于 濤 薛新建

(1.廣東省東莞市教育局教研室 523125； 2.廣東省東莞實(shí)驗(yàn)中學(xué) 523120)

1 問題提出

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的四大主線之一，貫穿必修、選擇性必修和選修課程，在選修和選擇性必修課程中，函數(shù)作為獨(dú)立主題，占據(jù)課程的重要板塊；在選擇性必修的五類課程中都有函數(shù)主題的相關(guān)專題.函數(shù)作為一種思想方法與其他主題內(nèi)容密切相關(guān)，例如預(yù)備知識主題中的一元二次不等式的解法，立體幾何動(dòng)態(tài)過程中的最優(yōu)解問題，概率分布列本身就是隨機(jī)事件賦值與發(fā)生概率構(gòu)成的函數(shù)，數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)更是離不開函數(shù)模型.函數(shù)主題蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想豐富，函數(shù)與方程，轉(zhuǎn)化與化歸，數(shù)形結(jié)合以及分類討論等思想綜合體現(xiàn)；蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)方法多樣，換元法、待定系數(shù)法、圖象法、分離變量法等方法穿插應(yīng)用；蘊(yùn)含的核心素養(yǎng)全面，數(shù)學(xué)運(yùn)算，邏輯推理，數(shù)學(xué)抽象，數(shù)學(xué)建模等素養(yǎng)立意高深.

在新課程與新高考的雙重改革背景下，文理不分科，越來越多省份加入使用全國卷，這就意味著全國卷出題者對各部分知識的綜合考查需要做出更多的權(quán)衡，才能具有更好的普適性和選拔性.作為傳統(tǒng)考查重點(diǎn)的函數(shù)與導(dǎo)數(shù)模塊，在高考考查中有何規(guī)律，新高考卷有哪些變化，今后的備考應(yīng)該注意什么，都是一線教師亟待了解的.

2 研究框架

采用定性定量相結(jié)合和案例分析的研究方法，分選擇填空題和解答題兩部分，對函數(shù)與導(dǎo)數(shù)考題中的知識點(diǎn)和問題類型進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析、SOLO分類層次劃分及統(tǒng)計(jì)分析，最后給出整體研究結(jié)論及建議.

2.1 研究對象

2017—2020年全國Ⅰ卷(理科)使用省份最多，最具代表性，選為研究對象；2020年北京、天津、山東、海南四省市單獨(dú)命制新高考卷，選山東卷為研究對象；2021年全國Ⅰ卷和Ⅱ卷合并為全國乙卷，供12個(gè)省份使用，同時(shí)有7省啟用新高考Ⅰ卷，選用新高考Ⅰ卷為研究對象.2017-2020年全國Ⅰ卷(理科)和2020-2021年新高考卷共6套卷分兩組進(jìn)行分析，意在對照新高考卷與全國Ⅰ卷(理科)的一致性和差異性.

對上述試卷中的函數(shù)與導(dǎo)數(shù)部分進(jìn)行研究，不含三角函數(shù)和數(shù)列，因這兩部分內(nèi)容目前在高考中占有獨(dú)立板塊，也有自身獨(dú)特的研究方法.

2.2 知識點(diǎn)

中國高考評價(jià)體系將高考“考什么”的問題總結(jié)為“四層”，即“核心價(jià)值、學(xué)科素養(yǎng)、關(guān)鍵能力、必備知識”，知識點(diǎn)是必備知識的基本要素，是培養(yǎng)關(guān)鍵能力的載體，也是形成學(xué)科素養(yǎng)的必要條件.對高考出現(xiàn)過的知識點(diǎn)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，有助于師生明確高考考查的重難點(diǎn)，同時(shí)為下一階段對考題的SOLO分類做好準(zhǔn)備.下面先對知識點(diǎn)分級編碼.

表1采用字母與數(shù)字結(jié)合的編碼方式，例如A2表示函數(shù)性質(zhì)中的奇偶性，G1表示利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性.統(tǒng)計(jì)時(shí)以條件、問題和一般解法涉及到的知識點(diǎn)為統(tǒng)計(jì)對象.

表1 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)知識點(diǎn)分級編碼

2.3 研究理論

SOLO分類理論基于學(xué)生可觀測的學(xué)習(xí)結(jié)果，對學(xué)生在學(xué)習(xí)活動(dòng)中表現(xiàn)出來思維水平的描述更精細(xì)準(zhǔn)確，也可被用于指導(dǎo)教育實(shí)踐，從思維層次角度對試題命制和評價(jià)給出參考標(biāo)準(zhǔn). SOLO分類理論將思維層次劃分為5個(gè)水平：前結(jié)構(gòu)水平、單點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平、多點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平、關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平、拓展抽象結(jié)構(gòu)水平.其中“前結(jié)構(gòu)水平”在試題評價(jià)中無法體現(xiàn)，故不作研究，其余結(jié)構(gòu)水平對應(yīng)特征和舉例如表2所示.

