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        一道聯(lián)賽題的解法探究與反思*

        2022-08-09 11:57:18福建省平潭縣第三中學(xué)350400薛臘松
        關(guān)鍵詞:余弦定理直角三角形數(shù)形

        福建省平潭縣第三中學(xué) (350400) 薛臘松

        廈門大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué) (363123) 林運(yùn)來

        競賽試題是數(shù)學(xué)題目中的經(jīng)典力作,大都蘊(yùn)含豐富的數(shù)學(xué)思想方法,變化靈巧,精彩迭出.因此,重視對(duì)一些典型競賽題的研究和探討,實(shí)屬必要.本文對(duì)2021年全國中學(xué)生數(shù)學(xué)奧林匹克競賽(初賽)暨全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽A2卷第9題的解法進(jìn)行探究,供大家參考.

        一、試題呈現(xiàn)

        題目已知△ABC滿足AB=1,AC=2,cosB+sinC=1,求BC邊的長.

        分析:此題是聯(lián)賽一試解答題的起點(diǎn)題,把三角恒等變換以及正、余弦定理的應(yīng)用作為考查的重點(diǎn),考查了分析、推理、計(jì)算等關(guān)鍵能力,體現(xiàn)了高中數(shù)學(xué)教學(xué)對(duì)三角函數(shù)學(xué)習(xí)的基本要求,有助于學(xué)生正確認(rèn)識(shí)三角函數(shù)知識(shí)的重要性.試題數(shù)量關(guān)系簡潔,計(jì)算過程簡單,有利于考生穩(wěn)定發(fā)揮.

        二、解法探究

        思路1 先求三角形內(nèi)角的函數(shù)值,再求三角形邊長.

        思路2 利用余弦定理直接求三角形邊長.

        思路3 利用射影定理求解.

        思路4 構(gòu)造直角三角形,利用銳角三角函數(shù)求解.

        圖1

        思路5 構(gòu)造直角三角形,利用勾股定理求解.

        三、解題反思

        “三角”一詞的希臘文原意是三角形和測量,最初的理解是指解三角形的計(jì)算.后來,歐拉引入了三角函數(shù),使三角比(正弦、余弦、正切等)不僅和解三角形有關(guān),而且大大豐富了“三角”的內(nèi)容.18世紀(jì)后,“三角”是被看作包含三角函數(shù)和解三角形兩部分內(nèi)容的一門數(shù)學(xué)的分學(xué)科.三角函數(shù)在數(shù)學(xué)和其他學(xué)科領(lǐng)域中具有非常廣泛的應(yīng)用,它是中學(xué)數(shù)學(xué)乃至高等數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)知識(shí)之一.

        一般地,涉及三角形邊角關(guān)系類的試題,綜合性較強(qiáng),不僅涉及正弦定理、余弦定理、三角形的幾何性質(zhì),還會(huì)涉及各種三角變換.其常規(guī)解法就是利用正(余)弦定理進(jìn)行邊角關(guān)系的互化,有時(shí)還需利用三角公式進(jìn)行恒等變形.中學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中,三角函數(shù)的定義或是聯(lián)系著一個(gè)直角三角形,或是聯(lián)系著一個(gè)直角坐標(biāo)系,或是聯(lián)系著一個(gè)單位圓,總之離不開一個(gè)圖形,這就為學(xué)習(xí)“三角”時(shí)實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合提供了一條理想的途徑.“數(shù)形結(jié)合”是基本的數(shù)學(xué)思想之一,正如著名數(shù)學(xué)家華羅庚所說:“數(shù)缺形時(shí)少直觀,形少數(shù)時(shí)難入微;數(shù)形結(jié)合百般好,隔離分家萬事休”.對(duì)本題而言,相對(duì)于常規(guī)的解法1、解法2和解法3而言,解法4、解法5通過畫圖,再利用圖形來進(jìn)行計(jì)算和推理,不僅使問題變得形象直觀、一目了然,而且極大地減少了運(yùn)算量,使問題化繁為簡,應(yīng)引起足夠的重視.

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