張金良

(浙江省教育廳教研室 310012)

從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)教研已有三十九年，經(jīng)歷了一次又一次課程改革，聽(tīng)了一次又一次專家報(bào)告，觀摩了一次又一次的數(shù)學(xué)公開(kāi)課，翻閱了一次又一次的數(shù)學(xué)文獻(xiàn)，我不斷拷問(wèn)自已數(shù)學(xué)教學(xué)的意義在哪兒?數(shù)學(xué)教學(xué)核心是什么?它不受世事變遷，永遠(yuǎn)追求的本色又是什么?《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020修訂)》指出“數(shù)學(xué)在形成理性思維、科學(xué)精神和促進(jìn)個(gè)人智力發(fā)展的過(guò)程中發(fā)揮著不可替代的作用”,“數(shù)學(xué)教育要幫助學(xué)生掌握現(xiàn)代生活和進(jìn)一步學(xué)習(xí)所必需的數(shù)學(xué)知識(shí)、技能、思想和方法,引導(dǎo)學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，會(huì)用數(shù)學(xué)思維思考世界，會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界”.反思自已二十二年的一線教學(xué)實(shí)踐和十七年數(shù)學(xué)教研生涯，我始終堅(jiān)信當(dāng)學(xué)生離開(kāi)學(xué)校后，我們給學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)可能都會(huì)忘記，但賦予給學(xué)生的理性思維、嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)的作風(fēng)、有邏輯地思考問(wèn)題卻永存.發(fā)展學(xué)生思維是數(shù)學(xué)課堂的核心，思維問(wèn)題是數(shù)學(xué)的核心問(wèn)題，數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)息息相關(guān)，互相促進(jìn)，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師和學(xué)生的核心活動(dòng)是思維活動(dòng)，我的課堂教學(xué)與數(shù)學(xué)教研始終圍繞思維課堂去謀劃、設(shè)計(jì)、實(shí)施，下面作一介紹，供參考.

1 對(duì)數(shù)學(xué)思維課堂的認(rèn)識(shí)

隨著課程改革深入推進(jìn)，諸如“生本課堂、有效課堂、高效課堂”等新名詞層出不窮，本文所謂思維課堂相對(duì)于知識(shí)課堂、理解課堂而言的一種課堂形態(tài)，主要是指培養(yǎng)學(xué)生學(xué)科思維的課堂，是以培養(yǎng)學(xué)生思維為取向、以突出發(fā)展學(xué)生思維能力為目標(biāo)，以培養(yǎng)學(xué)生良好思維品質(zhì)為主線的課堂教學(xué)，它反對(duì)忽視甚至扼殺學(xué)生思維的課堂.因此，思維課堂的基本特征是學(xué)生在教師的啟發(fā)引導(dǎo)下，積極思考、主動(dòng)參與課堂教學(xué)之中，學(xué)生的思維即使偏離了課堂主題，思維仍然得到保護(hù)，班級(jí)各個(gè)層次的學(xué)生在思維上得到足夠的訓(xùn)練，數(shù)學(xué)課堂充滿了思維張力.知識(shí)與思維相輔相成，相互促進(jìn)，知識(shí)是思維賴以發(fā)生的材料和載體，思維是對(duì)知識(shí)的組織與加工.

