趙建平, 虞敬偉

(1.吳興區(qū)教育局教學研究與培訓中心，浙江 湖州 313000；2.吳興區(qū)妙西學校，浙江 湖州 313000)

1 問題提出

初中九年級的學生已經有一定的空間觀念、數感及符號感，加之八年級時已經歷過“制作無蓋長方體紙盒”的探究學習，九年級時進一步學習了立方體的表面展開圖，感受了“從實際問題中抽象出數學問題—建立數學模型—綜合應用已有的知識解決問題”的過程，項目開展時機相對成熟.浙江省湖州市吳興區(qū)妙西鎮(zhèn)是茶葉產銷重鎮(zhèn)，當地學生有真實的生活經歷，在妙西學校開設一堂“比一比，誰做的茶葉盒更大”項目化學習的數學課具備一定的現實意義.

2 初步設想

本堂課秉承以解決學生身邊的真實問題為項目任務，以項目活動中落實學生素養(yǎng)為主的原則，引導學生積極參與課堂，發(fā)揮學生的主觀能動性.通過設計多個探究活動的方式讓學生經歷觀察與猜測、實驗與操作、抽象與交流、合作與展示、推理與反思等一系列數學活動，以學定教，體現學為中心的教學策略[1].同時，在教學中借助“幾何畫板”描繪圖像，運用Excel輔助計算，讓學生體會到信息技術是認識世界的有效手段和工具.思維導圖如下：

3 教學過程

3.1 情景引入，溫故知新

妙西鎮(zhèn)是茶葉產銷重鎮(zhèn)，是茶圣陸羽《茶經》撰寫地.在當今節(jié)能減排的要求下，請將邊長為20 cm的正方形紙片，經過適當裁剪，將剩余部分(必須是一張紙面)拼合成體積盡可能大的長方體(包括正方體)密閉茶葉盒(接縫不計).

問題1為了設計制作符合要求的茶葉盒，我們已經有哪些知識儲備呢？

活動1師生一起回顧義務教育《數學》八年級下冊探究學習了“無蓋長方體紙盒”的制作和《數學》九年級下冊學習的“立方體的表面展開圖”.

設計意圖通過PPT直觀呈現，喚醒學生回憶相關的知識點，為下面的圖形設計和計算論證做鋪墊.

3.2 拆解項目，特例入手

請將一張邊長為20 cm的正方形紙片，經過適當的裁剪，將剩余部分(必須是一張紙面)拼合成正方體密閉紙盒.

小組合作探究1在邊長為20 cm的正方形紙片中正向設計立方體展開圖(如圖1).

圖1

問題1請在邊長為20 cm的正方形紙片中正向設計立方體展開圖.

問題2比較你的設計方案和同學們的一樣嗎？孰優(yōu)孰劣？

問題3小組合作，討論影響體積大小的要素有哪些？

問題4通過本次活動，對你的方案改進有何啟發(fā)？

設計意圖分解項目，從特殊情況(正方體)展開學習，呈現言簡意賅、指向明確的具體問題，起點較低,避免曲高和寡，利用磁力貼、正方形紙片、剪刀等工具，將學生置于有趣而富有挑戰(zhàn)性的問題情境中.學生通過自己動手實踐，在問題1和問題2的引導下觀察、比較、歸納，通過問題3和問題4在操作中反思、提煉，積累數學基本活動經驗，為后續(xù)進一步研究打好基礎.

小組合作探究2在邊長為20 cm的正方形紙片中斜向設計立方體展開圖(如圖2).

圖2

設計意圖經歷探究1之后，學生已經具備了在正方形紙片內設計立方體展開圖的經驗，由此設置了探究2——在邊長為20 cm的正方形紙片中斜向設計立方體展開圖.此環(huán)節(jié)我們將選擇有代表性的斜放方案進行展示，將重心由設計轉到計算中來(正方形內接直角折線長度的求法)，同時感受圖形的對稱美.

3.3 類比探究，尋求一般

基于以上活動，若改成設計“長方體茶葉盒”，則體積會不會更大呢？我們將怎樣開展研究呢？

小組合作探究3在邊長為20 cm的正方形紙片中設計長方體展開圖.

問題1小明同學思考：在相同條件下，把正方體茶葉盒改良成長方體茶葉盒，體積會不會更大？

他設計了如圖3所示的方案：

圖3

問題2請嘗試給展開圖標注尺寸.

問題3請嘗試用舉例的方法，檢驗用小明的方案做的茶葉盒體積是否最大.

問題4我們分析得到了函數表達式V=b(10-b)(20-2b)是個“三次函數”，該如何探究它的最大值？請完成下列探究活動.

探究函數V=b(10-b)(20-2b)的最大值.

