湖南省長沙市雷鋒學校 童繼稀 （郵編：410217）

湖北省恩施州教育科學研究院 周 威 （郵編：445000）

2019年人教版高中數(shù)學教材主編章建躍曾多次指出，教材修訂后的“過程性”體現(xiàn)在教材編寫的“明線”（即“事實—概念—性質(zhì)—結構—應用”）過程中，因此新教材的教學要在“理解新教材”與“理解新教材變化”基礎上，體現(xiàn)數(shù)學知識的發(fā)生發(fā)展過程與學生思維的發(fā)展變化過程，即“兩個過程”［1］.實際上，課堂教學如何幫助學生在用概念、性質(zhì)解決問題的過程中加深對知識的理解，形成功能良好的數(shù)學認知結構，卻是一個課堂教學中沒有引起高度重視的問題！這個問題的破解，就是要求教師在通過例題、習題和拓展性材料等課堂教學時，要注重以數(shù)學知識的發(fā)生發(fā)展過程為載體，以恰時恰點的問題引導凸顯學生思維過程為契機，基于“兩個過程”培養(yǎng)學生數(shù)學思維、發(fā)展數(shù)學能力.本文以人教版高中數(shù)學選擇性必修一第1.4 節(jié)中的兩個教學片斷為例，分析如何通過例題、公式推導幫助學生實現(xiàn)對知識的理解，形成認知結構.

1 例題教學中的“兩個過程”的體現(xiàn)

教材中的例題蘊含著豐富的數(shù)學知識與數(shù)學方法，為發(fā)展學生數(shù)學思維、提升解決問題能力提供重要素材.因此，我們在教學中對典型例題深入挖掘其內(nèi)在聯(lián)系，研究其解決思路與方法并歸納總結等，有助于我們更好地分析和解決新問題.

例1（第1.4節(jié)第32頁例4）如圖1，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=AA1=1，∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°，求證：直線A1C⊥平面BDD1B1.

圖1

師：我們熟悉用向量來表示空間中的點、直線和平面，并已探究直線與直線、直線與平面以及平面與平面的平行與垂直時，直線的方向向量與平面的法向量的關系.現(xiàn)在，我們思考如何運用這些知識解決該線面證明問題？

師：平面BDD1B1中的任意向量如何表示？它與向量的垂直關系又如何來體現(xiàn)？

生1：在平面BDD1B1中，以為基向量，對平面中的任意一點P，存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(λ,μ)，使得，而向量便為平面中的任意向量.它與向量的垂直關系可通過運算來證明，但運算前需將這些向量全部用基向量表示，題中條件已暗示為一組基底.

師：思路清晰明了，（板演，詳細過程參考教材）.生1 的方法也是教材中的證明方法，以純向量的運算證明了直線與平面的垂直關系，我們可以體驗到向量的作用是通過運算來體現(xiàn)的.大家有什么不同看法嗎？

生2：線面垂直可以通過證明直線與平面中的兩條相交直線垂直來證明，直接證明向量垂直便可，而生1所說過程中的任 意向量的選取與后續(xù)向量運算過程便為多余.

師：你們認可他說的“多余”這觀點嗎？

師：非常好，生2 聯(lián)系到必修第二冊中所學的線面垂直判定定理來證明，即綜合法.而生3 給出了這兩種思路的過程處理關系.

生4：前面我們用直線的方向向量與平面的法向量探究了線面垂直的等價條件（設直線l的方向向量為u，平面α的法向量為n，則l⊥α?u∥n??λ∈R，使得u=λn），為什么不直接證明直線的方向向量與平面的法向量n平行呢？

師：生4 的疑惑很有見地，應該也是大家感到不可思議的地方.而且前面我們學習過可以通過觀察或建立空間坐標系求得一個平面的法向量，為什么教材沒采用這種證明方法嗎？

生6：“坐標法”是“基底法”的一種特殊情況，能用“坐標法”求法向量，自然“基底法”也能求，而且更具一般性.

師：生5 與生6 的思考已入木三分，大家討論交流如何用“基底法”求平面BDD1B1的法向量.

學生作品展示設n=xa+yb+zc為平面BDD1B1的法向量，則，即

師：大家剛才用“基底法”探求平面BDD1B1的法向量，給出了非“坐標法”下，找法向量的一種新方法，而且在后續(xù)內(nèi)容中也可使用.不難發(fā)現(xiàn)，該探求過程相對比較復雜，故教材沒使用此方法.因此，同樣的問題可用不同的方法求解，但方法越一般，適用范圍越大，往往計算量也會加大.若能理清各種方法之間的關系，大家便能找到最適合自己的方法，使得問題迎刃而解.

