王澤國， 王志文， 王華強， 王云鵬， 王 磊，李 瑩

北京控制工程研究所, 北京100094

0 引 言

慣性測量單元(inertial measurement unit, IMU)是慣性導(dǎo)航系統(tǒng)中核心部件，包括陀螺和加速度計兩類部件，其精度對導(dǎo)航系統(tǒng)精度具有決定性影響.慣性導(dǎo)航系統(tǒng)的本體系相對地理系的姿態(tài)可以通過IMU自身輸出得到，此過程一般稱為自對準[1].

自對準方法主要可以分為兩類：粗對準和精對準，其中粗對準方法一般是通過IMU中陀螺和加速度計輸出通過與地理系的地球自轉(zhuǎn)與重力加速度矢量簡單計算得到[2]；而精對準方法一般采用基于模型的方法，通過Kalman濾波得到IMU的姿態(tài)[3-4].粗對準方法不需要觀測誤差模型，計算簡單，物理意義明顯，可以快速得到IMU的姿態(tài)，在許多實際場景中得以應(yīng)用.

目前對粗對準方法的研究中，有許多從理論或數(shù)值上給出了誤差分析結(jié)果.文獻[5]針對不同時刻搖擺基座的重力加速度在慣性系下矢量，雙矢量定姿得到粗對準姿態(tài).文獻[2] 給出了粗對準誤差模型，以及自對準計算的旋轉(zhuǎn)矩陣與IMU輸出誤差之間解析表達式.但是誤差模型是導(dǎo)航系角速度和加速度的偏差作為自變量，未考慮IMU漂移、安裝偏差等參數(shù)對于角速度和加速度偏差影響[6].從控制理論角度分析了狀態(tài)方程的極點、可控性、可觀性.考慮北東地地理系下位置、速度、姿態(tài)微分方程，得到陀螺漂移和加計零偏對位置速度姿態(tài)的狀態(tài)方程，未考慮安裝偏差.

目前的研究中主要考慮的是陀螺、加速度計的零偏偏差對粗對準結(jié)果的影響，而更一般地，安裝偏差和IMU相對地理系姿態(tài)對粗對準誤差影響并未看到相關(guān)研究.雖然文獻[1-2]給出了粗對準誤差的理論結(jié)果，但是結(jié)果中的變量是粗對準姿態(tài)與IMU輸出在地理系下的偏差的關(guān)系，并非是IMU自身參數(shù).在實際使用IMU粗對準情況中，尤其是在考核IMU精度時，需要得到粗對準精度與IMU參數(shù)的關(guān)系.實際上，可以通過IMU輸出模型得到IMU輸出在地理系下偏差與IMU參數(shù)的解析表達式，但是由于表達式比較復(fù)雜以致難以給出分析結(jié)果.

本文首先給出IMU理想輸出模型與參數(shù)偏差的輸出模型，模型中偏差參數(shù)考慮陀螺漂移、陀螺敏感軸安裝偏差、加速度計零偏和加速度計安裝偏差.在此基礎(chǔ)上根據(jù)實際使用的粗對準方法得到估計的IMU姿態(tài)，與實際標稱姿態(tài)比較得到粗對準誤差.通過數(shù)值仿真分析，給出IMU參數(shù)與姿態(tài)對粗對準偏差影響，并從實際角度給出根據(jù)粗對準偏差估計IMU參數(shù)偏差的定性分析方法.

1 IMU模型

考慮地球表面的天東北地理系，地球轉(zhuǎn)速和當(dāng)?shù)刂亓铀俣确聪蛟谔鞏|北地理系下表示為

ωen=[ωesinλA0ωecosλA]T

gen=[ge0 0]T

(1)

式中，ωe∈R為地球轉(zhuǎn)速大小，ge∈R為當(dāng)?shù)刂亓铀俣却笮?，λA∈R為當(dāng)?shù)鼐暥?

考慮IMU具有3個陀螺和3個加速度計，且IMU陀螺和加速度計敏感軸重合，敏感軸相對IMU本體系矩陣為Cib，并且有

Cib=[Vg1Vg2Vg3]T

(2)

其中Vg1,Vg2,Vg3∈R3為IMU三個敏感軸在本體系的坐標表示.值得注意的是，Cib并非正交陣[7].當(dāng)IMU靜止放置于地球表面某位置時，輸出穩(wěn)定時[8]，IMU敏感頭部的實際輸出為

(3)

2 粗對準結(jié)果

由估計的IMU參數(shù)以及IMU實際輸出可以計算得到IMU估計的本體系角速度和加速度為

考慮一組正交矢量在地理系下表示

gen,gen×ωen,gen×(gen×ωen)

以及IMU本體系測量結(jié)果在本體系表示為

(4)

(5)

3 定姿誤差物理意義

為了得到粗對準定姿誤差結(jié)果，定義定姿誤差矩陣為[2]

(6)

以及誤差角定義為1-3-2轉(zhuǎn)序的歐拉角

(7)

其中EC(i,j)為EC的第i行第j列元素.

