秦明皇， 陶 栩， 佃松宜， 郭 斌

1. 四川大學電氣工程學院，成都市 610044 2. 四川三聯(lián)新材料有限公司，成都市 610100

0 引 言

永磁同步電機系統(tǒng)因其高效率、高可靠性、易于維護等特點[1]而在高精度伺服系統(tǒng)中得到了廣泛的應用.近幾十年來，大量的文獻探討了永磁同步電機的控制方案，現(xiàn)有的控制方法主要可以分為兩類，一是傳統(tǒng)的線性控制方法，如比例積分微分控制器(PID)[2].該方法具有簡單、參數(shù)設置方便，無需依賴系統(tǒng)模型等優(yōu)點[3].然而，永磁同步電機是一個非線性、強耦合和多變量的系統(tǒng)[4]，當控制系統(tǒng)受到外部干擾或電機內(nèi)部參數(shù)變化的影響時，傳統(tǒng)的比例積分控制方法無法達到實際要求.

二是非線性控制方法，如魯棒控制[5]，自適應控制[6-7]，反步控制[8]，神經(jīng)網(wǎng)絡控制[9]、模糊控制[10]和滑?？刂?SMC)[11-14].在這些非線性控制方法中，滑?？刂品椒ㄒ蚱鋵δ承﹥?nèi)部參數(shù)變化和外部擾動的魯棒性而聞名，在系統(tǒng)參數(shù)或模型不確定的情況下也可以保證較好的跟蹤性能，已被廣泛應用于永磁同步電機的速度控制.針對傳統(tǒng)SMC存在的問題，提高其在跟蹤和擾動抑制特性方面的性能，并減少抖振，許多方法被提出，包括改進滑模面[11]，改進趨近律[12-13]，高階SMC和復合SMC設計[14]等.

分數(shù)階滑?？刂?FOSMC)[15]利用分數(shù)階微積分構(gòu)造其滑動面，與傳統(tǒng)的整數(shù)階滑?？刂葡啾龋e分和微分算子的額外自由度可以進一步提高控制器的性能，使其具有更快的響應速度，更小的跟蹤誤差.作為傳統(tǒng)整數(shù)階微積分到非整數(shù)階的推廣，分數(shù)階的特點是衰減舊數(shù)據(jù)并存儲新數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)可以更有判別性地使用，因此分數(shù)階控制器更穩(wěn)定或至少與整數(shù)階控制器一樣穩(wěn)定.

到目前為止，已有許多控制器結(jié)合了分數(shù)階微積分，最常見的是分數(shù)階微積分與經(jīng)典PID控制器的結(jié)合，表示為PIλDμ.由于引入分數(shù)階微積分，PIλDμ控制器具備了更多優(yōu)點，吸引了越來越多的研究人員在其不同的控制器中引入分數(shù)階微積分，進一步使得更多的分數(shù)階的控制器得到了發(fā)展，分數(shù)階滑?？刂破鞅闶瞧渲兄?分數(shù)階控制器已被廣泛證明比傳統(tǒng)的整數(shù)階微積分控制器具有更快的收斂速度和更好的穩(wěn)定性.已廣泛應用于復雜系統(tǒng)，如機器人、分數(shù)階混沌系統(tǒng)等.本文將通過修改滑模面對傳統(tǒng)SMC進行改進，得到一個FOSMC來控制PMSM的速度.

