喻 平

(南京師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 210046)

從教材看，作業(yè)是其內(nèi)容的重要組成部分；從教學(xué)看，作業(yè)是其活動的基本運行環(huán)節(jié).與其他學(xué)科相比，數(shù)學(xué)學(xué)科的作業(yè)尤其多，這是由數(shù)學(xué)學(xué)科概念多、命題多、方法多、應(yīng)用多等特性決定的.因此，研究這具有“四多”的數(shù)學(xué)作業(yè)設(shè)計是教師必須要做的工作，特別是在新課改背景下，教師應(yīng)當(dāng)對數(shù)學(xué)作業(yè)會在哪些方面發(fā)生變化有清晰地認識，更應(yīng)當(dāng)開展如何應(yīng)對新課程的數(shù)學(xué)作業(yè)設(shè)計.

1 數(shù)學(xué)作業(yè)設(shè)計的原則

目標(biāo)性原則.目標(biāo)性原則指要緊密圍繞課程教學(xué)目標(biāo)來設(shè)計作業(yè).課程目標(biāo)是教學(xué)追求的目的和歸宿，教學(xué)設(shè)計、教學(xué)實施與課程目標(biāo)的一致性程度是判斷教學(xué)是否有效的標(biāo)準(zhǔn)，作為教學(xué)過程的基本組成部分，作業(yè)的設(shè)計當(dāng)然只能圍繞實現(xiàn)課程目標(biāo)來開展.

長期以來，中學(xué)數(shù)學(xué)作業(yè)設(shè)計受到中考、高考命題思路的牽制，教師關(guān)注的是考試大綱，大綱之外的內(nèi)容被淡化甚至拋棄.2018年，《普通高中課程方案(2017年版)》(以下簡稱《課程標(biāo)準(zhǔn)2017》)出臺，事實上就取消了考試大綱.2019年，《教育部關(guān)于加強初中學(xué)業(yè)水平考試命題工作的意見》頒布，文中明確提出“取消初中學(xué)業(yè)水平考試大綱，嚴(yán)格依據(jù)義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)命題，不得超標(biāo)命題.”這些文件的頒發(fā)或許會使“考試指揮教學(xué)”的本未倒置現(xiàn)象得到扭轉(zhuǎn).新課程教學(xué)目標(biāo)清晰地指向發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)，整個教學(xué)過程要圍繞如何實現(xiàn)這個目標(biāo)開展，數(shù)學(xué)作業(yè)的設(shè)計和實施當(dāng)然不能例外.基本的作法就是要擯棄過分注重基礎(chǔ)性作業(yè)的慣習(xí)，將實踐性、應(yīng)用性、探究性作業(yè)等納入作業(yè)范疇.因為，單純的基礎(chǔ)性作業(yè)達不到培養(yǎng)學(xué)生高水平核心素養(yǎng)的目標(biāo).

評價性原則.評價性原則指要嚴(yán)格參照學(xué)業(yè)評價體系來設(shè)計作業(yè).《課程標(biāo)準(zhǔn)(2017)》對6個數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)做了三級水平劃分，并對每一個水平的具體涵義與操作做了細致地描述，這個水平劃分框架是數(shù)學(xué)作業(yè)設(shè)計的依據(jù)[1].

日常教學(xué)的作業(yè)與考試評價的功能不完全相同，作業(yè)是訓(xùn)練，考試是檢驗；作業(yè)沒有限定完成時間，考試限定了完成時間.毫無疑問，考試命題必須按照核心素養(yǎng)水平劃分框架來設(shè)計，對一套試題中各個水平的題量要有精確的界定，但是作業(yè)的設(shè)計則不一定完全嚴(yán)格地框定各個水平題目所占的比例.盡管如此，設(shè)計作業(yè)時還是必須明確題目編制的具體目標(biāo)，明確題目是訓(xùn)練學(xué)生的何種關(guān)鍵能力.因此，作業(yè)設(shè)計與課程標(biāo)準(zhǔn)中學(xué)業(yè)質(zhì)量評價的框架是對應(yīng)關(guān)系，不能脫離課程標(biāo)準(zhǔn)而漫無邊際地設(shè)計作業(yè).作為教師，要認真學(xué)習(xí)課程標(biāo)準(zhǔn)，精準(zhǔn)理解學(xué)業(yè)質(zhì)量水平的涵義和操作性定義，這樣才能設(shè)計有針對性的、合理的數(shù)學(xué)作業(yè).

