方厚石 錢(qián) 寧 董入興

(1.金陵中學(xué)河西分校210019；2.江蘇省蘇州實(shí)驗(yàn)中學(xué) 215011；3.江蘇省新海中學(xué) 222006)

2020新高考卷與2021八省高三適應(yīng)性考試，讓大家認(rèn)識(shí)到未來(lái)的高考復(fù)習(xí)既沒(méi)有考綱指導(dǎo)，也沒(méi)有模式參照，要想學(xué)生能夠適應(yīng)這種新的高考要求，唯有數(shù)學(xué)教學(xué)回歸本質(zhì)，回歸基礎(chǔ)，落實(shí)學(xué)科核心素養(yǎng)，以不變應(yīng)萬(wàn)變，學(xué)生方能在新的高考中脫穎而出.回歸本質(zhì)，落實(shí)素養(yǎng)是目的，回歸基礎(chǔ)是方式，手段，基礎(chǔ)不等于簡(jiǎn)單，高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)是指數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，簡(jiǎn)稱“四基”.回歸基礎(chǔ)就是幫助學(xué)生建構(gòu)系統(tǒng)的、聯(lián)系的知識(shí)體系，將知識(shí)與問(wèn)題建立合理的聯(lián)結(jié)，讓學(xué)生由知識(shí)能想到問(wèn)題，由問(wèn)題能聯(lián)系到知識(shí).回歸基礎(chǔ)就是培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)基本思想分析和解決問(wèn)題的習(xí)慣與能力，總結(jié)問(wèn)題解決的基本視角.回歸基礎(chǔ)就是讓學(xué)生體驗(yàn)不同的解題視角，在體驗(yàn)中學(xué)會(huì)分析、判斷與選擇，掌握解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本技能，促進(jìn)學(xué)生做對(duì)、做巧，最終實(shí)現(xiàn)學(xué)生能力的形成與素養(yǎng)發(fā)展.

1 教學(xué)過(guò)程

1.1 知識(shí)與問(wèn)題聯(lián)結(jié)建構(gòu)

師：前面我們復(fù)習(xí)了橢圓的方程與幾何性質(zhì)，下面我們繼續(xù)研究橢圓的相關(guān)性質(zhì).

問(wèn)題2：你能利用上面的結(jié)論證明PA⊥PB嗎？

即kPO·kPB=-1，所以PA⊥PB.

師：生2通過(guò)“點(diǎn)差法”得出結(jié)論，再找kPO與kAB的關(guān)系從而證出結(jié)論.與本題相似的還有2019年全國(guó)(Ⅱ)卷21題，大家可以課后研究.關(guān)于橢圓這一性質(zhì)的應(yīng)用遠(yuǎn)不止此，我們繼續(xù)思考下面問(wèn)題.

學(xué)生能感知到，但是證明不了.

生3：由題目知直線AB斜率一定存在，令直線AB的方程為y=kx+b，聯(lián)立方程

化簡(jiǎn)得b=0，所以直線過(guò)定點(diǎn)(0,0).

追問(wèn)3：根據(jù)以上兩個(gè)驗(yàn)證經(jīng)驗(yàn)，你能對(duì)問(wèn)題3進(jìn)行證明嗎？

利用韋達(dá)定理代入化簡(jiǎn)得t(t-y0+kx0)=0，對(duì)任意的k和(x0，y0)都成立，則t=0，即直線AB過(guò)定點(diǎn)(0,0).

師：非常了不起！生5沿著前面兩個(gè)特例解決思路證明了問(wèn)題3的一般性，這個(gè)化簡(jiǎn)計(jì)算量是相當(dāng)大的，通過(guò)上面的證明我們可以進(jìn)一步提出猜想.

師：到目前為止，我們一直在聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理進(jìn)行求解，這樣做可行，但計(jì)算量大，短時(shí)間內(nèi)做出來(lái)有難度.

