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        一道高三質(zhì)檢題的多解探究

        2022-08-09 11:56:26福建省福清港頭中學(xué)350317
        關(guān)鍵詞:實(shí)數(shù)本題直觀

        福建省福清港頭中學(xué) (350317) 黃 印

        福建省福清第三中學(xué) (350315) 何 燈

        一、試題呈現(xiàn)

        題目已知f(x)=ex-1-x.

        (1)求證:對(duì)于?x∈R,f(x)≥0恒成立;

        (2)若對(duì)于?x∈(0,+∞),有f(x)≥a(x2-x-xlnx)恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

        本題是2022年沈陽(yáng)高三質(zhì)檢第22題.該題題干簡(jiǎn)單且問(wèn)題以學(xué)生熟悉的方式呈現(xiàn),解題入口比較寬,方法多樣.本題在考查基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí),注重考查能力,將知識(shí)、能力與素養(yǎng)的考查融為一體,突出考查數(shù)學(xué)理性思維,著重考查對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解,真正全面考查數(shù)學(xué)素養(yǎng).筆者對(duì)本題的第(2)問(wèn)進(jìn)行了思考、探究與求解,與大家交流.

        二、第(2)問(wèn)解法探析

        1、整體代換

        2、分離參數(shù)

        ①當(dāng)x=1時(shí),易知f(x)≥a(x2-x-xlnx)恒成立,此時(shí)a∈R.

        綜上,實(shí)數(shù)a的取值范圍(-∞,1].

        3、直接求導(dǎo)

        評(píng)注3:直接求導(dǎo)是不等式恒成立問(wèn)題常見(jiàn)的一種思路,是通解通法.思路簡(jiǎn)單,但執(zhí)行難度較大,特別是本題對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論時(shí),參數(shù)的分界點(diǎn)不是通過(guò)反客為主、幾何意義、導(dǎo)數(shù)明顯為正或負(fù)這些常見(jiàn)的常用方法找到的,也就是說(shuō)無(wú)法主動(dòng)篩選出界點(diǎn),只能被動(dòng)找界點(diǎn),這就增加了求解難度.

        4、基于直觀

        ∴由(1)得ex-1-ax≥ex-1-x≥0,此時(shí)可知g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增.故g(x)在x∈(0,+∞)的最小值為g(1)=0,即f(x)-a(x2-x-xlnx)≥0恒成立.

        綜上,實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-∞,1].

        評(píng)注4:對(duì)參數(shù)a的取值進(jìn)行界定是不等式恒成立問(wèn)題的一大難點(diǎn).首先需要找到f(x)≥a(x2-x-xlnx)取等時(shí)候方程的根,即G(x)的零點(diǎn)1,借助于直觀判斷,分析得到G″(x)≥0在x=1左右兩側(cè)附近成立,從而得到G″(1)=1-a≥0,繼而得到a≤1.有了這樣的直觀預(yù)測(cè),問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究當(dāng)a≤1,G(x)≥0恒成立,當(dāng)a>1,G(x)≥0不恒成立,剩下的只需按圖索驥進(jìn)行論證即可.

        三、解后反思

        不等式恒成立求參數(shù)范圍的導(dǎo)數(shù)問(wèn)題是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容,備受高考命題專家的青睞.其具有很強(qiáng)的包容性,涵蓋面廣,故創(chuàng)新性極強(qiáng)[1].函數(shù)結(jié)構(gòu)形式變化多端,花樣繁多,使人應(yīng)接不暇.由此造成我們無(wú)法用統(tǒng)一的解法來(lái)應(yīng)對(duì)這類形式千變?nèi)f化的問(wèn)題.那么如何能夠更好地求解此類問(wèn)題呢?筆者根據(jù)多年的解題感悟體會(huì)到應(yīng)注重通性通法并且兼顧巧法.

        縱觀近幾年的高考試題,大多數(shù)的題目是不能通過(guò)分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為求最值的,只能使用分類討論的逐段篩選法,而分類討論的難點(diǎn)是如何篩選出界點(diǎn).那么怎樣才能快速有效的篩選出參數(shù)分類討論的界點(diǎn)?筆者認(rèn)為可以借助數(shù)學(xué)直觀,通過(guò)直觀感知題意和直觀判斷解題方向,達(dá)到對(duì)問(wèn)題結(jié)論的直觀預(yù)測(cè).直觀感知避免了直接求導(dǎo)法無(wú)法用常規(guī)方式發(fā)現(xiàn)界點(diǎn)的弊端,同時(shí)降低了尋找界點(diǎn)的難度,并且大大簡(jiǎn)化了解題的思路與解題的過(guò)程.

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