永磁同步電機伺服驅(qū)動系統(tǒng)在運行過程中很容易受到參數(shù)變化、負載擾動和非線性動力學的影響[16]，進而導致控制性能的下降，嚴重時甚至導致故障的發(fā)生.因此，保證電機的可靠性和安全性，盡量減少電機故障對伺服驅(qū)動系統(tǒng)性能的影響，需要對電機進行容錯控制.通常來講，容錯控制方法一般有基于數(shù)據(jù)驅(qū)動的智能控制方法和基于解析模型的傳統(tǒng)方法.在實際情況下，關(guān)于電機故障的數(shù)據(jù)卻不那么容易獲得，因而基于解析模型的方法通常占據(jù)優(yōu)先地位.從對故障的處理方式出發(fā)，容錯控制還可分為主動容錯控制和被動容錯控制[17].被動容錯控制利用魯棒控制技術(shù)使整個閉環(huán)系統(tǒng)對某些確定的故障具有不敏感性，以達到系統(tǒng)故障后繼續(xù)工作的目的.盡管滑?？刂破鲗Σ淮_定性或故障具有一定的魯棒性，然而前提是知道不確定性或故障的邊界，通常情況下這種邊界的先驗知識是不被人所知道的，盡管可以通過增加滑模切換項的增益來提高魯棒性，但這不可避免地會增加抖振，降低控制性能，無法滿足高精度控制需求.更加有效的方式是采用主動容錯控制方法[18]，通過觀測器對故障或不確定性進行估計，并將故障估計值反饋給控制器從而進行補償.在文獻[11]和[19]中，滑模觀測器(SMO)和擴張狀態(tài)觀測器(ESO)分別被用于估計負載轉(zhuǎn)矩，取得了有效的估計效果.在文獻[20]中，SMO用于實時檢測擾動量.相比于SMO和ESO，擾動觀測器(DO)結(jié)構(gòu)簡單，便于實施而得到了廣泛應用，在文獻[21]中，DO被用于自適應控制器中補償參數(shù)不確定性和輸入飽和.在文獻[22]和[23]中，為了提高電機速度控制的精度，DO為滑?？刂破魈峁┭a償項.在文獻[24]中，非線性擾動觀測器(NDO)用于補償集總擾動.盡管擾動觀測器已在許多場景得到了應用，但如何選擇觀測器增益仍然是一個值得研究的問題.傳統(tǒng)NDO的增益通常為常數(shù)，不能根據(jù)實際情況做出改變，因而導致其收斂速度較慢.針對上述問題，本文將對傳統(tǒng)的NDO增益進行改進，采用變增益的方式使之具備更快的收斂速度，從而及時對故障和不確定性進行有效補償.

綜上所述，本文將設計一種基于分數(shù)階積分滑模和非線性擾動觀測器的伺服電機容錯控制方案，通過分析建立了電機故障模型，在此基礎(chǔ)上討論了電機容錯控制方案，采用滑模控制提高了系統(tǒng)的魯棒性，并利用分數(shù)階理論對傳統(tǒng)滑?？刂七M行改進，使之具備更快的響應速度，更小的穩(wěn)態(tài)誤差.為了對故障信號進行有效補償，采用NDO對故障進行實時估計，并對觀測器增益進行改進，使之對故障的觀測速度更快，便于實時補償，提高伺服驅(qū)動系統(tǒng)的控制性能，保證伺服系統(tǒng)的安全性和可靠性.

1 永磁同步電機數(shù)學模型

1.1 理想模型

本文以表貼式永磁同步電機為控制對象，選擇同步旋轉(zhuǎn)坐標系d-q下的數(shù)學模型.在理想情況下，永磁同步電機的定子電壓的通用數(shù)學模型可表達為[25]：

(1)

定子磁鏈方程為：

(2)

式中，ψd和ψq分別為磁鏈在d軸和q軸分量；ud，uq和id，iq分別為d軸和q軸的電壓和電流，R為定子電阻；np為極對數(shù)；ω為電機機械角速度；Lq和Ld分別為d軸和q軸的電感，對于表貼式永磁同步電機來說，Ld=Lq=Ls；ψ為永磁體磁鏈.

將式(2)代入式(1)可得定子電壓方程為

(3)

進一步可寫為：

(4)

電機的電磁轉(zhuǎn)矩方程為

(5)

式中Te為電磁力矩.

電機機械角速度方程為

(6)

式中，TL為負載扭矩，J為轉(zhuǎn)動慣量(kg·m2)；bm為阻尼系數(shù)(Nm·s/rad).