點評 學生的互動展示了解決立體幾何問題的綜合法、向量法與坐標法的各自特點，綜合法通過純粹的邏輯推理解決問題，向量法利用向量的概念及其運算解決問題，而坐標法利用數(shù)及其運算來解決問題，但該例題中的幾何體因難以建系，沒有展現(xiàn)坐標法的特點.生1 的解法（即教材解法）利用了由一個定點與一個定方向確定一個平面的結論，即：過點A，以向量a為法向量的平面可表示為集合，整個過程都體現(xiàn)著空間向量刻畫直線與平面的位置關系的強大功能.生4 的思路，不但應用了前面的等價結論，體現(xiàn)知識編排的連續(xù)性，而且提供了“基底法”如何求平面法向量，該過程類似于“坐標法”，但又高于“坐標法”，更具一般性，在后續(xù)內(nèi)容中也可常使用，正因為探求過程的復雜，整個教材并沒有以此法來示范.

2 公式教學中的“兩個過程”的體現(xiàn)

很多數(shù)學知識通過數(shù)學公式來呈現(xiàn)，而思想方法往往蘊含在公式的推理過程中.在教學中，對公式的嚴謹推演，可以讓學生領會知識的生成過程，感悟問題的解決方法，體驗結論的獲取成就感，為落實學生邏輯推理素養(yǎng)有重要的意義.

以下教學過程為用向量方法求直線l外一點P到直線l的距離公式.

師：如圖2，已知直線l的單位方向向量為u、A是直線l上的定點，P是直線l外一點.如何利用這些條件求點P到直線l的距離？

圖2

師：生1 推理思路清晰，且很嚴謹，直線l的為什么要取單位方向向量u，一般的方向向量行嗎？

生2：可以（推導2）.在直線l上取兩點作向量b，可得，再根據(jù)勾股定理得

師：非常好，哪位同學能概括這兩個推導的區(qū)別與聯(lián)系嗎？

生3：在找直線方向向量的實際操作中，一般是在直線上取兩個點作向量b，再除以該向量的模，即便為直線l的單位方向向量.而生2 繞開取單位方向向量u，得到的距離公式相對復雜一點，但也是異曲同工.生1 推出的公式簡潔，生2 的公式比較符合我們的解題習慣.

師：生3 概括很到位，大家在剛才的公式推理過程中，有什么感受？

生4：我覺得這公式推理生澀難懂，也擔心公式記不住，我們可以通過解三角形來求得距離.推導過程如下（推導3）：設θ為斜線AP與直線l的夾角，在直線l上取兩點作向量b，則cosθ=由同角三角函數(shù)關系與cosθ的值，求出sinθ，再由，求得點P到直線l的距離.

師：生4 給我們不愿意記公式的同學提供了另一種求解思路，其中為我們后面將學習的兩直線的夾角公式.

生5：是不是距離問題可以看成夾角問題的進一步應用？

師：可以這么理解，之前教材也是這樣處理的.

生5：那為什么我們要用空間向量先研究距離問題，而不是夾角問題？

師：這問題提得好，大家思考距離和我們之前學的哪個位置關系有著本質(zhì)的關系？

生6：垂直，點到直線的距離其實就是過這點作這直線的垂線段的長度.

師：非常到位，垂直反映了距離的本質(zhì)，也意味著垂線段長度最短，借助勾股定理可以直觀準確地揭示這個本質(zhì).這也許就是編者將距離問題放在研究直線、平面的垂直關系后面的原因.

點評學生在公式推理過程中的疑惑，通過激烈討論與思維碰撞得到完美的解決.教材借助投影向量推導出距離公式，反應了數(shù)學邏輯推理的嚴謹性，體現(xiàn)了用向量研究直線、平面的位置與度量關系的系統(tǒng)性.教材用純粹的向量推理，得出一系列的度量公式在本章節(jié)中更能體現(xiàn)向量的工具性.通過利用向量推導距離公式，學生在演繹與交流中不斷的發(fā)現(xiàn)、提出、分析并解決問題，從而使學生有邏輯地思考問題，能夠在比較復雜的情境中把握各知識之間的關聯(lián)，并形成重論據(jù)、有條理、合乎邏輯的思維品質(zhì)和理性精神.

3 結語

新教材明確凸顯了數(shù)學對象的研究套路“事實—概念—性質(zhì)結構—應用”，在遵循這個“套路”進行教學的過程中，如何通過例題、習題和拓展性材料的分析與教學讓學生能形成“數(shù)學結構”，這是在教學設計上值得探討和交流的議題！也是從知識的發(fā)生發(fā)展的角度如何提出問題，引導學生開展觀察、分析、歸納、概括等思維活動方面值得總結的方式方法.