平衡性原則.平衡性原則指要合理平衡促進知識理解和發(fā)展關(guān)鍵能力兩類作業(yè)的權(quán)重來設(shè)計作業(yè).一般說來，基礎(chǔ)性作業(yè)的功能是促進學(xué)生對知識的理解和知識的鞏固，在較低水平上訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)；綜合性、探究性作業(yè)的功能是培養(yǎng)學(xué)生的思維與能力發(fā)展，在較高水平上訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

既然不同類型的作業(yè)在培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的方面扮演著不同的角色，那么就必須考慮不同類型作業(yè)在設(shè)計時的權(quán)重問題.學(xué)生每天都要完成一套作業(yè)，在設(shè)計時要考慮作業(yè)類型的比例.一方面，模仿性、重復(fù)性、記憶性等基礎(chǔ)性作業(yè)應(yīng)當(dāng)有所減少，適當(dāng)增加探究性、綜合性、實踐性作業(yè)，提高這類作業(yè)在總量上的比例；另一方面，還要控制一套作業(yè)中訓(xùn)練核心素養(yǎng)不同水平的作業(yè)比例.難度小的作業(yè)太多，高水平的核心素養(yǎng)得不到發(fā)展；難度大的作業(yè)太多，學(xué)生難以完成，同樣達不到提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目的.如何平衡知識掌握與能力發(fā)展之間的權(quán)重，在作業(yè)設(shè)計中顯得十分重要.

補充性原則.補充性原則指在充分尊重教科書中已有習(xí)題的基礎(chǔ)上，適當(dāng)補充作業(yè)，而不是將教材上習(xí)題刪減之后重新設(shè)計.在習(xí)題設(shè)計方面，新教材已經(jīng)有了較大的改革，欄目的設(shè)定上體現(xiàn)了類型不同的問題，考查不同核心素養(yǎng)水平的思路也有所體現(xiàn).例如，人教版普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第一冊(A版)(下面簡稱“人教版教材”)中將習(xí)題分為練習(xí)、習(xí)題、復(fù)習(xí)題，在習(xí)題和復(fù)習(xí)題中又設(shè)置復(fù)習(xí)鞏固、綜合運用、拓廣探索三個欄目[2]，對核心素養(yǎng)水平的要求逐級提升，層次分明.滬教版普通高中數(shù)學(xué)教科書(下面簡稱“滬教版教材”)將習(xí)題分為練習(xí)、習(xí)題、復(fù)習(xí)題，在習(xí)題中又分為A組與B組兩個層次，在復(fù)習(xí)題中除了A組與B組兩個層次外，還有一個“拓展與思考”欄目[3]，各種類型題目反映出對數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的不同水平要求.

一般說來，教科書上的習(xí)題是必須要求學(xué)生完成的，這是保障實現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)的底線.但是，現(xiàn)實情況是教科書上的習(xí)題不能滿足升學(xué)考試的需求，教師會補充大量的習(xí)題，特別是在應(yīng)對中考和高考的總復(fù)習(xí)階段，會出現(xiàn)“題海訓(xùn)練”的實況.如何消解這種非正常的數(shù)學(xué)教育現(xiàn)象，這是另外一個話題，在這里只是想強調(diào)教師應(yīng)當(dāng)充分關(guān)注和研究教科書中的習(xí)題.建議教師從兩個方面研究教科書中的習(xí)題：一是教師在獨立解答完成習(xí)題的基礎(chǔ)上，對章節(jié)的習(xí)題作一個全面分析，包括考察習(xí)題的類型、習(xí)題中訓(xùn)練不同核心素養(yǎng)的題目占總量的比例、習(xí)題中涉及的核心素養(yǎng)水平的分布等基本參數(shù)是否合理.如果在這三個方面存在某些缺陷，就應(yīng)當(dāng)補充適當(dāng)?shù)牧?xí)題使作業(yè)體系合理化；二是對教材中一些題目進行恰當(dāng)?shù)母脑?，包括對題目的變式、推廣，將封閉性問題改造為開放性問題.

