占詩源

(江蘇省建湖縣第二中學(xué) 224700)

開放性的數(shù)學(xué)問題不僅能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，還能發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力.結(jié)構(gòu)不良問題是一種特殊的開放性數(shù)學(xué)問題，體現(xiàn)了以素養(yǎng)為導(dǎo)向的高考數(shù)學(xué)命題方向，要求學(xué)生能根據(jù)已知的問題情境，多層面多角度對問題進(jìn)行分析，考慮可能出現(xiàn)的不同情況,尋找不同的解題思路，給出不同的解決方法.要求學(xué)生對題中給出的條件有預(yù)判能力，選出最合適的條件，以此考查學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)散性、靈活性、創(chuàng)造性、嚴(yán)謹(jǐn)性.

1 選擇一個(gè)條件解決問題

這類數(shù)列問題的特點(diǎn)是從給出多個(gè)條件中選擇一個(gè)與題目中已知的條件組合起來構(gòu)成完整的條件鏈進(jìn)而求解問題.

已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，公差d≠0，____，n∈N*.

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

(2)若bn=S2n+1-S2n，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Wn，求Wn.

分析題干中給出了3個(gè)條件，需要從3個(gè)條件中選擇一個(gè)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.若選擇條件①需要處理an與Sn之間的遞推互化關(guān)系.若選擇條件②和③都是構(gòu)造關(guān)于an和d的方程解方程組.

故Sn=n2+n.

當(dāng)n≥2時(shí)，Sn-1=(n-1)2+n-1，

當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=2n.

又a1=2，滿足上式，所以an=2n.

若選擇條件②：由S2=a3，得a1+a2=a3，得a1=d.

又由a4=a1a2，得a1+3d=a1(a1+d).

因?yàn)閐≠0，則a1=d=2.所以an=2n.

因?yàn)閍1=2，d≠0，所以d=2，則an=2n.

2 選擇多個(gè)條件重新組合解決問題

這類數(shù)列問題的特點(diǎn)是從給出多個(gè)條件中選擇多個(gè)條件重新組合求解問題，每個(gè)條件所涉及到的知識(shí)點(diǎn)和處理方法都有所不同，多個(gè)條件不同的組合會(huì)導(dǎo)致思維量和計(jì)算量的不同.解決這類結(jié)構(gòu)不良數(shù)列問題時(shí)要找到所給出條件之間的聯(lián)系點(diǎn)以及與目標(biāo)最為接近的條件，要求具有較強(qiáng)的方向性和目標(biāo)性.

例2(2021年全國甲卷)已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)為正數(shù)，記Sn為{an}的前n項(xiàng)和，從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立.

解析若選擇條件①②，證明條件③.

若選擇條件①③，證明條件②.

設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，

則a2=3a1=a1+d.得d=2a1.

若選擇條件②③，證明條件①.

當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=n2d2-(n-1)2d2=2d2n-d2，n=1時(shí)也滿足上式，所以an=2d2n-d2.

所以an+1-an=2d2(n+1)-d2-(2d2n-d2)=2d2，是一個(gè)常數(shù)，所以數(shù)列{an}是等差數(shù)列.

3 從條件組中選條件解決問題

這類數(shù)列問題的處理比選擇一個(gè)條件解決問題和選擇多個(gè)條件重新組合解決問題更具有思維量，要求具有更強(qiáng)的方向性和目標(biāo)性.

例3在①an=2n-1，3bn=2Tn+3；②2Sn=n2+an，bn=a2nSn這兩組條件中任選一組，補(bǔ)充在橫線處，并解答問題.

已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和是Sn，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和是Tn，____.

(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式；

分析由題意可知，需從給出的兩組條件中選擇一組解決問題，①組直接給出了an，所以只需要通過3bn=2Tn+3求bn即可；②組需要先通過2Sn=n2+an求出an，再求出Sn，然后借助bn=a2nSn求出bn.第(2)問是由第(1)問中的an，bn構(gòu)造而成的新數(shù)列cn，先求cn的前n項(xiàng)和，再放縮即可.

解析(1)若選條件①：由3bn=2Tn+3，可得3bn+1=2Tn+1+3，兩式相減可得3bn+1-3bn=2bn+1，所以bn+1=3bn.

在3bn=2Tn+3中，令n=1，可得3b1=2b1+3，所以b1=3.

所以{bn}是以3為首項(xiàng)，公比為3的等比數(shù)列，bn=3×3n-1=3n.

故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n-1.

若選條件②：由2Sn=n2+an，可得2Sn+1=(n+1)2+an+1，兩式相減可得2an+1=(n+1)2-n2+an+1-an，即an+1+an=2n+1.

所以an+1-(n+1)=-(an-n).

在2Sn=n2+an中，令n=1，可得2a1=1+a1，所以a1=1.所以由an-n=-[an-1-(n-1)]，an-1-(n-1)=-[an-2-(n-2)]，…，a2-2=-(a1-1)=0.所以an-n=(-1)n(a1-1)=0.

設(shè)Hn=c1+c2+…+cn，則

解決數(shù)列結(jié)構(gòu)不良問題時(shí)應(yīng)首先認(rèn)真審題找出題干中的有用信息；其次仔細(xì)分析結(jié)論信息看看缺少什么條件；最后再從所給的備選信息中選一個(gè)或多個(gè)最靠近所缺條件的信息.