沈 東, 劉建成

（西北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 蘭州 730070）

0 引 言

設(shè) (Mn,giˉj) 為n維K?hler 流形, 若Mn存在一個實(shí)值光滑函數(shù)f及λ ∈R 滿足方程

Cao[1]提出了K?hler-Ricci 流的概念, 它是幾何分析和偏微分方程研究中的一個重要課題, 而梯度K?hler-Ricci 孤立子作為K?hler-Ricci 流的自相似解, 在K?hler-Ricci 流的研究中扮演著重要的角色.所以, 梯度K?hler-Ricci 孤立子的分類對于了解K?hler-Ricci 流的幾何結(jié)構(gòu)具有重要意義.

近年來, 關(guān)于K?hler 流形中梯度K?hler-Ricci 孤立子的分類問題的研究已取得了一系列重要進(jìn)展. 例如, 文獻(xiàn)[1]在K?hler 流形上引入與黎曼流形中 Weyl 張量相似的概念, 被稱為Bochner 張量,并證明了具有消滅Bochner 張量的梯度K?hler-Ricci 孤立子有常全純截面曲率. 同時證明了具有消滅Bochner 張量的梯度收縮(穩(wěn)定或擴(kuò)張) K?hler-Ricci 孤立子是 CPn( Cn或復(fù)球面 Bn) 的有限商空間.文獻(xiàn)[2]將條件減弱, 即引入了調(diào)和Bochner 張量, 且

div(W)=?lWiˉjkˉl=0.

1 預(yù)備知識及引理

同時,

2 K?hler-Ricci 孤立子的積分條件和積分公式

受文獻(xiàn)[5]中Ricci 孤立子的積分條件和積分公式的啟發(fā), 本章介紹K?hler-Ricci 孤立子的積分條件和積分公式.

性質(zhì) 1 若 (Mn,giˉj,f) 是一個具有實(shí)值光滑函數(shù)f的K?hler-Ricci 孤立子, 則,B,之間滿足如下關(guān)系式

證 明 首先由文獻(xiàn)[4]知式 (3) 成立. 再對式 (3) 求散度, 即有

再對式 (4) 求散度, 即得

證 明 由ψ(f) 滿足的條件, 利用式 (6) 和式 (1) 可得

對上式整理, 并由式 (2) 得

性質(zhì) 2 證畢.

3 主要定理的證明

將式 (13) 代入式 (12) 中得

在Mn上Φ(f)≥0 并且在Ωs上Φ(f)=1 , 當(dāng)s →∞時, 在Mn上則有C ≡0 .

綜上所述, 得完備梯度收縮K?hler-Ricci 孤立子具有調(diào)和Bochner 張量, 即C ≡0 . 再由引理 2, 則定理 1 得證.