表2 試題SOLO水平劃分標(biāo)準(zhǔn)

對試題的SOLO水平劃分，受主觀性影響較大，經(jīng)過和多位同仁以及試題評價(jià)專家商討，達(dá)成水平劃分的幾個(gè)一般性共識：(1)對于SOLO水平劃分過程中知識點(diǎn)的界定：以高中所學(xué)為準(zhǔn)，一般的運(yùn)算變形不計(jì)入知識點(diǎn)統(tǒng)計(jì)，但導(dǎo)數(shù)運(yùn)算是高中所學(xué)，計(jì)入知識點(diǎn)統(tǒng)計(jì)，并依知識點(diǎn)數(shù)區(qū)別單點(diǎn)和多點(diǎn)結(jié)構(gòu)；(2)對于多點(diǎn)結(jié)構(gòu)和關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)的區(qū)別：以對多個(gè)知識點(diǎn)的整合程度進(jìn)行判定，若只簡單應(yīng)用其他知識點(diǎn)的結(jié)論則為簡單整合，判定為多點(diǎn)結(jié)構(gòu)，若不同線索獨(dú)立運(yùn)算結(jié)果并行處理或需綜合多個(gè)線索才能形成解題思路則計(jì)入整合，判定為關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)；(3)抽象拓展結(jié)構(gòu)需要從理論的高度分析問題，抽象概括，拓展轉(zhuǎn)化，從而推進(jìn)問題的解決，發(fā)現(xiàn)新知識，提出新猜想，得到開放性結(jié)論等都作為拓展抽象結(jié)構(gòu)的判定依據(jù).

3 試題統(tǒng)計(jì)分析

選擇填空題不需要解答過程，難度相對較小，考查學(xué)生思維的多樣性和靈活性；解答題解題過程要充分展示，學(xué)生不但要理解數(shù)學(xué)，還要運(yùn)用規(guī)范的語言去表達(dá)數(shù)學(xué)，考查學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和深刻性.考慮到二者在考查形式和側(cè)重點(diǎn)上的很大不同，將這兩類題目分別進(jìn)行知識點(diǎn)和SOLO層次劃分統(tǒng)計(jì).

3.1 選擇填空題統(tǒng)計(jì)分析

按照前述理論框架，對2017—2021年高考選擇填空題分兩組統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：

將表3中的知識點(diǎn)利用頻數(shù)條形圖進(jìn)行統(tǒng)計(jì)得到圖1：

表3 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)選填題統(tǒng)計(jì)

圖1

結(jié)合表3和圖1分析，函數(shù)與導(dǎo)數(shù)選擇填空題知識點(diǎn)分布范圍廣，主干知識覆蓋面全，函數(shù)性質(zhì)中的單調(diào)性與奇偶性、函數(shù)圖象、導(dǎo)數(shù)運(yùn)算及其幾何意義頻率居高，幾乎年年必考.將新高考卷與全國Ⅰ卷(理科)對比不難看出，新高考卷涵蓋到的函數(shù)與導(dǎo)數(shù)部分的基礎(chǔ)知識點(diǎn)更廣泛，每題涉及到的知識點(diǎn)更多更具綜合性，對學(xué)生基礎(chǔ)知識的掌握要求更高.

將表3中的問題類型利用頻數(shù)條形圖進(jìn)行統(tǒng)計(jì)得到圖2：

圖2

結(jié)合表3和圖2分析，函數(shù)與導(dǎo)數(shù)選擇填空題考查到的問題類型相對穩(wěn)定，其中抽象不等式、比較大小和最值問題是對函數(shù)單調(diào)性的考查，模型問題和新定義問題是函數(shù)在實(shí)際問題或其他模塊知識中的應(yīng)用，最值問題和零點(diǎn)問題要結(jié)合單調(diào)性和圖象共同求解.將問題類型與知識框架相結(jié)合得到圖3，不難發(fā)現(xiàn)，高考主要考查函數(shù)性質(zhì)、函數(shù)圖象、函數(shù)應(yīng)用和導(dǎo)數(shù)應(yīng)用四方面知識. 新高考卷比全國Ⅰ卷(理科)多了函數(shù)模型和新定義問題，體現(xiàn)了知識考查的“應(yīng)用性”和“創(chuàng)新性”.

