安徽省宿城第一中學(234000) 賀萬一

1 問題背景

不管是在上一輪課改還是在本輪新教材的使用過程中,都有一節(jié)內(nèi)容是: 正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象,在本節(jié)之前對函數(shù)性質(zhì)的研究,都是先得到函數(shù)的圖象,再利用函數(shù)的圖象去研究函數(shù)的性質(zhì). 在數(shù)學思想層面,屬于數(shù)形結合. 而從性質(zhì)到圖象,首先是對函數(shù)解析式的分析,對函數(shù)定義的特征捕捉,進而通過數(shù)學運算和邏輯推理得到函數(shù)的性質(zhì). 在此基礎上直觀想象函數(shù)的圖象與性質(zhì)(比如奇偶性、周期性、單調(diào)區(qū)間等),要求更高,而且對必備知識、思想方法、核心素養(yǎng)的訓練更加全面.

現(xiàn)在的模考題對函數(shù)與導數(shù)的考查大多是與指數(shù)和對數(shù)相結合,而且積累了大量的“套路”式解法,比如“對數(shù)單身狗”、同構,甚至“極值點偏移”到“極值點漂移”系列等等,而學生的解決辦法往往是套模型,背題根. 對于素養(yǎng)的落實效果并不好,往往遇到一些綜合性比較強的問題,就感覺難度極大,無從下手. 長時間下來,學生不想聽,老師也就沒法講,看起來是放棄一道壓軸題而已,留時間做其他的題可以得更多的分. 實際上對這一道題的“躺平”就意味著對一連串函數(shù)性質(zhì)研究方法的放棄,損失巨大. 而且學生之所以對導數(shù)題望而生畏(排除有些模考題的導數(shù)題設計的技巧過于刁鉆的情況)主要原因是不知道目標在哪. 本文以一節(jié)講座形式的專題復習課為模板,與同行討論此類問題的復習方略.

2 實例分析

2.1 重視“有界”個性;促成分類任務

評析 明確了任務之后,我們發(fā)現(xiàn)解決本題共分為三層,其中的第一層和第三層目標簡單,非核心任務,所以考慮使用三角函數(shù)的“個性”直接觀察. 很快就找到了切入點,順利解決. 而第二層為本題的核心任務,綜合考查學生的轉(zhuǎn)化與分析能力,即考查學生對函數(shù)共性的處理能力. 如果沒有把任務明確,分層不清,極有可能考生自己繞進去抓不到重點,或者畏難而直接放棄.

2.2 重視“誘導”個性;促成換元任務

評析 本題最大的難點就是“看上去很難”,甚至計算量也不大. 但是在筆者某次講座講解完本題的解答過程后還有學生發(fā)出感慨:“這誰能想得到”. 如果整體看這一題,確實不容易. 但是先明確任務,層層剖析,函數(shù)的獨特性質(zhì)又是在每個路口自然形成的下一層的分類標準或者方向指引. 學生之所以對這種自然的分析感覺很別扭,主要是因為中“套路”的毒太深,無法從必備知識的角度提升相應的核心素養(yǎng),所以就沒有形成分析問題的關鍵能力.

2.3 重視“單調(diào)”個性;促成復合分析

例3 (節(jié)選自2022 屆宿州市高三質(zhì)檢理科第22 題)已知函數(shù)f(x) =axcosx+2ax-sinx,a ∈R. 若不等式f(x)≥0 對任意x≥0 恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

2.4 重視“周期”個性;促成歸納分析

分析1 本題是本文例2 的“母題”,三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)相結合的函數(shù)與導數(shù)類型,難度較大. 從第一問開始,就需要較為深入的分析. 特別是到了第(3)問,三角函數(shù)“個性”十足,除了有一個隱約的“可能與周期性有關”的感覺之外,并沒有特別明確的解題方向,只能先逐步分析,及時觀察,找機會利用函數(shù)的個性與共性相結合進行逐層剖析.

3 反思與感悟

教學生學會思考,發(fā)展學生的認知能力,是數(shù)學教學的根本目標. 函數(shù)內(nèi)容為高中數(shù)學學習的主干知識,而且內(nèi)部關聯(lián)密切,方法多樣. 一直受到高考壓軸題的青睞,是承載考查學生綜合思維的最好載體之一. 在教學中,我們要引導學生會思考,會學習,特別在“雙減”的大背景下,使學生復習更高效,是我們在課堂教學或者高三解題教學的重要任務. 在處理函數(shù)與導數(shù)題型時,我認為要引導學生做到以下兩點.

3.1 確定研究對象,找到主要任務

開始解題前一定要做解題路徑分析,明確本題的主要任務,只有任務清晰,才能有方向的推進. 否則,看起來好像推進了不少,實際上有可能都是原地踏步,甚至是南轅北轍. 時間長了,學生會形成一種惰性思維: 不管會不會,先寫一點,巧了就做出來了;做不出來也能賺一點“同情分”. 于是即使解答出某題也沒有獲得解題經(jīng)驗,沒解答出來更是心安理得.與數(shù)學啟發(fā)思維、促人思考完全相悖.

3.2 形成分類依據(jù),過程先易后難

在解答過程中,會遇到分類討論的問題,討論時一定要先明確分類依據(jù). 分類依據(jù)是依賴于我們對基本初等函數(shù)及其性質(zhì)的掌握. 因題而異,因題而變,只有確定了分類依據(jù)才能夠條分縷析,不重不漏. 體現(xiàn)數(shù)學思維的縝密性與邏輯推理的嚴謹性.

3.3 注重總結共性,引導關注個性

高中階段介紹的基本初等函數(shù)往往研究的都比較細致,會把它們的性質(zhì)總結出來. 教師在新課教學時不能簡單的把結論告訴學生,會讓學生產(chǎn)生“千篇一律”之感. 總結時除了必然要研究的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性等,還要在探究函數(shù)的全過程中引導學生發(fā)現(xiàn)函數(shù)的個性. 比如過定點、有界性等. 有時候就是某一個問題解決的關鍵性“顯然”.