江蘇省如皋中學(xué) (226500) 王宏兵
本文先給出幾條伸縮變換的常用性質(zhì),再利用這些性質(zhì)破解幾道橢圓的最值問題和中點(diǎn)弦問題.
(1)經(jīng)過上述伸縮變換φ,點(diǎn)M變換為點(diǎn)M′,直線l變化為直線l′,若點(diǎn)M∈直線l,則點(diǎn)M′∈直線l′;
(2)經(jīng)過伸縮變換φ,對應(yīng)地l→l′,m→m′,若直線l∥直線m,則變換后l′∥m′,若直線l∩直線m=點(diǎn)P,則變換后直線l′∩直線m′=點(diǎn)P′;
評注:借助伸縮變換將橢圓化為圓,將問題轉(zhuǎn)化成計(jì)算圓上的到與它相離的直線的距離最小時的點(diǎn)的坐標(biāo),減少了運(yùn)算量.
(1)求C的方程;
(2)點(diǎn)N為C上一動點(diǎn),求△AMN的面積的最大值.
評注:本題第(2)問運(yùn)用伸縮變換法將求橢圓的給定條件的內(nèi)角三角形面積問題化歸為單位圓的內(nèi)接三角形面積問題,運(yùn)用點(diǎn)到直線距離公式、圓的弦長公式以及圓的幾何性質(zhì)可以順利解答,降低了運(yùn)算量.
評注:本題是一道橢圓的定值問題,如果運(yùn)用直角坐標(biāo)法的話運(yùn)算量非常大,本解法運(yùn)用伸縮變換法將橢圓中的問題化歸為圓中的問題,由等邊三角形的性質(zhì):若一個三角形的外心與內(nèi)心重合,則這個三角形為等邊三角形,可以確定△A′B′C′為等邊三角形,再運(yùn)用正弦定理可以計(jì)算出其面積,由伸縮變換的性質(zhì),可以確定△ABC的面積為定值.
圓和橢圓的都是高中數(shù)學(xué)主干知識,運(yùn)用伸縮變換法體現(xiàn)的是化歸與轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用,將橢圓中的問題化歸為圓中的問題,相比較可以簡化數(shù)學(xué)運(yùn)算和溝通數(shù)學(xué)知識之間聯(lián)系,落實(shí)數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理和直觀想象數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng),促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí),培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維.由于伸縮變化法解答雙曲線和拋物線問題不那么簡潔完美,本文不再探討.伸縮變換法在橢圓問題中更廣泛的應(yīng)用有待于在教學(xué)和學(xué)習(xí)實(shí)踐中進(jìn)一步探究和總結(jié).