圖3 問題類型與知識框架圖

將表3中函數(shù)與導(dǎo)數(shù)選擇填空題的SOLO分類利用散點(diǎn)圖進(jìn)行統(tǒng)計(jì)得到圖4：

結(jié)合表3和圖4分析，函數(shù)與導(dǎo)數(shù)模塊選填題的SOLO層次以多點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平(M)、關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平(R)和拓展抽象結(jié)構(gòu)水平(E)為主，體現(xiàn)高考知識考查的“綜合性”特點(diǎn)； 2021年新高考卷出現(xiàn)一道單點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平(U)考題，沒有多點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平考題，說明試題SOLO層次穩(wěn)中有變，向關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平和拓展抽象結(jié)構(gòu)水平進(jìn)一步集中，體現(xiàn)了函數(shù)與導(dǎo)數(shù)部分考題考查“關(guān)鍵能力”和“學(xué)科素養(yǎng)”的功能性進(jìn)一步增強(qiáng).

圖4

3.2 解答題統(tǒng)計(jì)分析

按照前述理論框架，對2017—2021年高考解答題分兩組統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：

將表4中的知識點(diǎn)和問題類型利用頻數(shù)條形圖進(jìn)行統(tǒng)計(jì)得到圖5和圖6：

表4 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)解答題統(tǒng)計(jì)

圖5

圖6

對圖5和圖6分析，函數(shù)與導(dǎo)數(shù)解答題第1問多以討論單調(diào)性或極值的問題形式，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的知識，第2問多以零點(diǎn)問題、不等式證明或恒成立求參的問題形式，考查運(yùn)用函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想和轉(zhuǎn)化與化歸思想等各種數(shù)學(xué)思想解決問題的能力.無論知識還是問題類型，都呈現(xiàn)出較強(qiáng)的收斂性.新高考卷在函數(shù)與導(dǎo)數(shù)解答題部分，延續(xù)了全國Ⅰ卷的傳統(tǒng)考查熱點(diǎn)，無太大變化，保證了新舊課程標(biāo)準(zhǔn)公共的重點(diǎn)內(nèi)容的考查，使高考試卷改革平穩(wěn)推進(jìn).

將表4中函數(shù)與導(dǎo)數(shù)解答題的SOLO分類結(jié)果利用散點(diǎn)圖進(jìn)行統(tǒng)計(jì)得到圖7：

圖7

對圖7分析，函數(shù)與導(dǎo)數(shù)模塊解答題第1問的SOLO層次以多點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平(M)和關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平(R)為主，只要學(xué)生注意夯實(shí)基礎(chǔ)，具備了函數(shù)求導(dǎo)和判斷單調(diào)性等基礎(chǔ)知識，不需要進(jìn)行深入的關(guān)聯(lián)，即可拿下第1問分?jǐn)?shù)，體現(xiàn)高考“低起點(diǎn)”特點(diǎn); 第2問的SOLO層次以關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平(R)和拓展抽象結(jié)構(gòu)水平(E)為主，題目需要學(xué)生對各條線索或綜合考慮探索方向，或抽象拓展提出假設(shè)，或變形轉(zhuǎn)化抓住要點(diǎn)，或大膽猜想嚴(yán)密論證才能找到解決問題的辦法，體現(xiàn)高考“高落差”的特點(diǎn).

4 分析總結(jié)和教學(xué)建議

通過對函數(shù)與導(dǎo)數(shù)模塊高考試題的統(tǒng)計(jì)分析，從知識點(diǎn)和問題類型來看，新高考卷的函數(shù)與導(dǎo)數(shù)模塊，一方面解答題很好地繼承了全國Ⅰ卷(理)以往的考查形式和重點(diǎn)，保證了高考改革的平穩(wěn)過渡，另一方面選擇填空題又做了很好的嘗試，在與其他學(xué)科或者板塊知識融合領(lǐng)域，新情境新定義領(lǐng)域，充分地考查了學(xué)生的關(guān)鍵能力和學(xué)科素養(yǎng).從SOLO分類層次的統(tǒng)計(jì)結(jié)果來看，函數(shù)與導(dǎo)數(shù)模塊的選擇填空題以關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平考題為基準(zhǔn)，搭配以多點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平和拓展抽象結(jié)構(gòu)水平考題，體現(xiàn)了試卷搭配的合理性和層次性.2021年新高考Ⅰ卷函數(shù)選填題以一道單點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平考題搭配關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平和拓展抽象結(jié)構(gòu)水平考題，說明了函數(shù)與導(dǎo)數(shù)模塊可以根據(jù)其他章節(jié)難易情況進(jìn)行調(diào)整，使整卷的“基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性”特點(diǎn)更加鮮明，起到“調(diào)和劑”的功能性作用；解答題以拓展抽象結(jié)構(gòu)水平考題為基準(zhǔn)，基本處于壓軸題的位置，學(xué)生在有限時(shí)間內(nèi)解決此類問題的難度非常大，體現(xiàn)高考題目的高水平和選拔性，實(shí)現(xiàn)“立德樹人、服務(wù)選才、引導(dǎo)教學(xué)”的高考目標(biāo).

