李海軍

(長春吉大附中實驗學校 130021)

1 引言

《數(shù)學通報》2017年第5期問題2361[1]如下：

若x,y,z是正實數(shù)，證明：

其中“∑”表示輪換對稱和.

供題者在《數(shù)學通報》2017年第6期[2]中給出了解答. 本文對該不等式進了探究，不僅得到了該不等式的另解，而且通過從幾個方面深入探究，推廣得到了幾個定理.

2 該不等式的另解

由齊二次不等式可知3∑x2≥(∑x)2，故只需證明：

上式顯然成立.

3 該不等式的探究與推廣

注意到原不等式是輪換式，因此利用對稱性，我們把分母輪換變成分子中相應(yīng)的另一個變量，即可得到如下不等式：

命題1若x,y,z是正實數(shù)，則

將原不等式與命題1中不等式相結(jié)合，可以得到如下不等式：

命題2若x,y,z是正實數(shù)，則

命題2中的不等式已經(jīng)具備極好的對稱性，故可嘗試將其推廣至n元形式：

定理1已知x1,x2,…,xn為正實數(shù)，則

針對原不等式，考慮讓分子中出現(xiàn)的變量，在分母中均出現(xiàn)，即可得到如下不等式：

命題3若x,y,z是正實數(shù)，則

命題3中的不等式同樣具備極好的對稱性，故可嘗試將其推廣至n元形式：

針對原不等式，考慮把分母的變量變成分子中未曾出現(xiàn)的變量，即可得到如下不等式：

命題4若x,y,z是正實數(shù)，則

命題4中的不等式同樣具備極好的對稱性，故可嘗試將其推廣至n元形式：

定理3若a1,a2,…,an為正實數(shù)，則

在得到定理3后，我們嘗試在指數(shù)上進行推廣，得到如下不等式：

定理4若a1,a2,…,an為正實數(shù)，k為正實數(shù)，則

4 主要結(jié)論的證明

定理1的證明

注命題1可由2中所述另解方法類似證明. 而在定理1中令n=3，即得命題2的結(jié)論.

定理2的證明

接下來我們比較等式左右兩邊(xi-xj)2的系數(shù)，

左邊(x1-x2)2的系數(shù)為

由對稱性可知，對任意的1≤i

注在定理2中令n=3，即得命題3的結(jié)論.

由冪平均不等式可知

故只需證明

再由冪平均不等式可得

注在定理4中，令n=3,k=2，即得命題4；令k=2，即得定理3.