1.2 視角與解法分析指導(dǎo)

追問(wèn)1：根據(jù)這些條件，直線AB該怎么表示？

師：兩點(diǎn)式找不到解題方向，不妨化簡(jiǎn)AB：(y1-y2)x-(x1-x2)y+x1y2-x2y1=0.

追問(wèn)2：接下來(lái)的目標(biāo)是什么？

生8：尋找(x1y2-x2y1)與(y1-y2)，(x1-x2)的關(guān)系.

x1y2-2x2y1=x1+2x2-4y1-2y2-2，

這一個(gè)式子解決不掉問(wèn)題，

x2y1-2x1y2=x2+2x1-4y2-2y1-2，

師：雖然經(jīng)歷了很多困難，但是經(jīng)過(guò)共同努力，我們從結(jié)論出發(fā)還是找到了新的問(wèn)題解決突破，而且這種方法與聯(lián)立方程相比，計(jì)算量減少非常明顯，值得研究.

追問(wèn)3：現(xiàn)在從結(jié)論角度來(lái)思考問(wèn)題4的證明？

生9：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，P′(-x0，-y0)則AB：

(y1-y2)x-(x1-x2)y+x1y2-x2y1=0，

又(x0，y0)≠(0,0)，

生10：因?yàn)橹本€PA，PB都過(guò)P點(diǎn)，且kPA·kPB=-1，不妨把直線PA，PB看成過(guò)P斜率為k(k存在)直線的兩個(gè)不同值k1和k2，把直線PA和PB抽象為y=k(x-2)+1，且k1k2=-1，令直線AB方程為y=k′x+b，

兩次聯(lián)立方程所得的x等價(jià)，

化簡(jiǎn)得到關(guān)于k的一元二次方程

(2b+2+4k′)k2+(4-4k′)k+b-1-2k′=0，

利用k1·k2=-1，得

求直線AB過(guò)定點(diǎn)，即找m與n的關(guān)系，因?yàn)閤2+2y2=6，所以

[(x-2)+2]2+2[(y-1)+1]2=6，

(x-2)2+4(x-2)+4(y-1)+2(y-1)2=0，

(x-2)2+2(y-1)2+4[(x-2)+(y-1)]·

[m(x-2)+n(y-1)]=0，化簡(jiǎn)

(1+4m)(x-2)2+(2+4n)(y-1)2+4(m+n)·

(x-2)(y-1)=0，

代入lAB:m(x-2)+n(y-1)=1，

師：厲害！兩位完全超出我的想象，你們能告訴我們一下你們的思路嗎？

師：漂亮！2020山東這道高考題，如果解決了直線MN過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，后面的問(wèn)題就一目了然了.

1.3 問(wèn)題與研究意識(shí)培養(yǎng)

問(wèn)題7：經(jīng)過(guò)以上學(xué)習(xí)，你能提出一個(gè)有探究意義的問(wèn)題嗎?

生12：若kPA+kPB=λ，則直線AB過(guò)定點(diǎn).

師：好！提出一個(gè)問(wèn)題比解決一個(gè)問(wèn)題更有意義，這類直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題還有其它的呈現(xiàn)形式有待大家去探索.這一橢圓的性質(zhì)雖然探究了三節(jié)課，但是仍然意猶未盡.不過(guò)通過(guò)同學(xué)們的努力學(xué)習(xí)和深入探究，我感受到大家已經(jīng)具有一定的研究能力，剩下的問(wèn)題將由大家獨(dú)立研究完成.

課題2：請(qǐng)同學(xué)應(yīng)用以上四種不同方法再次驗(yàn)證以上例子，并進(jìn)行歸納、整理，形成復(fù)習(xí)專題.