與思維課堂相近相關(guān)的概念有“思維型課堂”、“思維發(fā)展型課堂”兩種稱呼.林崇德、胡衛(wèi)平在文[1]中提出的思維型課堂，他們認(rèn)為思維型課堂教學(xué)理論以聚焦思維結(jié)構(gòu)的智力理論為基礎(chǔ)，著眼于課堂教學(xué)中的思維活動(dòng)，意在提高課堂的教學(xué)質(zhì)量.思維型課堂的教學(xué)理論包括認(rèn)知沖突、自主建構(gòu)、自我監(jiān)控和應(yīng)用遷移四個(gè)方面的基本原理.文[2]根據(jù)英國(guó)思維教學(xué)專家麥吉尼斯所著的《從思維技能到思維發(fā)展型課堂》(Thinking Classrooms)一書(shū)中提到的“思維發(fā)展型課堂”，闡述了思維發(fā)展型課堂是以促進(jìn)學(xué)生思維能力發(fā)展為核心目標(biāo)的新型課堂教學(xué)形態(tài)，在這種課堂中，學(xué)習(xí)者或習(xí)得新的思維技能，或拓展已有思維技能的應(yīng)用情境，或?qū)⒁延兴季S技能作為加工知識(shí)的手段和方法，實(shí)現(xiàn)對(duì)學(xué)科知識(shí)的更深入理解以及對(duì)思維技能的更熟練運(yùn)用.

由此可見(jiàn)，思維課堂與“思維型課堂”、“思維發(fā)展型課堂”既有聯(lián)系也有區(qū)別.思維課堂的基本特點(diǎn)是整個(gè)課堂充滿了思維張力.而張力在物理學(xué)中可解讀為物體受到拉力作用時(shí)，存在于內(nèi)部的一種相互牽引力，在文學(xué)中可理解為一篇文章張馳有度、有疏有密、讀起來(lái)讓人賞心悅目.借鑒到數(shù)學(xué)課堂，可理解為教師根據(jù)學(xué)情，設(shè)計(jì)了多個(gè)相互牽引又能突破的有效學(xué)習(xí)點(diǎn)，實(shí)施時(shí)，師生思維相互交融，達(dá)到深度理解，課堂充滿“厚度”、“寬度”、“深度”，生機(jī)勃勃.思維課堂一般信息量大、探究充分、思維層次高、學(xué)生體驗(yàn)多.

數(shù)學(xué)思維課堂既是對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)的理性認(rèn)識(shí)，也是教學(xué)過(guò)程的一種實(shí)際的操作，它沒(méi)有固定的操作程序與固定的教學(xué)模式，但我們可以提煉出思維課堂的若干特征、訓(xùn)練方法與策略.

思維課堂能在一定程度上能避免數(shù)學(xué)教育的浮躁、浮夸的傾向，使教育回歸本源.思維課堂的有效實(shí)施，能優(yōu)化學(xué)生的思維方法，拓展思維空間，暢通思維渠道，提升思維水平，實(shí)現(xiàn)輕負(fù)擔(dān)高質(zhì)量的教學(xué).

在長(zhǎng)期的數(shù)學(xué)教育教學(xué)實(shí)踐中，我的課堂、我的教研始終圍繞思維課堂下功夫，也切切實(shí)實(shí)感悟到大多數(shù)人的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是從模仿開(kāi)始的，主要通過(guò)模仿老師講述的概念、公式、法則、定理、習(xí)題及舉一反三的訓(xùn)練、領(lǐng)悟、遷移而習(xí)得.他一般需要經(jīng)歷懂、會(huì)、熟、化四個(gè)階段.聽(tīng)懂了不等于掌握了，會(huì)做了不等于融會(huì)貫通.也就是說(shuō)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)一般要經(jīng)歷理解、領(lǐng)悟、遷移、內(nèi)化、活用幾個(gè)階段.學(xué)生的思維是可塑的,可培養(yǎng)的，學(xué)生優(yōu)秀思維的品格，是教師優(yōu)秀思維方式、思維品質(zhì)的外化.智優(yōu)生的思維品質(zhì)通常勝過(guò)普通老師，需要特殊的呵護(hù)與培養(yǎng).數(shù)學(xué)教學(xué)盡量讓學(xué)生快速領(lǐng)悟知識(shí)，熟練掌握解題方法，形成條理化、系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化的知識(shí)體系，實(shí)現(xiàn)自我超越.