下面給出EC的物理意義.注意到文獻[2]給出了相同的誤差矩陣定義，考慮計算偏差后并根據(jù)文獻[9]將式(6)分解為

EC=I+S-U

(8)

式中，I為單位陣，S為對稱陣，U為反對稱陣.當(dāng)忽略計算誤差后，式(4)中V1b、V2b、V3b為一組單位正交矢量，V1n、V2n、V3n為一組單位正交矢量，因此有

Ec=I-U

設(shè)

可見小角度下失準角φx、φy、φz與式(7)定義的歐拉角相同.

Vb-CbnUVn=Vb-δVb

其中δVb即為估計的本體系矢量坐標與真實本體系矢量坐標之間的誤差矢量.

4 數(shù)學(xué)仿真

考慮地理緯度λA為40.068 9°，某IMU陀螺漂移、加計零偏和IMU敏感軸相對本體系安裝矩陣分別為

bg=[-8.173 3×10-7-3.608 2×10-74.613 1×10-7]Trad/s,

ba=[8.465 6×10-31.380 6×10-21.459 1×10-2]Tm/s2,

每個工況下又分為3個子情況，即本體系繞x、y、z軸旋轉(zhuǎn)，并且給出不同旋轉(zhuǎn)角下、參數(shù)為偏差參數(shù)范圍內(nèi)隨機值、打靶1 000次情況下φx,φy,φz的絕對值最大值.

4.1 工況1

工況1考慮為僅陀螺漂移偏差±100%，偏差參數(shù)設(shè)置為δbg(i)∈[-bg(i),bg(i)],δba(i)=0，Croti=I,i=1,2,3.

由圖1～3可見，陀螺偏差僅對x軸有影響，且誤差大小與本體系姿態(tài)相關(guān).此結(jié)果與文獻[2]給出的理論分析結(jié)果一致.

圖1 工況1粗對準誤差與繞x軸旋轉(zhuǎn)關(guān)系Fig.1 Coarse alignment deviations with respect to the attitude rotation along x-axis in Case 1

4.2 工況2

工況2考慮為僅加計零偏偏差±100%，偏差參數(shù)設(shè)置為δbg(i)=0,δba(i)∈[-ba(i),ba(i)]，Croti=I,i=1,2,3.

圖2 工況1粗對準誤差與繞y軸旋轉(zhuǎn)關(guān)系Fig.2 Coarse alignment deviations with respect to the attitude rotation along y-axis in Case 1

圖3 工況1粗對準誤差與繞z軸旋轉(zhuǎn)關(guān)系Fig.3 Coarse alignment deviations with respect to the attitude rotation along z-axis in Case 1

由圖4～6可知，加計零偏偏差對自對準單軸誤差均有影響，并且誤差大小與本體系姿態(tài)相關(guān).此結(jié)果同樣與文獻[2]給出的理論分析結(jié)果一致.需要注意的是，本體系繞x軸旋轉(zhuǎn)對粗對準三軸均有影響，繞y軸旋轉(zhuǎn)對粗對準的y軸偏差有影響，繞z軸旋轉(zhuǎn)對粗對準的x軸和z軸偏差有影響.此結(jié)果尚未見到公開文獻給出分析.

圖4 工況2粗對準誤差與繞x軸旋轉(zhuǎn)關(guān)系Fig.4 Coarse alignment deviations with respect to the attitude rotation along x-axis in Case 2

4.3 工況3

工況3考慮為僅IMU各軸安裝偏差為1°范圍內(nèi)隨機偏差，偏差參數(shù)設(shè)置為δbg(i)=0,δba(i)=0，Croti,i=1,2,3，為1°偏差隨機正交矩陣，通過生成幅值為1°、方向隨機的隨機四元數(shù)，然后由四元數(shù)轉(zhuǎn)為旋轉(zhuǎn)矩陣得到.