2 回歸基礎(chǔ)的幾個(gè)著力點(diǎn)

本專題圍繞橢圓的一個(gè)性質(zhì)復(fù)習(xí)展開(kāi)，整節(jié)課圍繞橢圓的一個(gè)性質(zhì)展開(kāi)，從性質(zhì)的證明、應(yīng)用到逆向思考，將橢圓性質(zhì)與一類直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題建立有效聯(lián)結(jié).教學(xué)在幫助學(xué)生建構(gòu)知識(shí)與問(wèn)題聯(lián)結(jié)的過(guò)程中，引導(dǎo)學(xué)生分析問(wèn)題，教會(huì)學(xué)生研究問(wèn)題，給學(xué)生提供充分的體驗(yàn)數(shù)學(xué)基本活動(dòng)的機(jī)會(huì)，發(fā)展學(xué)生解決問(wèn)題的基本技能，滲透數(shù)學(xué)基本思想的應(yīng)用，在落實(shí)“四基”中回歸基礎(chǔ).

2.1 回歸基礎(chǔ)知識(shí)，打通知識(shí)與問(wèn)題的結(jié)點(diǎn)

2.2 回歸基本技能，抓住技能訓(xùn)練的要點(diǎn)

當(dāng)下的高中教學(xué)過(guò)于注重技能，強(qiáng)化機(jī)械的訓(xùn)練，忽視學(xué)生的思維培養(yǎng)，使數(shù)學(xué)育人變?yōu)閿?shù)學(xué)應(yīng)試，導(dǎo)致學(xué)生缺乏主動(dòng)思考習(xí)慣與自主學(xué)習(xí)能力.要解決這個(gè)問(wèn)題，需要我們正確認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)基本技能與數(shù)學(xué)思維的關(guān)系，技能是操作層面，它關(guān)注的是“做對(duì)，做巧”的問(wèn)題，是新課程標(biāo)準(zhǔn)明確提出的基本技能之一.思維是數(shù)學(xué)的本質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維是數(shù)學(xué)育人的根本要求，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維就是教學(xué)生如何想，如何思，是解決學(xué)生“能不能想到”的問(wèn)題.處理數(shù)學(xué)思維與基本技能的關(guān)系就是處理想與做的關(guān)系，我們要做的就是教會(huì)學(xué)生用想來(lái)指導(dǎo)做，在做中反思和總結(jié)想，實(shí)現(xiàn)思維與技能螺旋上升發(fā)展.孔夫子在2000多年前就提出“學(xué)而不思則罔，思而不學(xué)則殆”，這對(duì)我們今天談數(shù)學(xué)思維與基本技能關(guān)系也有重要的指導(dǎo)價(jià)值.

本節(jié)課是解析幾何性質(zhì)復(fù)習(xí)，其特點(diǎn)就是大量數(shù)學(xué)運(yùn)算，而數(shù)學(xué)運(yùn)算是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本手段，也是高中數(shù)學(xué)的學(xué)科核心素養(yǎng)，提升學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算技能是實(shí)施新課程標(biāo)準(zhǔn)的基本要求.為了這一目標(biāo)筆者從問(wèn)題3到問(wèn)題4的問(wèn)題解決，一直沿著學(xué)生的思路，利用聯(lián)立方程和韋達(dá)定理來(lái)解決問(wèn)題，特別是問(wèn)題3和問(wèn)題4的一般情況證明對(duì)學(xué)生運(yùn)算技能培養(yǎng)特別有意義，同時(shí)繁瑣的計(jì)算也激發(fā)學(xué)生從內(nèi)心渴望探索新的簡(jiǎn)潔方法.培養(yǎng)學(xué)生基本運(yùn)算技能，筆者還通過(guò)多題一解和一題多解訓(xùn)練的策略，由于時(shí)間限制，教學(xué)中，前半部分主要突出多題一解，后半部分采用一題多解.這樣不僅可以提升學(xué)生的運(yùn)算能力，還促進(jìn)了學(xué)生對(duì)問(wèn)題的理解，增加學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)歷，為后續(xù)培養(yǎng)學(xué)生的分析能力與選擇能力奠定基礎(chǔ).

