安徽省合肥市第四十八中學 何 平 （郵編：230002）

安徽省蚌埠市龍子湖實驗學校 陳 宇 （郵編：233060）

1 試題及其解答

已知AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，D為BA的延長線上一點，連接CD.

（1）如圖1，若CO⊥AB，∠D=30°，OA=1，求AD的長；

（2）如圖2，若DC與⊙O相切，E為OA上一點，且∠ACD=∠ACE，求證：CE⊥AB.

圖1

圖2

解答（1）（方法一）依題意，∠COD=90°，∠D=30°，所以CD=2OC=2，從而

（方法二）依題意，∠COA=90°，∠D=30°，

因此AD=OD-OA=

（2）（方法一）因為CD是⊙O的切線，所以∠DCO=90°，由已知,∠ACO=∠OAC,∠ACD=∠ACE，所以∠ACE+∠OAC=∠ACD+∠ACO=90°，故∠AEC=90°，即CE⊥AB.

（方法二）如圖3，連接BC，因為CD是⊙O的切線，所以∠DCO=90°，由已知得∠ACB=90°，

所以∠ACD+∠OCA=90°=∠OCB+∠OCA=∠B+∠OCA，所以∠OBC=∠ACD=∠ACE，從而，∠B+∠BCE=∠ACE+∠BCE=90°，

故∠AEC=90°，即CE⊥AB.

圖3

圖4

（方法三）如圖4，延長CE交⊙O于點F，連接AF.

因為∠ACD=∠ACE，所以CA=AF,且從而∠EAC=∠EAF，又AE是公共邊，故△EAC≌△EAF，從而EC=EF，因此CE⊥AB.

2 背景及相關性質研究

2.1 關于圓O

在本題圖2 中，CA、CB是△CDE的∠DCE的內角平分線和外角平分線，因此易知∠ACB=90°，因此點C的軌跡是以AB為直徑的圓.

事實上，由角平分線的性質可知：

⊙O上任意點P均滿足：

歷史上，稱上面的圓為阿波羅尼斯圓：平面內到兩定點的距離之比為不等于1 的常數(shù)的點的軌跡是圓.

2.2 關于點D、A、E、B

首先給出調和點列的概念：設兩點C、D內分與外分同一線段AB成同一比例，即則稱點C和D調和分割線段AB，或稱點C和點D關于線段AB的調和共軛點，亦稱點列A、B、C、D為調和點列.可知本題圖2中D、A、E、B是一組調和點列.

若從直線AB外一點P引射線PA、PB、PC、PD，則稱PA、PB、PC、PD為調和線束.

調和點列聯(lián)系了眾多的圖形，因而它有一系列有趣的性質：

性質1對線段AB的內分點C和外分點D，以及直線AB外一點P，給出以下四個論斷：

（1）PC是∠APB的平分線；

（2）PD是∠APB的外角平分線；

（3）C、D調和分割線段AB；

（4）PC⊥PD.

以上四個論斷中，任選兩個作為條件，剩余兩個作為結論的六個命題均為真命題.

因此，調和點列與阿波羅尼斯圓關系緊密.

性質2設A、C、B、D是共線四點，點M是線段AB的中點，則C、D調和分割線段AB的充要條件是滿足下述六個條件之一：

圖5

圖6

（1）點A、B調和分割CD；

（3）AB·CD=2AD·BC=2AC·DB；

（4）CA·CB=CM·CD；

（5）DA·DB=DM·DC；

（6）MA2=MB2=MC·MD.

2.3 關于圖4

圖4 中，連接BF，則四邊形BCAF滿足：AC·BF=AF·BD.

在平面幾何中，我們把對邊乘積相等的圓內接四邊形稱為調和四邊形.

因此，圖4 中，四邊形BCAF是調和四邊形.

一般化地，如圖7，PA、PC是圓的切線，A、C是切點，過點P的割線與圓相交于點B、D，則：

（1）四邊形ABCD是調和四邊形；

（2）點B、D調和分割線段PQ.

其實，調和四邊形具有非常多的性質，其中本題圖4 和圖7 是下面命題的特例：

命題圓內接四邊形為調和四邊形的充要條件是對頂點處的兩條切線與另一對頂點的對角線所在的直線平行或三線共點.

圖7

3 關于幾何教學的思考

總之，本題圖形簡明，背景、內涵豐富，是一道不可多得的優(yōu)秀幾何試題.作為“雙減”政策下的第一份中考試卷，試題傳達了命題組對今后初中幾何教學的思考和認識：夯實基礎，重視經(jīng)典，運用簡單圖形加強邏輯推理的教學和評價，在基礎中實現(xiàn)發(fā)展性，在發(fā)展中落地核心素養(yǎng)，實現(xiàn)關鍵能力的構建.

因此，教學中如何選擇經(jīng)典素材組織教學，將數(shù)學核心素養(yǎng)真正落實，全面提升教學效率，達到教學效果的最大化，是一線教師應該思考的方向.