將式(5)代入，最終可得到

(7)

1.2 電機故障數(shù)學模型

在電機的實際運行過程中，由于各種因素的影響，電機的電氣和機械參數(shù)會隨著操作條件的變化而變化，載荷轉(zhuǎn)矩同樣會隨著實際操作而變化.這種變化會導致系統(tǒng)出現(xiàn)不確定性甚至故障的發(fā)生.為了減少這種不確定性或者故障的影響，需要對電機模型進行進一步分析.

本文暫時只考慮故障或不確定性發(fā)生在式(7)中.在電機運行過程中.由于電機長時間工作使得電機溫度變化進而導致電阻發(fā)生改變，或由于環(huán)境磁場的變化使得永磁體受到影響，或溫濕度變化導致摩擦系數(shù)變化，同時電機負載也為不確定項，將這些可能導致故障發(fā)生的因素考慮為一個整體附加項，因而電機模型可重寫為

(8)

其中Fω為故障或不確定性項，其表達式為

(9)

Δρi(i=1,2)為不確定性變化項.

2 控制方案設計

圖1 永磁同步電機控制系統(tǒng)總體結(jié)構(gòu)圖Fig.1 The overall structure diagram of the permanent magnet synchronous motor control system

2.1 分數(shù)階滑模控制器

假設期望的電機機械角速度為ω*，定義跟蹤控制誤差為

eω=ω*-ω

(10)

根據(jù)分數(shù)階理論，設計如下分數(shù)階滑模面sω

(11)

式中，λ>0是待設計的滑模面參數(shù)；sgn()為符號函數(shù)；Dα(f(eω))表示對函數(shù)f(eω)做α階微分，0<α<1.其計算公式為[28]：

(12)

式中:Γ(n-a)表示gamma函數(shù)，0

sω關(guān)于時間求導，根據(jù)式(8)和(10)可得到

(13)

為了滿足滑模條件，設計如下趨近率，其表達式為[29]：

(14)

設計控制器為:

(15)

(16)

(17)

根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性理論，電角速度控制器是穩(wěn)定的.

(18)

PI控制器設計為：

(19)

式中，Kp和Ki分別為比例項和積分項增益，其表達式為

Kp=diag{kpd,kpq},Ki=diag{kid,kiq}

(20)

2.2 觀測器設計

(21)

式中，Lω，p(ω)分別為觀測器增益和待設計函數(shù)，并且具有如下關(guān)系：

(22)

關(guān)于時間求導，并代入式(8)和式(21)可得：

(23)

如何設計p(ω)是非常值得研究的問題，p(ω)通常被設計為線性的，Lω是一個常數(shù).由于觀測器增益是固定的，這導致觀測器的收斂速度較慢.無法對故障或不確定性進行及時估計和后續(xù)補償.受NGUYEN等[31]的啟發(fā)，設計p(ω)為一個非線性函數(shù)，Lω也是非線性的，可以根據(jù)實際情況及時做出變化，加快觀測器收斂速度.

(24)

式中，m1，m2均為大于0的常數(shù).在式(24)中，為了達到對故障的自適應效果，使得對不同程度的故障具有不同的響應，引入了電機角速度ω作為觀測器增益的組成部分，可以更快地對故障進行估計.p(ω)和Lω由常量和電機角速度ω組成，當電機發(fā)生故障時，直接的體現(xiàn)便是電機角速度ω會發(fā)生變化，故障值越大觀測器增益也更大，那么觀測速度也就越快.圖6、圖10以及圖14可以直觀地看出效果.

引理2.對于給定的非線性擾動觀測器，擾動估計誤差有界.

證明.從式(23)可以得到

(25)

其中e是自然對數(shù)的底數(shù).因此有

(26)

由于Lω=m1+m2ω2≥m1>0成立，-Lω的特征值為負，滿足引理1的條件.當ω=0時-Lω的特征值取得最大值，式(26)有意義，定義：

(27)

3 仿真結(jié)果

為了驗證所提出的容錯控制方法的有效性，使用MATLAB/Simulink對永磁同步電機驅(qū)動系統(tǒng)進行數(shù)值仿真.采樣時間永磁同步電機參數(shù)如表1所示.