2 數(shù)學(xué)作業(yè)設(shè)計的類型

現(xiàn)代漢語詞典把作業(yè)定義為：教師給學(xué)生布置的功課[4].這個定義有狹義的一面，將作業(yè)限定為教師給學(xué)生安排的任務(wù)，忽視了“生主型作業(yè)”樣態(tài).“生主型作業(yè)”指學(xué)生在教師的指導(dǎo)和幫助下，自我激發(fā)作業(yè)動機，在一定范圍內(nèi)自我選擇作業(yè)內(nèi)容、自我設(shè)計作業(yè)方法、自我安排作業(yè)時間、自我評價作業(yè)效果的一種作業(yè)模式[5].另一方面，這個定義又有廣義的一面，“功課”是比較寬泛的概念，它可以涵蓋多種學(xué)習(xí)內(nèi)容.反觀傳統(tǒng)意義上的數(shù)學(xué)作業(yè)概念，顯現(xiàn)的是窄化的理解，把數(shù)學(xué)作業(yè)圈定在解答習(xí)題范疇.而且，就習(xí)題的設(shè)計來看，也多是定位在基礎(chǔ)知識理解、基本技能形成的“雙基”層面，習(xí)題中遷移應(yīng)用類題目稀少，探究類題目更是鮮見.

2019年，中共中央、國務(wù)院印發(fā)的《關(guān)于深化教育教學(xué)改革全面提高義務(wù)教育質(zhì)量的意見》指出：“促進學(xué)生完成好基礎(chǔ)性作業(yè)，強化實踐性作業(yè)，探索彈性作業(yè)和跨學(xué)科作業(yè)，不斷提高作業(yè)設(shè)計質(zhì)量”.同年，國務(wù)院辦公廳印發(fā)的《關(guān)于新時代推進普通高中育人方式改革的指導(dǎo)意見》提出：“提高作業(yè)設(shè)計質(zhì)量，精心設(shè)計基礎(chǔ)性作業(yè)，適當(dāng)增加探究性、實踐性、綜合性作業(yè).”《課程標(biāo)準(zhǔn)(2017)》指出：“應(yīng)開發(fā)一些具有應(yīng)用性、開放性、探索性的問題，解決這樣的問題有助于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的提升.”[1]綜合這三個文件的基本論述，可以看到國家層面對作業(yè)設(shè)計的高度重視，而且對作業(yè)類型作出了精細闡述，從而為作業(yè)的研究指明了方向.

結(jié)合上述文件，可以把數(shù)學(xué)作業(yè)劃分為三種形式和四種類型.三種形式包括閱讀作業(yè)、習(xí)題作業(yè)、寫作作業(yè).四種類型包括基礎(chǔ)類、綜合類、探究類、實踐類.下面對四種類型作業(yè)作解讀，并將三種形式嵌入其中.

(1)基礎(chǔ)類.基礎(chǔ)類作業(yè)指以促進學(xué)生對知識的理解、知識的簡單應(yīng)用和知識的鞏固為目標(biāo)的作業(yè)類型.閱讀作業(yè)方面表現(xiàn)為課前預(yù)習(xí)閱讀教材，課后復(fù)習(xí)閱讀教材.習(xí)題作業(yè)方面表現(xiàn)為對概念、定理、規(guī)則的理解和簡單應(yīng)用，使用單一的概念或規(guī)則解決問題，使用多個知識點或多種規(guī)則解決難度一般的綜合性問題.寫作作業(yè)方面表現(xiàn)為寫數(shù)學(xué)日記，要求學(xué)生寫出自己今天學(xué)習(xí)新知識的感想或認識.基礎(chǔ)類作業(yè)的指向主要是針對核心素養(yǎng)的一級水平.基礎(chǔ)類作業(yè)可在新授課的課前、課中和課后安排，以課后作業(yè)為主要形式.

在傳統(tǒng)的教科書中，由于受到“知識本位”的觀念影響，基礎(chǔ)類作業(yè)容量顯得過于龐雜.核心素養(yǎng)指向的作業(yè)設(shè)計，應(yīng)當(dāng)考慮優(yōu)化基礎(chǔ)類作業(yè)，題目的數(shù)量應(yīng)適當(dāng)減少，質(zhì)量則應(yīng)有所提升.

(2)綜合類.綜合類作業(yè)指訓(xùn)練學(xué)生知識遷移能力和解決綜合性問題為目標(biāo)的作業(yè)類型.閱讀作業(yè)方面表現(xiàn)為閱讀數(shù)學(xué)課外讀物，如數(shù)學(xué)文化作品、數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)科普作品等.習(xí)題作業(yè)方面表現(xiàn)為解決知識遷移問題，即將數(shù)學(xué)知識遷移到現(xiàn)實情境、科學(xué)情境中去解決問題，數(shù)學(xué)建模是常見的題型.當(dāng)然也包括數(shù)學(xué)自身內(nèi)部的不同情境之間的知識遷移問題，比如需要利用多種知識或方法才能解決的綜合性問題，屬于數(shù)學(xué)內(nèi)部的知識遷移.寫作作業(yè)方面表現(xiàn)為撰寫研究報告，例如，撰寫使用數(shù)學(xué)建模方法解決現(xiàn)實問題的研究報告.綜合性作業(yè)的指向主要針對核心素養(yǎng)的二級或三級水平.綜合類作業(yè)可以在練習(xí)課或復(fù)習(xí)課安排，以課后作業(yè)為主要形式.