2 聚焦思維，躬行課堂

2.1 關(guān)注知識(shí)的發(fā)生發(fā)展，培養(yǎng)學(xué)生思維系統(tǒng)性

數(shù)學(xué)源于對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的抽象，基于抽象結(jié)構(gòu)，通過(guò)符號(hào)運(yùn)算、形式推理、模型構(gòu)建等，理解和表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界中事物的本質(zhì)、關(guān)系和規(guī)律.數(shù)學(xué)知識(shí)是相互關(guān)聯(lián)的一個(gè)整體，數(shù)學(xué)知識(shí)之間存在著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系.早期的數(shù)學(xué)教材限于篇幅及學(xué)生的認(rèn)知水平，知識(shí)的呈現(xiàn)常常是分散的、點(diǎn)狀的，對(duì)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過(guò)程介紹較少，教學(xué)時(shí)我反復(fù)鉆研教材，洞察每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)的源與流，把握知識(shí)點(diǎn)的來(lái)龍去脈，將知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程呈現(xiàn)給學(xué)生，不搞“掐頭去尾燒中段”的教學(xué)方式，更不做“一個(gè)概念(定理)+三項(xiàng)注意”的急功近利的教學(xué),力求讓學(xué)生知其然，又知所以然，體現(xiàn)知識(shí)的聯(lián)系性與系統(tǒng)性，從而培養(yǎng)學(xué)生系統(tǒng)性思維.

例如函數(shù)概念的建構(gòu).首先講述函數(shù)發(fā)展的四個(gè)階段，第一階段1673年萊布尼茨的圖象說(shuō):用來(lái)表示一個(gè)隨著曲線上的點(diǎn)變動(dòng)而變動(dòng)的量，第二階段1755年歐拉變量說(shuō)，曾經(jīng)的初中數(shù)學(xué)教材中的定義，第三階段1851年黎曼的對(duì)應(yīng)說(shuō)，現(xiàn)行高中數(shù)學(xué)教科書(shū)中使用的定義，第四階段1939年布爾巴基學(xué)派給出更為一般的關(guān)系說(shuō)定義.其次重點(diǎn)用集合間的對(duì)應(yīng)、映射概念闡述函數(shù)定義，進(jìn)一步講述函數(shù)研究的對(duì)象有整體性質(zhì)與局部性質(zhì)，研究的方法有數(shù)形結(jié)合法等，再次研究函數(shù)奇偶性、單調(diào)性、周期性等性質(zhì)時(shí)的目的是什么？為何要去研究？

再如三角函數(shù)中弧度制概念的建構(gòu).總要問(wèn)問(wèn)學(xué)生初中已學(xué)習(xí)了角度制，為什么高中我們還要學(xué)習(xí)弧度制？通過(guò)追問(wèn)與介紹，讓學(xué)生明白弧度制產(chǎn)生有著悠久的歷史，它源于印度，成于歐拉，是數(shù)學(xué)家理性思維的結(jié)晶，其中的基本思想是圓半徑與圓周長(zhǎng)用統(tǒng)一的度量單位進(jìn)行度量，是用對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)與圓半徑之比來(lái)度量角度.弧度制的誕生為三角函數(shù)的建立奠定了基礎(chǔ)，在弧度制的基礎(chǔ)上，任意一個(gè)實(shí)數(shù)x與x弧度的三角比之間建立了對(duì)應(yīng)關(guān)系即為三角函數(shù)，由此建立的三角函數(shù)具有一系列精彩優(yōu)美的結(jié)論，否則角度與三角函數(shù)不能進(jìn)行運(yùn)算，許多結(jié)論失去了美的感受.當(dāng)學(xué)生初步建立弧度制概念后，繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生從定義的方式、歷史的起源、等分的數(shù)量、度量制度、線性關(guān)系等視角深入比較角度制、弧度制差異，再認(rèn)識(shí)學(xué)習(xí)弧度制的必要性及其思維方法.