表1 永磁同步電機參數(shù)Tab.1 The parameters of permanent magnet synchronous motor

仿真主要分為3個部分，分別是(1)電機工作在正常情況下的控制器有效性驗證(2)電機受到偏置故障影響的有效性驗證(3)電機受到時變故障影響的有效性驗證.

仿真中各模塊的參數(shù)選取如表2所示.

表2 模塊參數(shù)Tab.2 Parameters of each module

3.1 正常情況

在正常情況下，本文方法與比例積分控制、傳統(tǒng)線性滑模和整數(shù)階積分滑模進行比較，圖2為定負載情況下電機轉(zhuǎn)速的控制效果.可以看出分數(shù)階積分滑模和故障觀測器的組合與PI控制、傳統(tǒng)線性滑?？刂破飨啾染哂泻艽蟮膬?yōu)勢，具有非?？斓捻憫俣?，幾乎沒有超調(diào)量的出現(xiàn).與整數(shù)階積分滑模的差別并不大，但由于分數(shù)階引入的額外自由度，在控制器中引入了微分項，使得控制器具備一定的預測效果，因此更快的響應速度的到了體現(xiàn).

圖2 不同控制方法下電機轉(zhuǎn)速控制效果Fig.2 Motor speed control effect under different control methods

圖3為分數(shù)階滑模的q軸電流輸出，圖4為本文方法與其他控制器的電機電磁轉(zhuǎn)矩比較，這和電機速度控制是相互印證的，我們從中同樣可以看出本文方法具有更快的響應.

圖3 分數(shù)階滑模控制下的q軸電流Fig.3 q-axis current under fractional sliding mode control

圖4 不同控制方法下電磁轉(zhuǎn)矩輸出情況Fig.4 The output of electromagnetic torque under different control methods

圖5為在正常情況下本文設計的觀測器和傳統(tǒng)的NDO觀測器對故障或不確定性的觀測效果，可以看出本文所設計觀測器與傳統(tǒng)的NDO觀測器均能在有限時間內(nèi)使觀測誤差收斂到零，值得指出的是在無故障情況下傳統(tǒng)的NDO觀測器似乎有著更好的觀測效果，其觀測值幾乎沒有太大的波動，而且在初始時刻不會有較大的偏離，但這也正體現(xiàn)出其對故障或不確定性的不敏感性或遲鈍，無法及時對故障或不確定性做出有效估計.

圖5 正常情況下不同觀測器對故障的觀測效果Fig.5 Observation effects of different observers on faults under normal conditions

3.2 偏置故障

在正常情況下驗證了本文控制方法的有效性后，為了進一步驗證伺服電機出現(xiàn)故障后本文所設計控制方案能否保證系統(tǒng)繼續(xù)正常工作，對故障是否有一定的容忍性，在一定時刻對電機注入偏置故障，故障信號為：Fω=10,t>0.02 s.

圖6展示了注入偏置故障前后不同控制器對電機轉(zhuǎn)速的控制效果.在故障注入前，控制效果和正常情況下一致.當故障被注入后，由于故障的影響，電機轉(zhuǎn)速立刻出現(xiàn)了較大偏差，本文所設計的分數(shù)階滑模和觀測器組合的方法與其他方法最終都可以使誤差收斂到零是本文方法的收斂速度更快，傳統(tǒng)滑模方法和比例積分控制器需要漫長的反應時間，在實際情況中這種情況是不可取的.傳統(tǒng)的整數(shù)階積分滑模由于在結(jié)構(gòu)上與本文分數(shù)階積分滑模在結(jié)構(gòu)上相似，且也使用了觀測器的故障觀測值進行補償，其控制效果也和分數(shù)階積分滑模相似，但是本文方法具有更小的穩(wěn)態(tài)誤差.

圖7為注入偏置故障分數(shù)階滑模的q軸電流輸出，圖8為本文方法與其他控制器的電機電磁轉(zhuǎn)矩比較.從圖6、7可以看出，當偏置故障發(fā)生后，q軸電流立即發(fā)生變化，電機電磁轉(zhuǎn)矩也是如此，這從另一個方面印證了本文控制器響應快速.

