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        例談三角函數(shù)問題求解中的設(shè)而不求

        2022-08-09 11:56:32甘肅省靈臺(tái)縣第一中學(xué)744000王海燕
        關(guān)鍵詞:對稱軸對稱性零點(diǎn)

        甘肅省靈臺(tái)縣第一中學(xué) (744000) 王海燕

        設(shè)而不求是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法,在三角函數(shù)問題中常結(jié)合設(shè)而不求的方法來解決問題.

        1.三角函數(shù)求值中的設(shè)而不求

        對于三角函數(shù)sinx,cosx與tanx的求值,充分利用三角函數(shù)基本關(guān)系式,和角公式、倍角公式進(jìn)行三角恒等變形,要優(yōu)先考慮用已知角表示所求角,從而使解題過程得到優(yōu)化.

        例1 計(jì)算(1) sin10°sin30°sin50°sin70°;

        (2)sin220°+cos250°+sin20°cos50°.

        評(píng)注:本題設(shè)了對偶式,根據(jù)對偶的兩個(gè)式子的和、差,積求得關(guān)系,進(jìn)而求解.

        2.三角函數(shù)周期中的設(shè)而不求

        三角函數(shù)的周期體現(xiàn)了三角函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn)時(shí)自變量的間隔,對于函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ),其周期是由ω決定的,ω大小決定著函數(shù)圖象伸縮的幅度.

        評(píng)注:本題中結(jié)合了三角函數(shù)的周期性,將滿足題設(shè)條件的所有x1,x2可能取值整體表示了出來,此解法引入了整數(shù)元k和m有利于簡化解題過程.

        3. 三角函數(shù)對稱性中的設(shè)而不求

        對于一般的三角函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ),既具備周期性,其圖象也具備對稱性,二者密切關(guān)聯(lián).函數(shù)的半周期是兩相鄰對稱軸間的距離,函數(shù)所有零點(diǎn)是對稱中心的橫坐標(biāo),相鄰零點(diǎn)的距離也是半周期.因此?x1,x2∈R,若函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)的圖象關(guān)于直線x=a對稱,則x1+x2=2a的充要條件是f(x1)=f(x2);若f(x)=Asin(ωx+φ)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)中心對稱,則x1+x2=2a的充要條件是f(x1)+f(x2)=0.

        (1)求函數(shù)f(x)的解析式,并求其圖象的對稱軸方程;

        評(píng)注:依據(jù)對稱性可知α+β為定值,α與β的間距恰好是β(或α)與對稱軸的間距的2倍,對目標(biāo)恒等變形之后,抓住方程的根滿足方程適時(shí)代換,設(shè)而不求,從而解決問題.

        4.變量整體代換中設(shè)而不求

        在解決許多三角函數(shù)問題時(shí),需從全局著眼審視各個(gè)量之間的來龍去脈,尋覓各變量之間的聯(lián)系,整體把握問題命脈,通過設(shè)而不求,整體代換,實(shí)現(xiàn)整體解題.

        圖1

        5.解三角形中設(shè)而不求

        例5 已知直線li:3x-4y+ai=0,其中ai是公差為5的等差數(shù)列{an}的第i項(xiàng).在直角△ABC中,∠ABC=90°,A∈l1,B∈l3,C∈l4,求△ABC面積的最小值.

        圖2

        評(píng)注:本題設(shè)出∠ABD后,把三角形△ABC的面積用∠ABD的三角函數(shù)表示出是解題的關(guān)鍵.

        6.三角函數(shù)求導(dǎo)中設(shè)而不求

        例6 已知函數(shù)f(x)=eax-sinx-1,曲線y=f(x)在x=0處的切線方程為y=b.求函數(shù)f(x)在(-π,0)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

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