周玉蘭, 孔華芳, 程秀強, 薛 蕊, 陳 嘉

（西北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 蘭州 730070）

0 引 言

作為經(jīng)典 It? 隨機積分理論在算子領(lǐng)域的一種非交換擴張, 量子隨機積分理論在不同 Fock 空間框架下有不同的擴張. 其中, 比較著名的 It?-Clifford 理論[1], 反對稱 Fock 空間上的 Fermionic 理論[2],擬自由 Fock 空間上的量子隨機變分理論以及自由 Fock 空間上量子關(guān)于自由獨立 Brown 運動的隨機積分理論. 另外, 人們發(fā)現(xiàn), 通過應(yīng)用連續(xù)的 Jordan-Wigner 變換可將Fermionic 情形轉(zhuǎn)換為Bosonic 情形. 以上量子隨機分析中所考察的算子都是以指數(shù)向量集為其稠密定義域, 算子性質(zhì)的研究基于指數(shù)域而進行. 而由 Attal 等[3]提出的連續(xù)時間 Guichardet-Fock 空間, 將量子隨機分析理論中算子的定義域擴張到了最大, 脫離了指數(shù)域的限制, 同時把上述不同框架下關(guān)于連續(xù)時間噪聲的量子隨機積分統(tǒng)一在了 Guichardet-Fock 空間框架下. 眾所周知, 物理學(xué)中廣泛存在著具有增生、湮滅性質(zhì)的物理系統(tǒng), 這種作用的具體數(shù)學(xué)表達式可以用增生、湮滅和計數(shù)算子來表示, 稱為基本(量子)過程, 在量子隨機分析中, 就是以增生、湮滅和保守過程代替了經(jīng)典分析中的噪聲過程, 而適應(yīng)算子值過程關(guān)于基本過程的積分就是量子隨機積分. 作為經(jīng)典鞅(半鞅)表示的推廣, 量子鞅(半鞅)的表示已成為量子隨機分析中一個很重要的研究內(nèi)容, 因此, 對增生、湮滅和計數(shù)算子(過程)以及相關(guān)算子過程性質(zhì)的討論對于研究量子隨機積分、量子鞅(半鞅)性質(zhì)顯得很重要. 文獻[4]討論了連續(xù)時間 Guichardet-Fock 空間L2(Γ;η) 中計數(shù)算子的表示問題.

1 預(yù)備知識

定理 4[7]計數(shù)算子N是L2(M) 中稠定、自伴、閉的、無界線性算子.

2 主要結(jié)果

上式右端中令n →+∞, 再結(jié)合式(13)可得

必要性. 假定Nh是L2(M) 上的有界線性算子. 反設(shè)h不可和, 則由式(14), 有

這與Nh有界矛盾. 從而當(dāng)Nh有界時,h必可和.

下面討論廣義計數(shù)算子序列的收斂性. 對于逐點收斂的函數(shù)列, 在一定條件下, 對應(yīng)的廣義計數(shù)算子列在其公共稠密定義域上強收斂, 且當(dāng)極限算子有界時, 廣義計數(shù)算子列一致收斂.

定理 7 設(shè){hn;n≥0}?P+(N) ,{hn;n≥1}逐點收斂于h0且存在常數(shù)C>0 , 使得

由控制收斂定理, 有

則由控制收斂定理,

從而由Nh,Ng的線性性知NhNg=NgNh在S0(M) 上成立.

若h,g可和, 則Nh,Ng是L2(M) 上有界線性算子, 從而由定理6 可知NhNg=NgNh在全空間上成立.