圖5 工況2粗對準誤差與繞y軸旋轉(zhuǎn)關(guān)系Fig.5 Coarse alignment deviations with respect to the attitude rotation along y-axis in Case 2

圖6 工況2粗對準誤差與繞z軸旋轉(zhuǎn)關(guān)系Fig.6 Coarse alignment deviations with respect to the attitude rotation along z-axis in Case 2

圖7 工況3粗對準誤差與繞x軸旋轉(zhuǎn)關(guān)系Fig.7 Coarse alignment deviations with respect to the attitude rotation along x-axis in Case 3

圖8 工況3粗對準誤差與繞y軸旋轉(zhuǎn)關(guān)系Fig.8 Coarse alignment deviations with respect to the attitude rotation along y-axis in Case 3

圖9 工況3粗對準誤差與繞z軸旋轉(zhuǎn)關(guān)系Fig.9 Coarse alignment deviations with respect to the attitude rotation along z-axis in Case 3

由圖7～9可知，IMU安裝偏差對粗對準三軸均有影響，并且誤差大小與本體系姿態(tài)相關(guān).同樣需要注意的是，本體系繞x軸旋轉(zhuǎn)對粗對準三軸均有影響，繞y軸旋轉(zhuǎn)對粗對準的x軸和z軸偏差有影響，繞z軸旋轉(zhuǎn)對粗對準的y軸偏差有影響.此結(jié)果同樣尚未見到公開文獻給出分析.

注：在實際工程使用中，經(jīng)常是根據(jù)外測結(jié)果得到粗對準誤差，然后根據(jù)誤差判斷IMU參數(shù)是否合理.根據(jù)本節(jié)仿真結(jié)果分析可知：如果粗對準誤差x軸偏差大，y和z軸偏差小，那么可以認為陀螺漂移參數(shù)具有較大偏差，見工況1；如果可以將IMU本體系繞y軸旋轉(zhuǎn)90°，然后再次進行粗對準得到誤差結(jié)果，可以比較出加計零偏的偏差對誤差的影響，見工況2中圖5；如果粗對準誤差3個方向均有較大偏差，偏差大小近似，那么可以認為安裝指向有較大偏差，見工況3.

5 實驗結(jié)果

下面給出某型IMU的自對準實驗結(jié)果，根據(jù)自對準偏差驗證IMU產(chǎn)品的指標要求符合性.

考慮地理緯度λA為19.684 884°，某IMU陀螺漂移、加計零偏、陀螺和加速度計敏感軸相對本體系安裝矩陣分別為

bg=[-9.626 0×10-7-3.975 4×10-75.554 9×10-7]Trad/s

ba=[8.968 9×10-31.381 6×10-21.478 2×10-2]Tm/s2

Ciba=

根據(jù)經(jīng)緯儀測量IMU基準鏡結(jié)果，可以得到IMU本體相對天東北轉(zhuǎn)換矩陣為

IMU輸出穩(wěn)定一段時間后，并轉(zhuǎn)換到本體系的測量結(jié)果為

ωb=[-2.474 6×10-5-6.853 5×10-52.306 6×10-6]Trad/s

ab=[-9.644 7 0.026 29 1.657 1]Tm/s2

進而根據(jù)(5)和(6)可以得到自對準偏差為

φx=-0.0243°,φy=-0.000 4°,φz=-0.001 0°

下面分析此偏差是否滿足指標要求.

考慮指標要求如下：各軸陀螺零偏偏差最大值為δgm=0.2(°)/h，各軸加速度計零偏偏差最大值為δga=2×10-4g0，其中g(shù)0=9.8 m/s2，陀螺和加速度計敏感軸變化小于30″.因此根據(jù)上述參數(shù)，打靶仿真得到根據(jù)(5)和(6)計算的自對準偏差范圍如下:

Φx∈[-0.937 1°,0.910 4°]

Φy∈[-0.020 3°,0.020 1°]

Φz∈[-0.021 0°,0.021 2°]

比較實際IMU測量得到自對準偏差與上式范圍，可知自對準偏差在指標要求范圍內(nèi)，滿足指標要求.

6 結(jié) 論

本文考慮IMU參數(shù)與地理系下姿態(tài)對靜態(tài)粗對準誤差影響，其中IMU參數(shù)包括陀螺漂移、加計零偏和安裝偏差.通過建立理想IMU模型得到IMU實際輸出.考慮到IMU參數(shù)不確定性，利用雙矢量定姿方法得到粗對準結(jié)果.通過定義IMU相對地理系理論姿態(tài)與粗對準姿態(tài)之間誤差矩陣，繼而得到粗對準誤差的歐拉角描述，并給出誤差的物理意義.通過3種工況的數(shù)學(xué)仿真，得到粗對準誤差與IMU參數(shù)和地理系下姿態(tài)之間關(guān)系.針對工程實際案例，給出實驗結(jié)果并給出指標符合性分析結(jié)果.本文方法與結(jié)果適用于工程實際中快速考察IMU參數(shù)偏差.