廣東省佛山市教育局教研室(528000) 彭海燕

佛山市順德區(qū)羅定邦中學(xué)(528300) 龍 宇

在解答立體幾何問(wèn)題時(shí),都可通過(guò)向量法以及幾何法進(jìn)行求解. 學(xué)生在求解的過(guò)程中首先要學(xué)會(huì)識(shí)別圖形,明確題目要求. 當(dāng)用幾何法求解時(shí),需結(jié)合線面間的位置關(guān)系以及空間角的定義作出相關(guān)圖形;當(dāng)利用向量法求解時(shí)則需要進(jìn)行適當(dāng)?shù)剞D(zhuǎn)化,將空間關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量間的運(yùn)算,兩種方法都體現(xiàn)了學(xué)生空間想象能力,是考察學(xué)生直觀想象核心素養(yǎng)的主要載體. 作為一道優(yōu)質(zhì)的立體幾何試題,必須要圖形結(jié)構(gòu)清晰,選擇恰當(dāng)?shù)貤l件作為推理的邏輯基礎(chǔ). 其次則是可通過(guò)多角度進(jìn)行運(yùn)算,讓擅長(zhǎng)不同方法的學(xué)生都可進(jìn)行求解.2022 屆佛二模第20 題就是一道優(yōu)質(zhì)的立體幾何解答題,該問(wèn)題入口寬、起點(diǎn)低,立意深遠(yuǎn),也為后續(xù)的高三備考指明的方向. 筆者在研究過(guò)程中,深深地被命題者的巧思所折服,現(xiàn)將探究的過(guò)程整理如下,以饗讀者.

1. 題目及分析

圖1

(1)求證: ΔPAD為直角三角形;

(2)若AD=PB,求直線PD與平面PBC所成角的正弦值.

2. 解法呈現(xiàn)

解法一(向量法1: 構(gòu)建坐標(biāo)系求解)如圖2,以點(diǎn)P為原點(diǎn),PB為x軸,PA為y軸,過(guò)點(diǎn)P作平面PAB的垂線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

圖2

評(píng)析 利用空間向量基本定理,避免了建系以及點(diǎn)的坐標(biāo)等運(yùn)算,弱化了對(duì)空間能力的要求,加強(qiáng)了對(duì)代數(shù)運(yùn)算方

解法四(幾何法2)在圖3 中,過(guò)點(diǎn)D作PE的垂線,垂足為M,利用三垂線定理可得DM⊥平面PEB. 可知DM的值即為點(diǎn)D到平面PBC的距離,同時(shí)可得∠DPE為直線PD與平面PBC所成角,具體如圖4.

圖3

圖4

解法六(幾何法4: 三面角[1]模型)如圖6,三面角是由具有公共端點(diǎn)的不共面的三條射線,以及任兩條射線所成的角的內(nèi)部構(gòu)成的空間圖形. 公共端點(diǎn)稱(chēng)為三面角的頂點(diǎn),射線稱(chēng)為三面角的棱,兩棱所夾的平面部分(角)稱(chēng)為三面角的面(角). 過(guò)每一條棱的兩個(gè)面所成的二面角稱(chēng)為三面角的二面角.

圖6

設(shè)射線V A與平面V BC所成角為θ,記∠AV C,∠AV B分別為β,γ,記二面角A-V C-B,二面角A-V B-C分別為C,B. 則可得sinθ=sinβ·sinC或sinθ=sinγ·sinB成立,證明過(guò)程請(qǐng)看下文.

在圖5 中, 考慮三面角P-DEB, 設(shè)直線PD與平面PBC所成角θ,設(shè)二面角D-PE-B為E,利用上述結(jié)論可得sinθ=sin ∠DPE·sinE.

圖5

3. 模型分析及推廣

在上述求解過(guò)程中, 分別從不同的視角解決了該問(wèn)題.特別地,在解法五及解法六中還總結(jié)出了兩個(gè)一般化的結(jié)論.現(xiàn)描述如下:

結(jié)論1 在三棱錐P-ABC中,設(shè)直線PC與平面ABC和平面PAB所成角分別為:α,β, 則有SΔABC ·sinα=SΔP AB ·sinβ.

利用等體積法即可證明,過(guò)程從略.

結(jié)論2 在三面角V-ABC中,射線V A與平面V BC所成的角為θ, 記∠AV C,∠AV B分別為β,γ, 記二面角A-V C-B, 二面角A-V B-C分別為C,B, 則可得:sinθ=sinβ·sinC或: sinθ=sinγ·sinB.

證明 如圖7,過(guò)點(diǎn)A作平面V BC的垂線,垂足為O,連接V O. 過(guò)點(diǎn)O作V C的垂線,垂足為C,連接AC,則可得∠AV O為射線V A與平面V BC所成的角.

圖7

根據(jù)三垂線定理可得:V C⊥AC,則可得∠ACO為二面角A-V C-O的平面角,根據(jù)三面角中的標(biāo)記方法記該角為∠C.

在不同的三角形中,