還如，解析幾何開(kāi)篇教學(xué)時(shí).要給學(xué)生講一講笛卡爾與費(fèi)馬發(fā)明解析幾何的故事，讓學(xué)生明白在笛卡爾時(shí)代，代數(shù)還是一個(gè)比較新的學(xué)科，幾何學(xué)的思維還在數(shù)學(xué)家的頭腦中占有統(tǒng)治地位.笛卡爾致力于代數(shù)和幾何的聯(lián)系研究，在1637年，成功地創(chuàng)立了解析幾何學(xué)，可以將幾何問(wèn)題歸結(jié)成代數(shù)問(wèn)題，也可以通過(guò)代數(shù)轉(zhuǎn)換來(lái)發(fā)現(xiàn)、證明幾何性質(zhì)，為微積分的創(chuàng)立奠定了基礎(chǔ).

2.2 重視總結(jié)歸納，培養(yǎng)學(xué)生結(jié)構(gòu)性思維

在現(xiàn)實(shí)生活中，結(jié)構(gòu)化思維無(wú)處不在，無(wú)處不用.只是人們大多在潛意識(shí)層面上應(yīng)用，沒(méi)有上升到理論高度.結(jié)構(gòu)化思維有三個(gè)基本步驟:確定目標(biāo)、資源分析、制定計(jì)劃，它條理清晰，是解決問(wèn)題時(shí)最關(guān)鍵的一把鑰匙，它可以使我們有條不紊、忙而不亂地處理一切問(wèn)題.數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化思維是學(xué)生核心素養(yǎng)的重要標(biāo)志，是一種程序性、系統(tǒng)性、本質(zhì)性、遷移性的思維方式.它可能以通過(guò)知識(shí)的整體呈現(xiàn)、解題過(guò)程的探究、課后反思追問(wèn)等方式進(jìn)行培養(yǎng)，在自己的課堂教學(xué)中，總是想方設(shè)法幫助學(xué)生建構(gòu)一個(gè)系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化、整體化的知識(shí)體系，使學(xué)生心中有目標(biāo)、腦中有結(jié)構(gòu)、手中有方法.具體操作是“從薄到厚，再?gòu)暮竦奖　?

新課教學(xué)時(shí)，根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知水平，采用螺旋上升、拾級(jí)而上、講深講透，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷豐富多樣的知識(shí)學(xué)習(xí)，學(xué)會(huì)每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，每一個(gè)知識(shí)塊.在面對(duì)新課小結(jié)、單元小結(jié)、章節(jié)小節(jié)時(shí)，有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生自我歸納知識(shí)規(guī)律及其特征的習(xí)慣，新課小結(jié)力爭(zhēng)細(xì)致全面重點(diǎn)突出，單元小結(jié)、章節(jié)小節(jié)會(huì)利用概念圖等和學(xué)生一起圖文并茂地梳理知識(shí)，把知識(shí)的關(guān)聯(lián)逐層展示出來(lái)，使知識(shí)由細(xì)到粗，由點(diǎn)到面，形成脈絡(luò).有時(shí)引導(dǎo)學(xué)生自主將知識(shí)歸納整合，有時(shí)候通過(guò)作業(yè)或考試的方式，促使學(xué)生歸納整理一個(gè)單元一個(gè)章節(jié)的知識(shí)體系，有時(shí)還通過(guò)課堂教學(xué)提問(wèn)的方式，讓學(xué)生回答一個(gè)單元一個(gè)章節(jié)的知識(shí)體系，從而培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的整體認(rèn)識(shí)，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生思維的整體性，實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)化思維的培養(yǎng).在課型設(shè)計(jì)上常常采取知識(shí)梳理、構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)，典例精講、變式訓(xùn)練，方法提煉、歸納總結(jié)，當(dāng)堂檢測(cè)、鞏固拓展四個(gè)環(huán)節(jié)或自主研學(xué)、溫故知新，互動(dòng)探究、動(dòng)態(tài)生成，梳理歸納、構(gòu)建體系，問(wèn)題解決、完善結(jié)構(gòu)，目標(biāo)檢測(cè)、檢驗(yàn)效果，布置作業(yè)、應(yīng)用遷移六環(huán)節(jié).下圖為三角函數(shù)單元結(jié)束時(shí)引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)的知識(shí)結(jié)構(gòu)圖.

