福建省漳州龍海第一中學(xué)新校區(qū)(363100) 蘇藝偉

極值點(diǎn)偏移問題是導(dǎo)數(shù)壓軸試題中較為熱點(diǎn)的問題,經(jīng)常出現(xiàn)在各類高三綜合卷當(dāng)中,高考對(duì)此類試題也有所有考查,如2016 年全國(guó)I 卷,2021 年全國(guó)卷. 此類試題既能夠較好地考查學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握程度,又能檢測(cè)出考生是否具備較好的數(shù)學(xué)運(yùn)算及推理論證能力.

一. 極值點(diǎn)偏移問題的基本題型

二. 極值點(diǎn)偏移問題的基本求解策略

以x1+x2＞2x0為例. 要證x1+x2＞2x0等價(jià)于證x1＞2x0-x2(或者x2＞2x0-x1),結(jié)合f(x)的單調(diào)性,構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(x)-f(2x0-x)解決問題,要特別注意變量的取值范圍. 顯然,極值點(diǎn)偏移問題實(shí)際上是函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用,是函數(shù)思想的體現(xiàn).

三. 極值點(diǎn)偏移問題的常見變式

不少極值點(diǎn)偏移問題為了增加試題的難度,進(jìn)行了較好的“偽裝”. 條件不會(huì)直接給出等式f(x1) =f(x2),待證結(jié)論也不是x1+x2＞(或者＜)2x0. 條件是含x1,x2的某個(gè)等式,待證的是含x1,x2的某一個(gè)不等式. 求解策略仍然是由題目條件得到f(x1)=f(x2),先證明x1+x2＞(或者＜)2x0,再結(jié)合不等式的性質(zhì)證明出該不等式.

四. 教學(xué)反思

不難看出,此類極值點(diǎn)偏移問題的本質(zhì)是函數(shù)問題,解決的基本方法是構(gòu)造函數(shù)g(x) =f(x)-f(2x0-x),體現(xiàn)了函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用. 從這個(gè)意義上來講,我們可以更加深刻地體會(huì)到函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系. 事實(shí)上,解決此類極值點(diǎn)偏移問題,還有很多方法,比如對(duì)數(shù)平均不等式法,比值換元法等等,但是都帶有一定的技巧性,更不能體現(xiàn)出試題的函數(shù)本質(zhì). 然而,在現(xiàn)實(shí)教學(xué)中,很多學(xué)生甚至教師卻一味地追求解題的快,新,忽略了最本質(zhì),最基本的方法,這不能不引起我們足夠的反思與重視.

因此在教學(xué)過程中, 教師務(wù)必講清楚知識(shí)的來龍去脈,前后聯(lián)系,從而讓學(xué)生形成完善的認(rèn)知結(jié)構(gòu),構(gòu)建起完整的知識(shí)關(guān)聯(lián)體系. 反之,如果教師一味地追求解題技巧,當(dāng)學(xué)生碰到類似的題目時(shí),就無法解決問題. 比如對(duì)于以下試題,雖然不屬于極值點(diǎn)偏移問題,但是所用方法與解決極值點(diǎn)偏移類似. 如果學(xué)生能夠掌握好了解決極值點(diǎn)偏移問題的本質(zhì)解法,就可以獨(dú)立完成解答.

例4 已知函數(shù)f(x)=lnx-ax.

(1)若f(x)存在極值,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

(2)若a= 1,且f(x1) =f(x2),其中0＜x1＜x2,求證:x1+x2+x1x2＞3.