安徽省宿城第一中學(xué)(234000) 賀萬(wàn)一

1 問(wèn)題背景

不管是在上一輪課改還是在本輪新教材的使用過(guò)程中,都有一節(jié)內(nèi)容是: 正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象,在本節(jié)之前對(duì)函數(shù)性質(zhì)的研究,都是先得到函數(shù)的圖象,再利用函數(shù)的圖象去研究函數(shù)的性質(zhì). 在數(shù)學(xué)思想層面,屬于數(shù)形結(jié)合. 而從性質(zhì)到圖象,首先是對(duì)函數(shù)解析式的分析,對(duì)函數(shù)定義的特征捕捉,進(jìn)而通過(guò)數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理得到函數(shù)的性質(zhì). 在此基礎(chǔ)上直觀想象函數(shù)的圖象與性質(zhì)(比如奇偶性、周期性、單調(diào)區(qū)間等),要求更高,而且對(duì)必備知識(shí)、思想方法、核心素養(yǎng)的訓(xùn)練更加全面.

現(xiàn)在的?？碱}對(duì)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的考查大多是與指數(shù)和對(duì)數(shù)相結(jié)合,而且積累了大量的“套路”式解法,比如“對(duì)數(shù)單身狗”、同構(gòu),甚至“極值點(diǎn)偏移”到“極值點(diǎn)漂移”系列等等,而學(xué)生的解決辦法往往是套模型,背題根. 對(duì)于素養(yǎng)的落實(shí)效果并不好,往往遇到一些綜合性比較強(qiáng)的問(wèn)題,就感覺(jué)難度極大,無(wú)從下手. 長(zhǎng)時(shí)間下來(lái),學(xué)生不想聽(tīng),老師也就沒(méi)法講,看起來(lái)是放棄一道壓軸題而已,留時(shí)間做其他的題可以得更多的分. 實(shí)際上對(duì)這一道題的“躺平”就意味著對(duì)一連串函數(shù)性質(zhì)研究方法的放棄,損失巨大. 而且學(xué)生之所以對(duì)導(dǎo)數(shù)題望而生畏(排除有些模考題的導(dǎo)數(shù)題設(shè)計(jì)的技巧過(guò)于刁鉆的情況)主要原因是不知道目標(biāo)在哪. 本文以一節(jié)講座形式的專(zhuān)題復(fù)習(xí)課為模板,與同行討論此類(lèi)問(wèn)題的復(fù)習(xí)方略.

2 實(shí)例分析

2.1 重視“有界”個(gè)性;促成分類(lèi)任務(wù)

評(píng)析 明確了任務(wù)之后,我們發(fā)現(xiàn)解決本題共分為三層,其中的第一層和第三層目標(biāo)簡(jiǎn)單,非核心任務(wù),所以考慮使用三角函數(shù)的“個(gè)性”直接觀察. 很快就找到了切入點(diǎn),順利解決. 而第二層為本題的核心任務(wù),綜合考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化與分析能力,即考查學(xué)生對(duì)函數(shù)共性的處理能力. 如果沒(méi)有把任務(wù)明確,分層不清,極有可能考生自己繞進(jìn)去抓不到重點(diǎn),或者畏難而直接放棄.

2.2 重視“誘導(dǎo)”個(gè)性;促成換元任務(wù)

評(píng)析 本題最大的難點(diǎn)就是“看上去很難”,甚至計(jì)算量也不大. 但是在筆者某次講座講解完本題的解答過(guò)程后還有學(xué)生發(fā)出感慨:“這誰(shuí)能想得到”. 如果整體看這一題,確實(shí)不容易. 但是先明確任務(wù),層層剖析,函數(shù)的獨(dú)特性質(zhì)又是在每個(gè)路口自然形成的下一層的分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)或者方向指引. 學(xué)生之所以對(duì)這種自然的分析感覺(jué)很別扭,主要是因?yàn)橹小疤茁贰钡亩咎?無(wú)法從必備知識(shí)的角度提升相應(yīng)的核心素養(yǎng),所以就沒(méi)有形成分析問(wèn)題的關(guān)鍵能力.