2.3 方法引領(lǐng)，典題示范，培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性

在培養(yǎng)與發(fā)展學(xué)生思維上，無(wú)論課時(shí)多么緊張，教學(xué)時(shí)必須擠出時(shí)間給每屆學(xué)生上好兩節(jié)導(dǎo)學(xué)課，一節(jié)是數(shù)學(xué)知識(shí)如何習(xí)得的，另一節(jié)是數(shù)學(xué)解題常用思想方法.第一節(jié)課引導(dǎo)學(xué)生明白數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是從模仿開(kāi)始，須經(jīng)歷模仿、領(lǐng)悟、遷移、內(nèi)化的過(guò)程，也就是要經(jīng)歷“懂—會(huì)—熟—化”四個(gè)階段訓(xùn)練，數(shù)學(xué)離不開(kāi)做題，學(xué)會(huì)解題要經(jīng)歷“記憶模仿、變式練習(xí)、自發(fā)領(lǐng)悟、自覺(jué)分析”四個(gè)步驟，其中“自覺(jué)分析”是指對(duì)解題過(guò)程的自我反思，是大多數(shù)同學(xué)所欠缺的思維品質(zhì)或思維習(xí)慣.第二節(jié)是數(shù)學(xué)思考問(wèn)題的常用方法，通過(guò)豐富的例子或故事，從宏觀上引導(dǎo)學(xué)生明白，數(shù)學(xué)思考問(wèn)題方式有一般到特殊的演繹推理，也有特殊到一般的歸納推理，還有特殊到特殊的類比推理，數(shù)學(xué)思維的一般方法有觀察與實(shí)驗(yàn)，比較、分類與系統(tǒng)化，歸納與演繹，分析與綜合，抽象與概括，一般化與特殊化，模型化與具體化，類比與映射，聯(lián)想與猜想，數(shù)學(xué)思維的方式有收斂思維和發(fā)散思維，抽象思維和形象思維，分析思維和直覺(jué)思維.具體地講指導(dǎo)我們解題的常用思維方式，有形象化思維、特殊化思維、模型化思維、歸納化思維、類比化思維、逆向化思維.鼓勵(lì)學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，學(xué)會(huì)從代數(shù)、幾何、向量、跨界等不同視角思考問(wèn)題的同時(shí)，還要學(xué)會(huì)整體思考、局部思考、反面思考、逆向思考、差異思考、升維(格)思考、降維(格)思考、回歸原理(母體)等思考方式.一般地講視角越多、方法越豐富，破題不但越快捷，而且更容易發(fā)現(xiàn)創(chuàng)新解法.

補(bǔ)充方法1: 差分法

化簡(jiǎn)得證.

補(bǔ)充方法3：利用Abel變換

化簡(jiǎn)得證.

補(bǔ)充方法4:利用積分

化簡(jiǎn)得證.

化簡(jiǎn)得證.

補(bǔ)充方法6：幾何法

首先利用n2=1+3+…+(2n-1),

多角度講完題目后，引導(dǎo)學(xué)生將自然數(shù)平方和進(jìn)行聯(lián)想推廣，最后向?qū)W生介紹一般方冪和問(wèn)題.

