周期更短、預(yù)付款分批次數(shù)更多的供應(yīng)商。對(duì)于供應(yīng)商來(lái)說(shuō)，如果產(chǎn)品質(zhì)量和供應(yīng)保障能力較高，可以適當(dāng)要求零售商支付部分采購(gòu)成本，這樣可以降低供應(yīng)商經(jīng)營(yíng)風(fēng)險(xiǎn)，獲取采購(gòu)保證。在應(yīng)對(duì)供應(yīng)商要求提供更高百分比的預(yù)付款的，零售商可以通過(guò)向供應(yīng)商要求延長(zhǎng)預(yù)付款支付周期長(zhǎng)度來(lái)平衡這種利益關(guān)系。

5 結(jié)語(yǔ)

對(duì)于易腐品，常用的庫(kù)存管理策略?xún)H適用于正常的市場(chǎng)環(huán)境中，在庫(kù)存管理決策面臨隨機(jī)干擾時(shí)，最終決策往往不受限于最優(yōu)性決策。由于易腐品的特殊性，考慮實(shí)踐中的隨機(jī)干擾情況，現(xiàn)有的庫(kù)存控制模型并不能滿(mǎn)足庫(kù)存管理決策需要，基于此，本文建立了隨機(jī)干擾下的經(jīng)濟(jì)訂貨批量模型?？紤]在庫(kù)存控制系統(tǒng)中，零售商在接受每個(gè)批次之前均進(jìn)行抽樣檢查，如果檢驗(yàn)員在該批次中發(fā)現(xiàn)一件次品，則該批次貨物不合格，零售商將拒絕接受。假設(shè)每批次出現(xiàn)貨物不合格為隨機(jī)事件，服從概率分布，則庫(kù)存系統(tǒng)的周期取決于批次不合格的概率。拒收后直接導(dǎo)致所需物品的供應(yīng)中斷。為使模型適用于現(xiàn)實(shí)情況，還考慮了供應(yīng)商要求部分預(yù)支付條件下部分延遲交貨的經(jīng)濟(jì)訂貨批量模型。構(gòu)建了具體的模型以及零售商最優(yōu)訂貨周期與最大收益的決策算法，并且在推導(dǎo)出理論結(jié)果后進(jìn)行了數(shù)值實(shí)驗(yàn)和靈敏度分析，最后從管理分析角度給出決策建議。但是在模型構(gòu)建中未考慮供應(yīng)商中斷對(duì)產(chǎn)品價(jià)格的影響，也未考慮常見(jiàn)的提前銷(xiāo)售策略。在未來(lái)的研究中，可以從總利潤(rùn)角度出發(fā)，考慮基于延遲支付策略和隨機(jī)干擾影響產(chǎn)品價(jià)格的最優(yōu)庫(kù)存控制決策。