在傳統(tǒng)教科書中，不乏綜合類作業(yè)，但是大多是在數(shù)學(xué)情境中的綜合，將知識遷移到其他領(lǐng)域的問題并不多.核心素養(yǎng)指向的作業(yè)設(shè)計，應(yīng)該考慮將知識遷移類問題特別是數(shù)學(xué)建模問題適量納入作業(yè)體系.

(3)探究類.探究類作業(yè)指訓(xùn)練學(xué)生解決結(jié)構(gòu)不良問題、探究新問題從而提高知識創(chuàng)新能力為目標(biāo)的作業(yè)類型.在習(xí)題作業(yè)方面表現(xiàn)為解決條件不充分或條件冗余或結(jié)論不唯一的開放性問題，解決將題目進行變式或推廣去發(fā)現(xiàn)新結(jié)論的問題.寫作作業(yè)方面表現(xiàn)為撰寫數(shù)學(xué)小論文.探究性作業(yè)的指向主要針對核心素養(yǎng)的三級水平.探究類作業(yè)可以在練習(xí)課或復(fù)習(xí)課安排，以課后作業(yè)為主要形式.

探究類作業(yè)在傳統(tǒng)教科書中極為稀少，這類作業(yè)需要在新教學(xué)中得到重構(gòu).

(4)實踐類.實踐類作業(yè)指訓(xùn)練學(xué)生綜合實踐能力為目標(biāo)的作業(yè)類型.在習(xí)題作業(yè)方面表現(xiàn)為通過數(shù)學(xué)實驗去發(fā)現(xiàn)或驗證數(shù)學(xué)結(jié)論，實地測量感受數(shù)學(xué)在現(xiàn)實生活中的應(yīng)用，對現(xiàn)實社會中的一些現(xiàn)象作調(diào)查研究等.寫作作業(yè)方面表現(xiàn)為撰寫實驗報告或調(diào)查報告.實踐性作業(yè)涉及的核心素養(yǎng)可能是一級水平、二級水平或三級水平.實踐類作業(yè)在新授課或綜合與實踐課安排.

實踐類作業(yè)不是作業(yè)的主流形式，但是，它對培養(yǎng)學(xué)生的實踐能力有獨特功能，因而又是一種不可缺少的作業(yè)類型.

表1給出了數(shù)學(xué)作業(yè)類型與形式的二維結(jié)構(gòu)，可以給數(shù)學(xué)作業(yè)設(shè)計提供一個參考框架.

表1 數(shù)學(xué)作業(yè)類型與形式的二維結(jié)構(gòu)

從表1中可以看到，基礎(chǔ)類、綜合類、探究類是數(shù)學(xué)作業(yè)的主要類型，基礎(chǔ)類對應(yīng)掌握知識，綜合類對應(yīng)應(yīng)用知識，探究類對應(yīng)創(chuàng)新知識.由于三種類別的作業(yè)有不同的功能，對應(yīng)的核心素養(yǎng)水平由前向后逐步進階.因此，在進行作業(yè)設(shè)計時就應(yīng)當(dāng)考慮三類作業(yè)在作業(yè)體系中的比例，總體控制在5∶3∶2或5∶4∶1比較恰當(dāng).當(dāng)然，由于教科書中各章的內(nèi)容有自身的特點，三類作業(yè)在各章中的比例不一定要求均衡.

3 數(shù)學(xué)作業(yè)設(shè)計的途徑

3.1 基礎(chǔ)類作業(yè)設(shè)計

基礎(chǔ)類作業(yè)設(shè)計主要依托教科書，教科書中的練習(xí)題、基礎(chǔ)類習(xí)題.例如，人教版教材中的練習(xí)以及習(xí)題中的“復(fù)習(xí)鞏固”欄目，滬教版教材中的A組習(xí)題，基本上都屬于基礎(chǔ)類作業(yè).但是，教師在做教學(xué)設(shè)計時，也要考慮習(xí)題的設(shè)計，主要應(yīng)思考下面兩個問題.