2.4 經(jīng)常進(jìn)行類比聯(lián)想，推廣猜想，培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性與創(chuàng)造性

聯(lián)想1:從每一項(xiàng)的特點(diǎn)看,分母中的每一項(xiàng)都是等差數(shù)列1,2,3,……,n的前后兩項(xiàng)之積，因此一般化后

聯(lián)想2：再看分母中每項(xiàng),前后相差常數(shù)1，于是作如下聯(lián)想:

聯(lián)想3：從數(shù)列各項(xiàng)的分母編排看，前后兩項(xiàng)總有一個(gè)數(shù)相同，于是可理解成數(shù)列1，2，3，…，n，…相鄰兩項(xiàng)積的倒數(shù)和問(wèn)題，自然可聯(lián)想相鄰三項(xiàng)積的倒數(shù)和問(wèn)題，于是

一般地，設(shè){an}是公差為d(d≠0),且不含零項(xiàng)的等差數(shù)列，m,n∈N*,于是有

聯(lián)想4:該數(shù)列求和問(wèn)題本質(zhì)是數(shù)列1，2，3，…，n，…相鄰兩項(xiàng)積的倒數(shù)和問(wèn)題，求解方法是裂項(xiàng)求和法，具體的技巧由多裂少，于是作對(duì)比聯(lián)想得

一般地，設(shè){an}是公差為d(d≠0),且不含零項(xiàng)的等差數(shù)列，a0=0，m,n∈N*,于是有

聯(lián)想5:進(jìn)一步設(shè)計(jì)一個(gè)創(chuàng)造性問(wèn)題：在集合{1,2,…,100}中試選出10個(gè)數(shù)使它們的倒數(shù)和為1.

2.5 圖式結(jié)合，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)

希爾伯特曾說(shuō)“人類的一切知識(shí)都是從直觀開(kāi)始”,美國(guó)數(shù)學(xué)教育家 M·克萊因(M. Kline)曾說(shuō)：“任何一門(mén)學(xué)科最初都是通過(guò)直觀的方法建立起來(lái)的，每一位數(shù)學(xué)家都是直觀地思考問(wèn)題，然后才用演繹的形式，用文字、數(shù)學(xué)符號(hào)和普通的邏輯來(lái)表述他的論點(diǎn).因此，數(shù)學(xué)理解乃是通過(guò)直觀的方法來(lái)獲得的，而邏輯的陳述充其量不過(guò)是學(xué)習(xí)的輔助工具.”

徐利治“學(xué)習(xí)一條數(shù)學(xué)定理及其證明，只有當(dāng)我們把定理的直觀含義和直觀思路弄明白了，才認(rèn)為真正懂了”,想象是在研究圖形的性質(zhì)(即圖形的形狀、數(shù)的大小和位置關(guān)系)時(shí)，除直接給出一些基本圖形的性質(zhì)外，總要根據(jù)所給具體圖形的特點(diǎn)和解決問(wèn)題的需要出發(fā)，把它分解和重新組合，即在頭腦中進(jìn)行操作，出現(xiàn)一些異于當(dāng)前所給圖形的一些新的圖形，這就是“想象”，直觀想象主要包括由式想(構(gòu))圖及由圖想(構(gòu))式或空間想象三個(gè)方面.在筆者的教學(xué)實(shí)踐中，十分重視學(xué)生直觀想象素養(yǎng)地培養(yǎng).具體的做法有三個(gè)方面:

二是利用數(shù)形結(jié)合由式想圖，由圖構(gòu)式進(jìn)行直觀想象.如三角恒等式：sin 2A+sin 2B+sin 2C=4sinAsinBsinC(其中A,B,C為三角形三內(nèi)角)的構(gòu)造，可從半徑為R圓的內(nèi)接三角形分割成3個(gè)小三角形后，由面積不變性得S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC化簡(jiǎn)可得上述等式.

