江西省九江市第三中學(xué) 盧恩良 （郵編：332000）

文[1]中楊老師通過(guò)例題和應(yīng)用舉例詳細(xì)解釋了端點(diǎn)效應(yīng)、解法原理、適用類(lèi)型和解題步驟.經(jīng)仔細(xì)研究，發(fā)現(xiàn)文[1]利用必要條件縮小范圍時(shí)，表述有錯(cuò)誤，應(yīng)修改為：

①若f(x,m)≥0（m為參數(shù)）在[a,b]（a、b為常數(shù)）上恒成立，且f(a)=0（或f(b)=0），則f′(a)≥0（或f′(b)≤0）.

②若f(x,m)≥0（m為參數(shù)）在[a,b]（a,b為常數(shù)）上恒成立，且則f′′(a)≥0（或f′(b)≤0）.

按照文[1]對(duì)第二類(lèi)情況的表述，求得的參數(shù)范圍應(yīng)為充分條件，而非必要條件.無(wú)論求得范圍是必要條件還是充分條件，都應(yīng)當(dāng)對(duì)其充分必要性作進(jìn)一步的證明.

近期，筆者所在地市進(jìn)行的一次高考模擬考中就遇到了利用“端點(diǎn)效應(yīng)”求解錯(cuò)誤的情況，本文嘗試從模擬試題出發(fā)，探究“端點(diǎn)效應(yīng)”為何失效.

1 試題呈現(xiàn)

（2022年九江市第三次高考模擬考試?yán)頂?shù)21題）已知函數(shù)f(x)=sinx-x+ax2(a∈R)，

(Ⅰ)當(dāng)a=0 時(shí)，試比較f(x)與0 的大??；

(Ⅱ)若f(x)≥0 恒成立，求a的取值范圍.

分析(Ⅰ)容易得到當(dāng)x<0 時(shí)，x0 時(shí)，x>sinx；當(dāng)x=0 時(shí)，x=sinx.

(Ⅱ)結(jié) 合(Ⅰ)知，當(dāng)a<0 時(shí)，對(duì)于x>0，有sinx-x<0，ax2<0，所以f(x)<0，不符合題意，即a≥0.當(dāng)a≥0 時(shí)，對(duì)于x<0，有sinxx>0，ax2≥0，所以f(x)>0成立，原問(wèn)題 轉(zhuǎn)化為“已知a≥0，若f(x)≥0對(duì)x≥0恒成立，求a的取值范圍”.

2 解答探究

2.1 錯(cuò)解展示

學(xué)生錯(cuò)解1容易得f(0)=0，f′(x)=cosx-1+2ax，f′(0)=0，問(wèn)題屬于文[1]中的第二類(lèi)，求得f′(x)=-sinx+2a.結(jié)合端點(diǎn)效應(yīng)，當(dāng)f′′(x)=-sinx+2a≥0 恒成立時(shí)，即

學(xué)生錯(cuò)解2容易得f(0)=0，f′(x)=cosx-1+2ax，f′(0)=0，問(wèn)題屬于 文[1]中的第二 類(lèi)，求得f′′(x)=-sinx+2a.結(jié)合端 點(diǎn)效應(yīng)，必有f′′(0)=2a≥0，即a≥0.

2.2 錯(cuò)解分析

錯(cuò)解1 的思路是破題的一種方法.根據(jù)端點(diǎn)f(0)=0且f′(0)=0 的特點(diǎn)，學(xué)生考慮f′(x)在[0,+∞)上單增時(shí)的一種“理想狀態(tài)”，即f′′(x)≥0 恒成立 時(shí)，有f′(x)≥0 成立，即f(x)也是單增的，所以f(x)≥0，這必定是符合題意.因此是問(wèn)題成立的充分條件，而非必要條件.對(duì)于此時(shí)的充分條件，如何證明其必要性呢？如果順著學(xué)生思路走下去，接下來(lái)應(yīng)考慮，當(dāng)時(shí)，f(x)≥0 不恒成立，即總能找到一個(gè)x0，使f(x0)<0.結(jié)合正確答案來(lái)看，這顯然是行不通的.因此，正確的做法是在時(shí)，繼續(xù)尋找符合題意的a，但這個(gè)思維難度就不小了.

錯(cuò)解2的思路是完全按照文[1]中關(guān)于“端點(diǎn)效應(yīng)”的第二類(lèi)情況處理的，所以f′′(0)≥0，即2a≥0，a≥0.此時(shí)，求得的范圍是問(wèn)題的必要條件，如何證明其充分性呢？如果順著學(xué)生思路走下去，接下來(lái)應(yīng)考慮，當(dāng)a≥0時(shí)，f(x)≥0恒成立.

