福建省福清港頭中學 (350317) 黃 印
福建省福清第三中學 (350315) 何 燈
題目已知f(x)=ex-1-x.
(1)求證:對于?x∈R,f(x)≥0恒成立;
(2)若對于?x∈(0,+∞),有f(x)≥a(x2-x-xlnx)恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.
本題是2022年沈陽高三質檢第22題.該題題干簡單且問題以學生熟悉的方式呈現(xiàn),解題入口比較寬,方法多樣.本題在考查基礎知識的同時,注重考查能力,將知識、能力與素養(yǎng)的考查融為一體,突出考查數(shù)學理性思維,著重考查對數(shù)學本質的理解,真正全面考查數(shù)學素養(yǎng).筆者對本題的第(2)問進行了思考、探究與求解,與大家交流.
①當x=1時,易知f(x)≥a(x2-x-xlnx)恒成立,此時a∈R.
綜上,實數(shù)a的取值范圍(-∞,1].
評注3:直接求導是不等式恒成立問題常見的一種思路,是通解通法.思路簡單,但執(zhí)行難度較大,特別是本題對參數(shù)進行分類討論時,參數(shù)的分界點不是通過反客為主、幾何意義、導數(shù)明顯為正或負這些常見的常用方法找到的,也就是說無法主動篩選出界點,只能被動找界點,這就增加了求解難度.
∴由(1)得ex-1-ax≥ex-1-x≥0,此時可知g(x)在(0,1)上單調遞減,在(1,+∞)上單調遞增.故g(x)在x∈(0,+∞)的最小值為g(1)=0,即f(x)-a(x2-x-xlnx)≥0恒成立.
綜上,實數(shù)a的取值范圍為(-∞,1].
評注4:對參數(shù)a的取值進行界定是不等式恒成立問題的一大難點.首先需要找到f(x)≥a(x2-x-xlnx)取等時候方程的根,即G(x)的零點1,借助于直觀判斷,分析得到G″(x)≥0在x=1左右兩側附近成立,從而得到G″(1)=1-a≥0,繼而得到a≤1.有了這樣的直觀預測,問題轉化為研究當a≤1,G(x)≥0恒成立,當a>1,G(x)≥0不恒成立,剩下的只需按圖索驥進行論證即可.
不等式恒成立求參數(shù)范圍的導數(shù)問題是高考的熱點內容,備受高考命題專家的青睞.其具有很強的包容性,涵蓋面廣,故創(chuàng)新性極強[1].函數(shù)結構形式變化多端,花樣繁多,使人應接不暇.由此造成我們無法用統(tǒng)一的解法來應對這類形式千變萬化的問題.那么如何能夠更好地求解此類問題呢?筆者根據(jù)多年的解題感悟體會到應注重通性通法并且兼顧巧法.
縱觀近幾年的高考試題,大多數(shù)的題目是不能通過分離參數(shù)轉化為求最值的,只能使用分類討論的逐段篩選法,而分類討論的難點是如何篩選出界點.那么怎樣才能快速有效的篩選出參數(shù)分類討論的界點?筆者認為可以借助數(shù)學直觀,通過直觀感知題意和直觀判斷解題方向,達到對問題結論的直觀預測.直觀感知避免了直接求導法無法用常規(guī)方式發(fā)現(xiàn)界點的弊端,同時降低了尋找界點的難度,并且大大簡化了解題的思路與解題的過程.