三是利用立體幾何素材引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行直觀想象.如“設(shè)m平面α內(nèi)的一條定直線，P是平面α外的一個(gè)定點(diǎn)，動(dòng)直線n經(jīng)過(guò)點(diǎn)P且與m成30度角，則直線n與平面α的交點(diǎn)的Q軌跡是什么？”經(jīng)過(guò)直觀想象直線n掃過(guò)的曲面是圓錐，n是其中的一條母線，進(jìn)一步由圓錐曲面被平面所截理論，易知Q的軌跡是雙曲線.又如立體幾何老教材的中線面垂直的判定定理，許多老師認(rèn)為高考不可能考該題的證明，于是上課時(shí)偷工減料，甚至不足十五分鐘就講完新課，然后進(jìn)行課堂練習(xí).而我認(rèn)為這是培養(yǎng)學(xué)生直觀想象的好素材，總是耐心地啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生如何架設(shè)輔助線，發(fā)現(xiàn)證明思路，每次授課在定理推導(dǎo)與證明上至少耗時(shí)三十五分鐘以上，在培養(yǎng)學(xué)生空間想象，構(gòu)造性思維下足功夫.

2.6 依“課”而行，追求恰當(dāng)?shù)乃季S張力

沒(méi)有思維含量的課肯定不是一堂好課，反之過(guò)度的思維含量也會(huì)溢出學(xué)生的認(rèn)知負(fù)荷，影響學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，因此，成功的數(shù)學(xué)課，強(qiáng)調(diào)的是應(yīng)依“課”而行，追求恰當(dāng)?shù)乃季S張力.在長(zhǎng)期的教學(xué)教研實(shí)踐中，我根據(jù)不同的課型，構(gòu)建了不同課型的思維課堂，下面以概念課、命題課(定理、性質(zhì)、公式、法則、公理等)、習(xí)題課、小結(jié)課為例作一展開(kāi).

命題課常常設(shè)計(jì)成“創(chuàng)設(shè)情境、提出問(wèn)題，分析推理、證明命題，嘗試應(yīng)用、鞏固理解，深化拓展、形成結(jié)構(gòu)，目標(biāo)檢測(cè)、總結(jié)歸納”五環(huán)節(jié)進(jìn)行教學(xué).其中第二環(huán)節(jié)是設(shè)計(jì)的重點(diǎn)，它要求學(xué)生善于分析命題的條件與結(jié)論，嘗試證明或操作確認(rèn)，并指出命題的適用范圍及運(yùn)用時(shí)的注意事項(xiàng).

習(xí)題課常常設(shè)計(jì)成“復(fù)習(xí)回顧、點(diǎn)明課題，例題示范、釋疑解惑，變式訓(xùn)練、及時(shí)內(nèi)化，當(dāng)堂檢測(cè)、診斷反饋，歸納總結(jié)、反思提升”五環(huán)節(jié)進(jìn)行教學(xué)，其中第二環(huán)節(jié)中教師通過(guò)小步子、小轉(zhuǎn)彎方式，運(yùn)用引伸、變化條件、改變結(jié)論、背景復(fù)雜化、配置實(shí)際應(yīng)用環(huán)境等手段配置變式訓(xùn)練題目或題組，使知識(shí)前掛后聯(lián).

小結(jié)課常常設(shè)計(jì)成“知識(shí)梳理、構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)，典例精講、變式訓(xùn)練，方法提煉、歸納總結(jié)，當(dāng)堂檢測(cè)、鞏固拓展，布置作業(yè)，應(yīng)用遷移”五環(huán)節(jié)進(jìn)行教學(xué)，其中梳理整合，構(gòu)建體系，反思升華重點(diǎn)進(jìn)行關(guān)注.