第一，要把數(shù)學(xué)閱讀作為日常的數(shù)學(xué)作業(yè).新授課之前，要求學(xué)生閱讀教科書，對新知識進行預(yù)習(xí)，課堂教學(xué)結(jié)束后，做作業(yè)之前要再一次閱讀教科書，加深對新知識的理解.總之，要讓學(xué)生養(yǎng)成閱讀教科書的習(xí)慣.此外，盡量鼓勵學(xué)生寫數(shù)學(xué)日記，培養(yǎng)學(xué)生的反思性思維.

第二，要對每個習(xí)題作分析.主要分析兩個問題：該題目主要訓(xùn)練什么數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)？屬于核心素養(yǎng)的幾級水平？第一個問題相對容易，按照課程標(biāo)準(zhǔn)對6個數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的定義即可確定題目涉及的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)要素.當(dāng)然，一道題目涉及的核心素養(yǎng)往往不是唯一的，在分析時要找出與此相關(guān)的核心素養(yǎng)并確定主次關(guān)系.第二個問題可以參照課程標(biāo)準(zhǔn)中關(guān)于三級水平劃分的操作性定義，確定題目中何種素養(yǎng)達到何種水平.

《課程標(biāo)準(zhǔn)(2017)》對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的三級水平劃分非常細致，但是這些指標(biāo)在實踐中顯得有些繁瑣，不太容易把握.建議教師采用并不與課程標(biāo)準(zhǔn)相左但更容易操作的另一個框架來確定核心素養(yǎng)的水平[6].

首先，確定題目涉及的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).其次，對照表2確定各種素養(yǎng)的水平.

表2 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)對應(yīng)的水平描述

在設(shè)計基礎(chǔ)類作業(yè)時，可以對一章或一個單元的習(xí)題列一表(見表3)，從而對全章的習(xí)題有一個大概的了解，把握本章或本單元的習(xí)題涉及哪些數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，這些核心素養(yǎng)的訓(xùn)練要達到什么水平，在此基礎(chǔ)上再來考慮本章或本單元的作業(yè)是否需要添補或?qū)σ恍╊}目進行改造.

表3 某章節(jié)習(xí)題涉及的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)及水平

例人教版教材必修第一冊習(xí)題5.5第18題[2].

觀察以下各等式：

分析上述各式的共同特點，寫出能反映一般規(guī)律的等式，并對等式的正確性作出證明.

其一，這道習(xí)題要求學(xué)生能夠從數(shù)學(xué)情境中抽象出比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題(結(jié)構(gòu))，考察的是數(shù)學(xué)抽象，對照表2，可以判定屬于數(shù)學(xué)抽象2級水平.其二，要求對得到的數(shù)學(xué)問題進行論證，考察的是邏輯推理，對照表2，邏輯推理屬于2級水平.要注意的是，整個論證其實也是數(shù)學(xué)運算過程，但數(shù)學(xué)運算的本質(zhì)是使用規(guī)則進行推理，因此，本題的數(shù)學(xué)運算成分不予考慮，只考慮邏輯推理.

3.2 綜合類作業(yè)設(shè)計

在新的教科書中，綜合類作業(yè)有很好的體現(xiàn).例如，人教版教材習(xí)題中的“綜合運用”欄目、“拓廣探索”欄目中的部分習(xí)題均屬于綜合類作業(yè).滬教版教材的B組習(xí)題中部分題目、“拓展與思考”中的部分題目屬于綜合類作業(yè).

與基礎(chǔ)類作業(yè)設(shè)計一樣，還是應(yīng)當(dāng)對每個習(xí)題作分析.主要解決兩個問題：確定該題目主要訓(xùn)練什么數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)(參考課程標(biāo)準(zhǔn))，確定該題目考察數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的幾級水平(參考本文表2).對一個章節(jié)的習(xí)題綜合類作業(yè)作分析，考察數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)分布是否全面，核心素養(yǎng)的水平分布是否合理，然后對不合理的地方進行修正和增補.

