北京市第八十中學(xué) (100102) 孫世林 李 丁

解析幾何的知識本質(zhì)是用代數(shù)的方法研究幾何問題，所以代數(shù)運算是解決解析幾何問題無法回避的重要環(huán)節(jié)，在這個環(huán)節(jié)中根與系數(shù)的關(guān)系經(jīng)常使用，但有時會出現(xiàn)x1+x2與x1·x2“結(jié)構(gòu)不對稱”情形，使得無法直接應(yīng)用根與系數(shù)關(guān)系進行求解，本文以一道模擬試題為例談?wù)勥@種問題的解題思路與策略.

一、試題再現(xiàn)

(Ⅰ)求橢圓C的方程和離心率；

(Ⅱ)過點P(4,0)且與x軸不重合的直線l與橢圓C交于A，B兩點，與直線x=1交于點Q，點M滿足MP⊥x軸，MB∥x軸，試求直線MA的斜率與直線MQ的斜率的比值．

二、解法探究

1.重知識本質(zhì)形成解題思路

解析幾何較平面幾何最大的優(yōu)勢是將運動變化用坐標來表示，實現(xiàn)用代數(shù)方法研究幾何問題，用代數(shù)方法探究運動變化的幾何圖形中某些不變的性質(zhì)和規(guī)律.本題是過點P作直線l，隨著直線l運動變化，探究隨之運動變化的兩條直線MA和直線MQ的斜率的比值是定值，依據(jù)解析幾何的知識本質(zhì)，我們從直線l入手，設(shè)直線l的方程為y=k(x-4)(k≠0)，將直線MA和直線MQ的斜率用直線l的斜率k來表示，通過代數(shù)運算得出其斜率的比值為定值.

2.探代數(shù)式結(jié)構(gòu)確定解題策略

對于解析幾何問題即使解題思路清晰但也未必能順利解決問題，其中代數(shù)運算就是攔路虎之一，如本題解題思路清晰，但對兩直線的斜率之比的代入、變形、化簡是解決問題的關(guān)鍵，解法一中結(jié)合代數(shù)式的結(jié)構(gòu)我們采取減少變量的方式，將比值化為含有k和x1的形式，在觀察比值的結(jié)構(gòu)特征從而求解，可見在解決解析幾何問題中，探究代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，實現(xiàn)代數(shù)運算的關(guān)鍵，如何探究代數(shù)式的結(jié)構(gòu)？我們看下面的解法.

3.揭本溯源探究解法的合理性

4.多角度探究豐富本題的解法

本題是過點P(4,0)作與x軸不重合的直線l與橢圓C交于A，B兩點，求直線MA的斜率與直線MQ的斜率的比值，在解法1解法2都采取從直線方程的點斜式入手，我們也可以采取從直線l方程的橫截距式入手，可以使解題過程更簡潔.

點評：解法3采取了減少變量的方法，借助根與系數(shù)的關(guān)系將比值用m和y1表示，解法4通過探究y1y2與y1+y2的數(shù)量關(guān)系，將2my1y2=-3(y1+y2)代入分式實現(xiàn)分子分母結(jié)構(gòu)相同，從而約分得解.

三、反思

《普通高中數(shù)學(xué)課程標準(2017年版)》明確指出：要注重培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).要求學(xué)生能掌握邏輯推理的基本形式，學(xué)會有邏輯地思考問題；要求學(xué)生能夠在明晰運算對象的基礎(chǔ)上，理解運算對象，掌握運算法則，探究運算思路，選擇運算方法，設(shè)計運算程序，求得運算結(jié)果等.解析幾何是提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要載體.解析幾何問題的解決往往需要進行復(fù)雜的數(shù)學(xué)運算，為了提升運算能力，解題中要重視解題思路的探究以及運算的策略的分析，優(yōu)化解題方法，設(shè)計運算程序，突破運算中的障礙節(jié)點，促進學(xué)生數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)真正提升，另外，注意代數(shù)運算過程中的算理分析，探究運算規(guī)律，分析代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，培養(yǎng)學(xué)生在代數(shù)式變形中的結(jié)構(gòu)意識，強化觀察運算方向的自覺性、強化關(guān)注運算結(jié)構(gòu)的簡潔性、強化判斷運算方法的適合性，從本題的解法探究可以看出，解題中如果能從理解算理和掌握算法的角度去進行解題分析，就能夠在解題中發(fā)散解題思維，如果能夠長期從理解算理和掌握算法的角度思考問題，就能養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣，最終實現(xiàn)數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)的提升.