總之，思維課堂是保護(hù)思維、發(fā)展思維的課堂，它的基本教學(xué)要素是有問(wèn)題、有思考、有互動(dòng)、有引導(dǎo)、有實(shí)效、有激勵(lì).具體地講，有一個(gè)能引發(fā)思考探究的問(wèn)題；有深層次的思考，觸發(fā)學(xué)生從低階思維到高階思維；有師生之間、生生之間的互動(dòng)交流與思維碰撞；有教師的精心點(diǎn)撥與釋疑引領(lǐng)；有教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成與核心素養(yǎng)的發(fā)展；有對(duì)優(yōu)秀思維火花綻放的肯定，也有對(duì)跑偏思維的保護(hù).教學(xué)的主要環(huán)節(jié)有：情境創(chuàng)設(shè)、提出問(wèn)題，問(wèn)題驅(qū)動(dòng)、探究釋疑，自主建構(gòu)、內(nèi)涵揭示，變式遷移、鞏固應(yīng)用等.新課教學(xué)時(shí)，一般通過(guò)環(huán)環(huán)相扣的活動(dòng)設(shè)置與由淺入深的問(wèn)題鏈的安排，采取低起點(diǎn)、小轉(zhuǎn)彎、多提問(wèn)、高落點(diǎn)的教學(xué)方式構(gòu)建思維課堂；復(fù)習(xí)課教學(xué)時(shí)，一般通過(guò)設(shè)計(jì)出思維含量高、思維強(qiáng)度大、新穎、典型梯度合理的問(wèn)題，采取高密度、快節(jié)奏、大容量、滿負(fù)荷的教學(xué)方式構(gòu)建思維課堂，強(qiáng)調(diào)知識(shí)的聯(lián)系性、結(jié)構(gòu)性，幫助學(xué)生建構(gòu)一個(gè)完整的知識(shí)體系.縱觀幾十年的課堂研究與實(shí)踐，無(wú)論什么課型，課堂教學(xué)都能重視學(xué)生興趣的激發(fā)與參與意識(shí)的培養(yǎng)，能站在高等數(shù)學(xué)背景或知識(shí)系統(tǒng)角度進(jìn)行教授，重視學(xué)習(xí)內(nèi)容的再加工與教學(xué)活動(dòng)及問(wèn)題鏈的設(shè)計(jì)，重視“腳手架”的搭建與實(shí)施，實(shí)行變式教學(xué)，經(jīng)常性地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行聯(lián)想、推廣、變形，做到居高臨下，信手拈來(lái)，講而不灌，導(dǎo)而勿牽，聚焦思維，誘而多變.數(shù)學(xué)教學(xué)始終追求有思維含量的教學(xué)，既有“溫度”，又有“寬度”、“厚度”、“深度”，充滿張力.

3 從思維課堂到個(gè)人教學(xué)特色的形成

長(zhǎng)期的教學(xué)教研的耕耘，尤其一線二十二年數(shù)學(xué)思維課堂教學(xué)實(shí)踐，使我對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)認(rèn)識(shí)越來(lái)越深入，課堂教學(xué)的效果也越來(lái)越顯著，漸漸地形成了“細(xì)、實(shí)、活、深、趣”個(gè)人教學(xué)風(fēng)格，所謂“細(xì)”：知識(shí)講解細(xì)致入微；“實(shí)”：夯實(shí)基礎(chǔ)，落實(shí)知識(shí)點(diǎn)；“活”：立足數(shù)學(xué)思想方法，靈活教導(dǎo)，活在教學(xué)方法的選擇之中；活在概念的理解之中，活在一題多解、多變、多用之中，活在思維的遷移之中；“深”：深入淺出，魚(yú)翔淺底，教學(xué)時(shí)對(duì)某一概念、公式、法則、定理、例題、習(xí)例進(jìn)行適當(dāng)?shù)募由钛油?，進(jìn)行“趁熱打鐵”、“順?biāo)浦邸?、“水到渠成”式地使學(xué)生的思維得到自然的延伸，從而讓學(xué)生領(lǐng)略到“曲徑通幽，豁然開(kāi)朗”的美好感覺(jué).當(dāng)然長(zhǎng)期堅(jiān)持思維課堂教學(xué)并非易事，它必須以個(gè)人的專業(yè)素養(yǎng)作支撐，為此自己付出了畢生的精力，邊“教”邊“研”，邊“研”邊“教”，幾十年如一日，努力提升自已的專業(yè)素養(yǎng).最后值得說(shuō)明的是思維課堂并不排斥課堂教學(xué)的有效性，它與其他的教學(xué)方式互為補(bǔ)充.