福建省漳州龍海第一中學新校區(qū)(363100) 蘇藝偉

極值點偏移問題是導數壓軸試題中較為熱點的問題,經常出現在各類高三綜合卷當中,高考對此類試題也有所有考查,如2016 年全國I 卷,2021 年全國卷. 此類試題既能夠較好地考查學生對基礎知識的掌握程度,又能檢測出考生是否具備較好的數學運算及推理論證能力.

一. 極值點偏移問題的基本題型

二. 極值點偏移問題的基本求解策略

以x1+x2＞2x0為例. 要證x1+x2＞2x0等價于證x1＞2x0-x2(或者x2＞2x0-x1),結合f(x)的單調性,構造函數g(x)=f(x)-f(2x0-x)解決問題,要特別注意變量的取值范圍. 顯然,極值點偏移問題實際上是函數單調性的應用,是函數思想的體現.

三. 極值點偏移問題的常見變式

不少極值點偏移問題為了增加試題的難度,進行了較好的“偽裝”. 條件不會直接給出等式f(x1) =f(x2),待證結論也不是x1+x2＞(或者＜)2x0. 條件是含x1,x2的某個等式,待證的是含x1,x2的某一個不等式. 求解策略仍然是由題目條件得到f(x1)=f(x2),先證明x1+x2＞(或者＜)2x0,再結合不等式的性質證明出該不等式.

四. 教學反思

不難看出,此類極值點偏移問題的本質是函數問題,解決的基本方法是構造函數g(x) =f(x)-f(2x0-x),體現了函數單調性的應用. 從這個意義上來講,我們可以更加深刻地體會到函數與導數的內在聯系. 事實上,解決此類極值點偏移問題,還有很多方法,比如對數平均不等式法,比值換元法等等,但是都帶有一定的技巧性,更不能體現出試題的函數本質. 然而,在現實教學中,很多學生甚至教師卻一味地追求解題的快,新,忽略了最本質,最基本的方法,這不能不引起我們足夠的反思與重視.

因此在教學過程中, 教師務必講清楚知識的來龍去脈,前后聯系,從而讓學生形成完善的認知結構,構建起完整的知識關聯體系. 反之,如果教師一味地追求解題技巧,當學生碰到類似的題目時,就無法解決問題. 比如對于以下試題,雖然不屬于極值點偏移問題,但是所用方法與解決極值點偏移類似. 如果學生能夠掌握好了解決極值點偏移問題的本質解法,就可以獨立完成解答.

例4 已知函數f(x)=lnx-ax.

(1)若f(x)存在極值,求實數a的取值范圍.

(2)若a= 1,且f(x1) =f(x2),其中0＜x1＜x2,求證:x1+x2+x1x2＞3.