2.3 回歸基本思想，找準(zhǔn)問(wèn)題分析的切點(diǎn)

高三復(fù)習(xí)教學(xué)多以解題為主，解題教學(xué)核心任務(wù)是教會(huì)學(xué)生分析與選擇.根據(jù)筆者教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生選擇的依據(jù)主要源于學(xué)生的分析.一個(gè)問(wèn)題，學(xué)生分析的程度決定著選擇解決問(wèn)題方法的角度.如何教會(huì)學(xué)生分析問(wèn)題，筆者一直堅(jiān)持站在數(shù)學(xué)基本思想的視角進(jìn)行分析，視角與方法的區(qū)別就在于視角是方向，方法是途徑，方向可能只有一個(gè)，但方法與途徑可能有多個(gè).從基本思想視角分析問(wèn)題不是單純地口頭強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思想，更不是一節(jié)課下來(lái)總結(jié)各種數(shù)學(xué)思想，而是在問(wèn)題解決過(guò)程中滲透數(shù)學(xué)思想，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)基本思想分析和解決問(wèn)題.本節(jié)課直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題的四種方法實(shí)際上只有兩個(gè)視角，即“結(jié)論視角”和“韋達(dá)定理視角”，生10、11的方法與問(wèn)題3的證法本質(zhì)是一致的，都是利用韋達(dá)定理.不同之處問(wèn)題3的證明是從x的韋達(dá)定理，生10、11從k的韋達(dá)定理，正是這些視角的指引，學(xué)生才創(chuàng)造性提出問(wèn)題解決的思路.當(dāng)學(xué)生拿到一個(gè)問(wèn)題，知道用哪些思想分析，該朝哪些角度思考，需要考慮哪些注意條件，特別是這種行為成為一種無(wú)意識(shí)的行為習(xí)慣時(shí)，學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)基本思想的意識(shí)就初步形成了.本節(jié)還涉及許多數(shù)學(xué)基本思想，在此不再列舉.

2.4 回歸基本活動(dòng)，提供方法選擇的支點(diǎn)

前面我們談到影響學(xué)生分析與選擇的主要因素是數(shù)學(xué)基本思想，影響學(xué)生分析與選擇還有一個(gè)因素也不能忽視——學(xué)生的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).比如恒成立問(wèn)題是選擇分離參數(shù)還是討論最值，不全取決于參數(shù)的系數(shù)符號(hào)，求直線問(wèn)題是設(shè)點(diǎn)還是設(shè)斜率等很多問(wèn)題都沒(méi)有固定的判斷標(biāo)準(zhǔn)，這時(shí)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)對(duì)學(xué)生而言是最直接，最可靠的分析與選擇依據(jù).因此，高三復(fù)習(xí)要盡可能給學(xué)生創(chuàng)造體驗(yàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)的經(jīng)歷.本節(jié)復(fù)習(xí)除了學(xué)生課后自主進(jìn)行的大量研究外，筆者花了三個(gè)多課時(shí)，其目的就是盡可能地為學(xué)生提供參與和體驗(yàn)數(shù)學(xué)研究活動(dòng)的機(jī)會(huì).當(dāng)然，給學(xué)生創(chuàng)造體驗(yàn)活動(dòng)機(jī)會(huì)不是放任學(xué)生學(xué)習(xí)，也不是學(xué)生獨(dú)自學(xué)習(xí)，這需要教師設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)任務(wù)，指導(dǎo)學(xué)生研究，幫助學(xué)生解決困難，在問(wèn)題研究與解決的過(guò)程中放手讓學(xué)生實(shí)踐.比如本節(jié)課的問(wèn)題1，問(wèn)題2，問(wèn)題3的追問(wèn)1等等，特別是最后的兩個(gè)任務(wù)把問(wèn)題設(shè)計(jì)為課題，把作業(yè)變?yōu)檠芯浚瑥浹a(bǔ)課堂空間不足，充分引導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)，親歷數(shù)學(xué)研究過(guò)程，在經(jīng)歷中感受各個(gè)視角的差異，比較優(yōu)劣，促進(jìn)學(xué)生選擇能力的形成.同時(shí)也把學(xué)生推到復(fù)習(xí)的前沿，讓學(xué)生成為復(fù)習(xí)教學(xué)的主體，變被動(dòng)為主動(dòng)，變備考為應(yīng)考.