2022年4月號問題解答

(解答由問題提供人給出)

(浙江省慈溪實驗中學 華漫天 315300)

證明分別過點A、點B作y軸與x軸的平行線交于點D，過點C作AD的垂線交于點E，易知△ABD≌△CAE，不妨令BD=AE=m，AD=CE=n，令A(asecθ,atanθ)，則

B(asecθ-m,atanθ-n)，C(asecθ+n,atanθ-m)，

相加得2a(n-m)secθ+2a(m+n)tanθ=0，

相減得2a(n+m)secθ+2a(m-n)tanθ

=2m2-2n2，

得a[n+m+(m-n)sinθ]=(m2-n2)cosθ，②

①代入②并化簡得

即a2(m2+n2)2=mn(m2-n2)2，

則a2d4=d6sinαcosα(cos2α-sin2α)2，

令sin 2α=t，則sin 2αcos22α=t(1-t2)=t-t3,

令f(t)=t-t3，則f′(t)=1-3t2，

從而sin 2αcos22α=t(1-t2)=t-t3

圖1

(北京市第八十中學 徐紅 100102)

證明如圖2，延長CE1交AB于點F1，延長CE2交AB于點F2.

圖2

因為∠ABD1=∠CBD2，

所以∠ABD2=∠CBD1.

所以Rt△BE1F1∽Rt△BE2C.

①

同理可知Rt△BE2F2∽Rt△BE1C.

②

由①×②得CE1·CE2=E1F1·E2F2.

③

因為∠BD1C=90°-∠CBD1，

∠BF2E2=90°-∠ABE2，

所以∠BD1C=∠BF2E2.

所以∠AD1B=∠AF2C.

④

同理可得△ABD2∽△ACF1.

⑤

當且僅當∠ABC的內(nèi)等角線BD1,BD2重合為∠ABC的平分線時，等號成立.

(安徽省無為中學 朱小扣 238300)

(1)式顯然成立，故原不等式得證.

2659如圖，已知在△ABC中，CD平分∠ACB，交AB于D，且(CD·AB)2=2CA·AD·DB·BC，求證：∠ACB=90°.

(江蘇省溧陽市光華高級中學 錢德全 213300;江蘇省溧陽市永平小學 張曉蔚 213333)

因為(CD·AB)2=2CA·AD·DB·BC，

所以(CD·AB)2=2(AC·BD)2，

由勾股定理的逆定理得∠CED=90°，

所以四邊形CEDF為正方形，則∠ACB=90°.

(安徽省南陵縣城東實驗學校 鄒守文 241300)

證明設△ABC的三邊長為a,b,c，面積為△，半周長為p，由旁切圓半徑公式，

(p-a)ra=△=pr,(p-b)rb=△=pr,

(p-c)rc=△=pr，

由角平分線長公式

于是只需證明

因為a+b+c=2p,

ab+bc+ca=p2+4Rr+r2,

abc=4Rrp，

(a+b)(b+c)(c+a)

=(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc,

于是上式又等價于

?p2+2Rr+r2≤4R2+8Rr.

由Gerresten不等式p2≤4R2+4Rr+3r2和Euler不等式R≥2r，有

p2+2Rr+r2≤4R2+4Rr+3r2+2Rr+r2

=4R2+6Rr+4r2≤4R2+6Rr+2Rr

=4R2+8Rr.

故所證成立.

2022年5月號問題

(來稿請注明出處——編者)

(浙江省海鹽縣元濟高級中學 張艷宗 314300；北京航空航天大學圖書館 宋慶 100191)

(四川成都七中 康盛 610041)

(江蘇省木瀆高級中學 孫國富 215101)

2664在四面體ABCD中，頂點A、B、C、D所對面的面積分別為SA、SB、SC、SD,以AB、CD為棱的二面角分別為〈AB〉、〈CD〉.求證：

(南京師范大學附屬揚子中學 郝結(jié)紅 210048)

(北京中學 史嘉 100028)