1)完成表1，判斷當b在哪兩個相鄰整數之間時，V最大？

表1 b的值及對應的體積

2)觀察表2，思考：我們是怎么提高精確度的？

表2 b的值及對應的體積

3)若要得到更精確的值，你將如何操作？

設計意圖探究3學生將經歷從特殊到一般的探究過程，類比正方體和長方體的區(qū)別和聯系.從空間觀念上從靜態(tài)到動態(tài)的轉變，需要更強的空間想象能力；從數與代數層面完成一元到二元、方程到函數的螺旋上升，具有一定梯度.通過問題1引導學生開展類比探究；以問題2為載體，幫助學生突破空間想象能力的瓶頸；問題3組織學生以舉例的方式探求長方體茶葉盒體積的最大值，在此基礎上驅動學生用函數觀點刻畫事物規(guī)律，“逼近法”呼之欲出；問題4學生將用“逼近法”探索函數的最大值，此環(huán)節(jié)要求較高，需要靈活運用函數解析法、列表法、圖像法這3種表現形式，教師可以引導學生利用幾何畫板便捷地畫出函數圖像，用Excel快速地計算出相應的函數值.

3.3 回歸特殊，創(chuàng)新思維

小組合作探究4探索有無體積更大的設計方案(如圖4).

圖4

設計意圖回歸特殊，進行正方體的不規(guī)則展開，發(fā)展學生的空間想象能力和創(chuàng)新思維能力，培養(yǎng)學生的發(fā)散思維能力與創(chuàng)造力.

4 教學反思

1)以串聯教材多塊知識解決問題為項目化學習框架，激發(fā)項目學習的“參與感”.

項目化學習的重要特征之一就是通過有意義的驅動性問題激發(fā)學生的興趣，增加學生的學習熱情，使其主動投入學習[2].本課著眼核心素養(yǎng)，結合地方特色，設計“比一比，誰做的茶葉盒更大”為驅動性問題，將學生置于現實的、有意義的、有挑戰(zhàn)的實際問題中.教師著眼于“引”，引導學生發(fā)現問題、解決問題;學生著眼于“探”，自主合作探究知識、廣泛交流，更加重視過程，學生獲得正面的情感態(tài)度與價值觀.本課把一元二次方程、正方體與長方體展開圖、函數最值的探究串聯在一起，一步步解決學生身邊的真實問題，學生學習的積極性非常高.

2)以層次化驅動性任務為項目化學習的路徑，注重知識建構的“可視化”.

本課學生需要經歷從特殊到一般的研究過程，在活動中遵循“反復理解，螺旋上升”的規(guī)律[3].因此在學生完成特殊情況“正方體茶葉盒的設計”之后，引導學生進行復盤和反思，以思維導圖為支架和輔助工具，提供學生交流反思的平臺，讓思維可視化，積累基本活動經驗，為進一步研究指明方向.

3)以相關技術軟件與直觀教具為項目化學習的支持，提升問題解決的“可操作性”.

本課內容既有對已知知識的應用，也有對未知知識的探索，體現了層次性，開發(fā)了學生的探索潛能；同時驅動問題具有開放性，有利于點燃學生學習數學的興趣和創(chuàng)新激情.基于問題本身的可操作性和探究性，在教學中教師多次利用教學工具做輔助，如利用“正方形紙片、磁力片、剪刀”等工具，組織學生進行操作探究，給學生創(chuàng)造“在‘做’中思考、在‘做’中發(fā)現、在‘做’中感悟”的平臺；又如在探究“三次函數”最大值時，利用幾何畫板直觀呈現函數圖像，利用Excel計算工具替代機械運算，讓學生真正投入到數學探究中去.

4)以知識與經驗螺旋上升為項目化學習的感悟，落實核心素養(yǎng)的“滲透性”.

從知識角度看，本節(jié)課圍繞“制作體積盡可能大的長方體茶葉盒”展開，將初中階段長方體的表面展開圖、特殊三角形、代數式(方程、函數)融為一體，強調知識的綜合運用.課堂探究呈現從正方體到長方體、從“一元”到“二元”、從“低次”到“高次”的螺旋上升，最終以所學研究函數的經驗探究“三次函數”的最大值.從基本活動經驗的角度看，本堂課以活動為載體，以教學工具為輔助進行組織，從特殊情況到一般情況，結合手動、體動、腦動，促成結果的多樣化和可對比性，在觀察、猜測、實驗、抽象、交流、合作、推理與反思等一系列活動中積累基本活動經驗；從核心素養(yǎng)角度看，本堂課一開始從常規(guī)和已知的內容入手，通過反思和遷移，逐步發(fā)展到對未知知識的探索和對設計方案的創(chuàng)新中去，通過教師引導、學生探究所得，培養(yǎng)了學生數學抽象、邏輯推理和直觀想象的數學核心素養(yǎng)，在結合圖像分析的過程中，滲透數形結合思想[4].