以上兩種思路都是處理該類(lèi)不等式恒成立問(wèn)題的常規(guī)解題思路，只是針對(duì)本題失效了而已.那么端點(diǎn)效應(yīng)解題為何會(huì)失效呢？關(guān)鍵還在于端點(diǎn)效應(yīng)解題本身有一種“湊巧”的成分在里面，此時(shí)不湊巧了而已！因此，利用端點(diǎn)效應(yīng)解題要注意解題過(guò)程的邏輯性和嚴(yán)謹(jǐn)性.

2.3 參考解答及探究

下面給出參考解答中的方法：

所以當(dāng)x∈(0,x1),(x2,π) 時(shí)，q(x)>0；當(dāng)x∈(x1,x2)時(shí)，q(x)<0,所以p(x)在(0,x1),(x2,π)上單調(diào)遞增，在(x1,x2)上單調(diào)遞減.

所以g(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，而g(0)=g(π)=0，所以當(dāng)x∈(0,π)時(shí)，g(x)>0.

③當(dāng)x∈[π,+∞)時(shí)，p(x)≥cosx-1+2 ≥0，所以g(x)在[π,+∞)上單調(diào)遞增，

所以g(x)≥g(π)=0.

綜上所述，a的取值范圍是

上述參考解答中，命題者直接給出了問(wèn)題成立的一個(gè)必要條件“f(π)≥0 ”，從而算得接下來(lái)證明其充分性.“f(π)≥0”的給出過(guò)于突兀，無(wú)中生有，讓讀者摸不著頭腦.為何不用其他的，如，f(1)≥0 等來(lái)求解必要條件呢？參考答案的給出著實(shí)讓人捉摸不透.

經(jīng)過(guò)探究，將f(x)≥0 變形得ax2≥xsinx，作y=ax2與y=x-sinx圖象可以發(fā)現(xiàn)一些端倪.如下圖所示，無(wú)論a為何值，二者都經(jīng)過(guò)原點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，二者圖象在x=π 處“相切”，有除原點(diǎn)外的唯一公共點(diǎn)，符合題意；當(dāng)a越大時(shí)，二次函數(shù)向上開(kāi)口越小，越符合題意.因此，答案為這估計(jì)就是命題者命制該題的背景了吧！

也可將f(x)≥0 變形，得發(fā)現(xiàn)函數(shù)在x=π 處的切線恰好為在x=π 處的切線恰好過(guò)點(diǎn)(0,-1)，易得符合題意，如下圖.

3 鏈接高考

類(lèi)似證明“f(x)≥0在x∈[a,b]恒成立”的問(wèn)題，如果有端點(diǎn)值的特征符合“端點(diǎn)效應(yīng)”，但利用“端點(diǎn)效應(yīng)”解題時(shí)并不奏效.我們可以嘗試在[a,b]中找一個(gè)x0，根據(jù)f(x0)≥0 解出參數(shù)范圍，求得問(wèn)題的一個(gè)必要條件，再證明其充分性.此處的難點(diǎn)在于，如何尋找那個(gè)猶如天降的x0，使得所求范圍恰好是充要條件.下面來(lái)研究一道高考題.

（2020年全國(guó)Ⅰ卷理數(shù)21題）已知函數(shù)f(x)=ex+ax2-x，

(Ⅰ)當(dāng)a=1 時(shí)，討論f(x)的單調(diào)性；

(Ⅱ)x≥0時(shí)，求a的取值范圍.

為了尋找到一個(gè)問(wèn)題的充要條件，我們不斷地在[0,+∞) 中尋找一個(gè)x0，使必要條件h(x0)≥0 恰好符合題意，成為問(wèn)題的充要條件，但這無(wú)疑大海撈針.但經(jīng)過(guò)我們的不懈尋找，終于找到了一個(gè)合適的x0=2.由題意必有h(2)≥0 成立，即e2+4a-7 ≥0，解得.所求參數(shù)范圍為問(wèn)題成立的必要條件，接下來(lái)，證明其充分性即可，過(guò)程略.

4 小結(jié)

端點(diǎn)效應(yīng)解題可以很好地降低思維難度，在處理一類(lèi)不等式恒成立問(wèn)題時(shí)有奇效.但利用端點(diǎn)效應(yīng)求得的范圍只是問(wèn)題成立的必要條件或充分條件，無(wú)法判斷其是否為充要條件.因此，盲目地套用端點(diǎn)效應(yīng)解題有時(shí)候會(huì)求解錯(cuò)誤，教師在解題教學(xué)時(shí)要注意其邏輯性和嚴(yán)謹(jǐn)性，不僅要讓學(xué)生知其然，還要知其所以然.