2.3 重視“單調(diào)”個(gè)性;促成復(fù)合分析

例3 (節(jié)選自2022 屆宿州市高三質(zhì)檢理科第22 題)已知函數(shù)f(x) =axcosx+2ax-sinx,a ∈R. 若不等式f(x)≥0 對(duì)任意x≥0 恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

2.4 重視“周期”個(gè)性;促成歸納分析

分析1 本題是本文例2 的“母題”,三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)相結(jié)合的函數(shù)與導(dǎo)數(shù)類(lèi)型,難度較大. 從第一問(wèn)開(kāi)始,就需要較為深入的分析. 特別是到了第(3)問(wèn),三角函數(shù)“個(gè)性”十足,除了有一個(gè)隱約的“可能與周期性有關(guān)”的感覺(jué)之外,并沒(méi)有特別明確的解題方向,只能先逐步分析,及時(shí)觀察,找機(jī)會(huì)利用函數(shù)的個(gè)性與共性相結(jié)合進(jìn)行逐層剖析.

3 反思與感悟

教學(xué)生學(xué)會(huì)思考,發(fā)展學(xué)生的認(rèn)知能力,是數(shù)學(xué)教學(xué)的根本目標(biāo). 函數(shù)內(nèi)容為高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主干知識(shí),而且內(nèi)部關(guān)聯(lián)密切,方法多樣. 一直受到高考?jí)狠S題的青睞,是承載考查學(xué)生綜合思維的最好載體之一. 在教學(xué)中,我們要引導(dǎo)學(xué)生會(huì)思考,會(huì)學(xué)習(xí),特別在“雙減”的大背景下,使學(xué)生復(fù)習(xí)更高效,是我們?cè)谡n堂教學(xué)或者高三解題教學(xué)的重要任務(wù). 在處理函數(shù)與導(dǎo)數(shù)題型時(shí),我認(rèn)為要引導(dǎo)學(xué)生做到以下兩點(diǎn).

3.1 確定研究對(duì)象,找到主要任務(wù)

開(kāi)始解題前一定要做解題路徑分析,明確本題的主要任務(wù),只有任務(wù)清晰,才能有方向的推進(jìn). 否則,看起來(lái)好像推進(jìn)了不少,實(shí)際上有可能都是原地踏步,甚至是南轅北轍. 時(shí)間長(zhǎng)了,學(xué)生會(huì)形成一種惰性思維: 不管會(huì)不會(huì),先寫(xiě)一點(diǎn),巧了就做出來(lái)了;做不出來(lái)也能賺一點(diǎn)“同情分”. 于是即使解答出某題也沒(méi)有獲得解題經(jīng)驗(yàn),沒(méi)解答出來(lái)更是心安理得.與數(shù)學(xué)啟發(fā)思維、促人思考完全相悖.

3.2 形成分類(lèi)依據(jù),過(guò)程先易后難

在解答過(guò)程中,會(huì)遇到分類(lèi)討論的問(wèn)題,討論時(shí)一定要先明確分類(lèi)依據(jù). 分類(lèi)依據(jù)是依賴(lài)于我們對(duì)基本初等函數(shù)及其性質(zhì)的掌握. 因題而異,因題而變,只有確定了分類(lèi)依據(jù)才能夠條分縷析,不重不漏. 體現(xiàn)數(shù)學(xué)思維的縝密性與邏輯推理的嚴(yán)謹(jǐn)性.

3.3 注重總結(jié)共性,引導(dǎo)關(guān)注個(gè)性

高中階段介紹的基本初等函數(shù)往往研究的都比較細(xì)致,會(huì)把它們的性質(zhì)總結(jié)出來(lái). 教師在新課教學(xué)時(shí)不能簡(jiǎn)單的把結(jié)論告訴學(xué)生,會(huì)讓學(xué)生產(chǎn)生“千篇一律”之感. 總結(jié)時(shí)除了必然要研究的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性等,還要在探究函數(shù)的全過(guò)程中引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)函數(shù)的個(gè)性. 比如過(guò)定點(diǎn)、有界性等. 有時(shí)候就是某一個(gè)問(wèn)題解決的關(guān)鍵性“顯然”.