基于統(tǒng)計(jì)結(jié)果和上述思考，對教學(xué)提出如下建議：

(1)強(qiáng)化四基，注重知識框架的完善

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)模塊中相當(dāng)一部分多點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平考題，針對“必備知識”進(jìn)行考查，對知識面提出了較高的要求.高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，學(xué)生必須搭建完善的知識框架，強(qiáng)化四基，培養(yǎng)運(yùn)用知識解決問題的能力，提升相應(yīng)的學(xué)科素養(yǎng)，才能為大學(xué)數(shù)學(xué)的進(jìn)一步學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).

教師可以將單元整體教學(xué)融入課堂，在學(xué)生接納知識之初就進(jìn)行系統(tǒng)的設(shè)計(jì)，使一般性的統(tǒng)一觀念，成為學(xué)生搭建知識框架的脈絡(luò)；注重知識的延申和總結(jié)，延申是拓展和提升，總結(jié)是定位和梳理，二者結(jié)合，逐漸豐富知識框架；注重知識的應(yīng)用，將所學(xué)知識融入不同板塊，不同學(xué)科與不同情境，避免知識與生產(chǎn)生活實(shí)踐的脫節(jié)，有利于構(gòu)建知識模塊的邊界.

(2)深挖考題，強(qiáng)化關(guān)聯(lián)點(diǎn)和拓展點(diǎn)

對于關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平考題，要找準(zhǔn)關(guān)聯(lián)點(diǎn)展開教學(xué).例如表2例2.3，題目中有“奇偶性”、“單調(diào)性”、“零點(diǎn)”三條線索，如何將這些線索關(guān)聯(lián)起來？當(dāng)然是“函數(shù)圖象”，在得到函數(shù)f(x)的完整圖象后，還要與問題不等式“xf(x-1)≥0”關(guān)聯(lián)思考，確定思路方向：平移得到f(x-1)的圖象或者對x-1換元求解.運(yùn)用圖象對條件進(jìn)行關(guān)聯(lián)是解決函數(shù)問題的通法，條件與問題的關(guān)聯(lián)思考體現(xiàn)了綜合法與分析法的數(shù)學(xué)基本思維方式.針對關(guān)聯(lián)點(diǎn)的教學(xué)，可以促進(jìn)知識的橫向融合，形成更強(qiáng)的解決問題能力.

對于拓展抽象結(jié)構(gòu)水平考題，要抓住拓展點(diǎn)進(jìn)行強(qiáng)化訓(xùn)練. 例如表2例2.4，“例題具體特征”一欄簡析了求切線思路中的拓展點(diǎn)，即“形—數(shù)—形—數(shù)”的反復(fù)轉(zhuǎn)化.該題還有畫切線的思路，即通過作圖，發(fā)現(xiàn)“點(diǎn)(a,b)只要在y=ex圖象下方且在x軸上方，即可作出兩條切線”，要將這一“形”的發(fā)現(xiàn)轉(zhuǎn)化為選項(xiàng)中“數(shù)”的結(jié)論，就要將“點(diǎn)在圖象下方且在x軸上方”這一寬泛結(jié)論拓展為“點(diǎn)在圖象上某一點(diǎn)的下方且在x軸上方”，才能解決問題.針對拓展點(diǎn)的教學(xué)，能夠鼓勵(lì)學(xué)生大膽嘗試，勇于創(chuàng)新，提升學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng)和理性精神.

(3)課堂建模，培養(yǎng)應(yīng)用和創(chuàng)新意識

2020新高考山東卷和2021新高考Ⅱ卷都有豐富的生產(chǎn)生活情境問題，通過情境和情境活動(dòng)兩類載體實(shí)現(xiàn)“四層”考查內(nèi)容和“四翼”考查要求.在課堂引入數(shù)學(xué)建模，搭建數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的橋梁，學(xué)生在實(shí)際情境中發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、建立模型并解決問題，經(jīng)歷完整的數(shù)學(xué)建模，對學(xué)生應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識的培養(yǎng)具有顯見的促進(jìn)作用.限于時(shí)間及條件原因，高考對于數(shù)學(xué)建模的考查集中在建立模型(模型選擇和模型求解)和模型應(yīng)用兩個(gè)環(huán)節(jié)，對數(shù)學(xué)知識的關(guān)聯(lián)性和拓展性的較高要求，可以在建模課堂上逐步達(dá)到.