圖6 注入偏置故障后不同控制方法對電機轉(zhuǎn)速的控制效果Fig.6 Control effect of different control methods on motor speed after injecting bias fault

圖7 注入偏置故障后q軸電流Fig.7 q-axis current after injection of bias fault

圖8 注入偏置故障后不同控制方法下電磁轉(zhuǎn)矩輸出情況Fig.8 The electromagnetic torque output under different control methods after injection of bias fault

圖9為注入偏置故障前后本文設計的觀測器和傳統(tǒng)的NDO觀測器對故障或不確定性的觀測效果，兩種觀測器均能正確有效地對故障值進行估計，然而本文地觀測器具有更快地觀測速度，能夠及時對故障進行補償，這對控制系統(tǒng)來說是非常重要的，具有重大意義.

圖9 注入偏置故障后不同觀測器對故障的觀測效果Fig.9 The observation effect of different observers on the fault after injecting the bias fault

3.3 時變故障

在3.2中，討論了系統(tǒng)注入偏置故障后本文設計方法的容錯性能，本文所設計控制方法取得了較好的效果，然而在實際情況中，偏置故障是一種相對簡單的故障，要實現(xiàn)容錯的目的也相對比較容易.在實際情況中，故障比較復雜，更多體現(xiàn)出時變的特性，為了盡可能仿真現(xiàn)實情況，此小節(jié)對系統(tǒng)注入時變故障，故障信號為幅度為10，頻率為100 Hz的正弦信號，從仿真開始到結(jié)束一直存在.

圖10為在時變故障下不同控制器對電機轉(zhuǎn)速的控制效果.從圖中可以看出，傳統(tǒng)的滑模控制和比例積分控制器無法有效克服時變故障的影響，系統(tǒng)出現(xiàn)了振蕩現(xiàn)象，無法滿足控制要求.

圖10 時變故障下不同控制方法對電機轉(zhuǎn)速的控制效果Fig.10 The control effect of different control methods on motor speed under time-varying faults

本文方法即使在故障快速變化的情況下也能有效減少其對系統(tǒng)性能的影響，這得益于故障觀測器對故障的及時有效估計，使得補償?shù)靡皂樌M行.

圖11為時變故障下分數(shù)階滑模的q軸電流輸出，圖12為本文方法與其他控制器的電機電磁轉(zhuǎn)矩比較，其體現(xiàn)的意義與前文相同，在此不再贅述.

圖11 時變故障下q軸電流Fig.11 q-axis current under time-varying fault

圖12 時變故障下不同控制方法的電磁轉(zhuǎn)矩輸出情況Fig.12 The electromagnetic torque output of different control methods under time-varying faults

圖13為本文觀測器是傳統(tǒng)NDO觀測器對時變故障的觀測效果，可以看出，即使故障變化較迅速，本文觀測器仍能對其有效估計，而傳統(tǒng)的NDO觀測器由于增益不變，無法對變化稍快的故障進行估計.

圖13 不同觀測器對時變故障的觀測效果Fig.13 Observation effects of different observers on time-varying faults

4 結(jié) 論

本文提出了一種基于NDO和分數(shù)階積分滑模容錯控制方案.在永磁同步電機驅(qū)動應用中，受各種因素的影響，系統(tǒng)可能會出現(xiàn)故障，降低系統(tǒng)的整體控制性能，因此提出了一種非線性增益的NDO，對故障進行及時有效地估計并在控制器中進行補償，以提高表貼式永磁同步電機驅(qū)動器的容錯能力.基于分數(shù)階理論設計了分數(shù)階積分滑?？刂破鳎瓜到y(tǒng)具有更快的響應速度.分別在正常情況下和系統(tǒng)故障情況下，通過MATLAB/Simulink軟件包驗證了提出的基于NDO和分數(shù)階積分滑模容錯方案的有效性.仿真結(jié)果表明，該容錯控制方法可以有效保證系統(tǒng)安全性和可靠性，提高同步電機速度跟蹤控制能力、具有快速動態(tài)響應、更小的穩(wěn)態(tài)誤差等性能.