江蘇省如皋中學(xué) (226500) 王宏兵

1.伸縮變換的定義

2.伸縮變換的性質(zhì)

本文先給出幾條伸縮變換的常用性質(zhì)，再利用這些性質(zhì)破解幾道橢圓的最值問題和中點(diǎn)弦問題.

(1)經(jīng)過上述伸縮變換φ，點(diǎn)M變換為點(diǎn)M′，直線l變化為直線l′，若點(diǎn)M∈直線l，則點(diǎn)M′∈直線l′；

(2)經(jīng)過伸縮變換φ，對應(yīng)地l→l′,m→m′，若直線l∥直線m，則變換后l′∥m′，若直線l∩直線m=點(diǎn)P，則變換后直線l′∩直線m′=點(diǎn)P′；

3.伸縮變換的應(yīng)用

評注：借助伸縮變換將橢圓化為圓，將問題轉(zhuǎn)化成計(jì)算圓上的到與它相離的直線的距離最小時的點(diǎn)的坐標(biāo)，減少了運(yùn)算量.

(1)求C的方程；

(2)點(diǎn)N為C上一動點(diǎn)，求△AMN的面積的最大值.

評注：本題第(2)問運(yùn)用伸縮變換法將求橢圓的給定條件的內(nèi)角三角形面積問題化歸為單位圓的內(nèi)接三角形面積問題，運(yùn)用點(diǎn)到直線距離公式、圓的弦長公式以及圓的幾何性質(zhì)可以順利解答，降低了運(yùn)算量.

評注：本題是一道橢圓的定值問題，如果運(yùn)用直角坐標(biāo)法的話運(yùn)算量非常大，本解法運(yùn)用伸縮變換法將橢圓中的問題化歸為圓中的問題，由等邊三角形的性質(zhì)：若一個三角形的外心與內(nèi)心重合，則這個三角形為等邊三角形，可以確定△A′B′C′為等邊三角形，再運(yùn)用正弦定理可以計(jì)算出其面積，由伸縮變換的性質(zhì)，可以確定△ABC的面積為定值.

圓和橢圓的都是高中數(shù)學(xué)主干知識，運(yùn)用伸縮變換法體現(xiàn)的是化歸與轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，將橢圓中的問題化歸為圓中的問題，相比較可以簡化數(shù)學(xué)運(yùn)算和溝通數(shù)學(xué)知識之間聯(lián)系，落實(shí)數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理和直觀想象數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維.由于伸縮變化法解答雙曲線和拋物線問題不那么簡潔完美，本文不再探討.伸縮變換法在橢圓問題中更廣泛的應(yīng)用有待于在教學(xué)和學(xué)習(xí)實(shí)踐中進(jìn)一步探究和總結(jié).