綜合類作業(yè)的核心是兩個問題：

(1)知識的遷移應(yīng)用.知識的遷移應(yīng)用主要表現(xiàn)形式是數(shù)學(xué)建模.傳統(tǒng)的應(yīng)用題是不是數(shù)學(xué)建模？表面上看確實是用數(shù)學(xué)模型解決問題，但是，這類問題多是模擬性、仿真性、人造性的知識應(yīng)用.首先，從這些應(yīng)用題的情境設(shè)計來看，許多應(yīng)用題或者是情境不真實，或者是在現(xiàn)實中不可能發(fā)生的事情，或者情境與問題的關(guān)聯(lián)性不大.因此，這類問題并不是將數(shù)學(xué)知識遷移到現(xiàn)實情境中去解決問題，不能算作數(shù)學(xué)的應(yīng)用.其次，這類問題的條件明確、充分，解題的任務(wù)是建立方程或函數(shù)，整個過程有數(shù)學(xué)建模的因素，但是，它與數(shù)學(xué)建模有很大的差異.數(shù)學(xué)建模是要求學(xué)生對情境進行分析，自己確定問題滿足的條件，自己選擇數(shù)學(xué)模型，自己設(shè)計算法，并且還要對建立的模型進行驗證、修正和完善.可以看出，解答傳統(tǒng)的應(yīng)用問題不能或者至少不能完全歸入數(shù)學(xué)建模范疇.

在設(shè)計知識遷移應(yīng)用作業(yè)時，要強調(diào)問題情境的真實性，突出情境與問題的關(guān)聯(lián)性，還可以體現(xiàn)情境的情節(jié)性，即把情境設(shè)計成一個故事，甚至可以考慮將品格與價值觀的教育元素滲透到故事中去，通過數(shù)學(xué)作業(yè)對學(xué)生進行品格教育.如果是數(shù)學(xué)建模問題，則要展現(xiàn)建模過程的完整性和規(guī)范性.

例(2021年八省聯(lián)考數(shù)學(xué)卷第20題)北京大興國際機場(如圖1)的顯著特點之一是各種彎曲空間的運用.刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容.用曲率刻畫空間彎曲性，規(guī)定：多面體頂點的曲率等于2π與多面體在該點的面角之和的差(多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制)，多面體面上非頂點的曲率均為零, 多面體的總曲率等于該多面體各頂點的曲率之和.例如正四面體在每個頂點有3個面角，每個面角是π/3，所以正四面體在各頂點的曲率為2π-3×π/3=π，故其總曲率為4π.(1)求四棱錐的總曲率.(2)若多面體滿足：頂點數(shù)-棱數(shù)+面數(shù)=2，證明：這類多面體的總曲率是常數(shù).

圖1

其實，這是一道很好的探究類問題，可以精準(zhǔn)地考查學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理能力水平.但是，這道題目不屬于知識應(yīng)用(綜合類)的問題，因為這個情境與解決問題過程沒有實質(zhì)的關(guān)聯(lián)性.

(2)知識的綜合應(yīng)用.知識的綜合應(yīng)用指解決問題需要用到多個知識點或多種規(guī)則或多種方法，這些知識或規(guī)則可能來自數(shù)學(xué)理論體系中的不同結(jié)構(gòu).例如，用代數(shù)方法解決幾何問題，用方程理論解決三角恒等式問題等.其實，知識綜合應(yīng)用可以視為數(shù)學(xué)內(nèi)部知識或方法的遷移應(yīng)用，同樣反映出知識或方法遷移的通性.

知識綜合應(yīng)用的作業(yè)設(shè)計，要強調(diào)兩點：

第一，不要一味追求題目的高難度，要在一定程度上消除過分強調(diào)技能技巧的傾向，注重通性通法.例如，①二次曲線的中點弦問題；②二次曲線一組平行弦的中點軌跡問題；③二次曲線的弦長問題.這三類問題的通性是“二次曲線”以及“與中點相關(guān)”，通法就是“韋達定理”.因此，用數(shù)學(xué)思想方法串聯(lián)題目來組成題組，是一種行之有效的綜合類作業(yè)設(shè)計方式.

第二，為了能夠使知識得到遷移，可以設(shè)計一些完善學(xué)生認識結(jié)構(gòu)的題目.認知心理學(xué)的遷移理論強調(diào)個體認知結(jié)構(gòu)的作用，完備的、優(yōu)良的認知結(jié)構(gòu)有助于知識的遷移應(yīng)用.而完善認知結(jié)構(gòu)并不是課堂教學(xué)能夠完全解決的問題，數(shù)學(xué)作業(yè)在其中起著舉足輕重的作用.按照奧蘇伯爾的解釋，認知結(jié)構(gòu)就是內(nèi)化的知識結(jié)構(gòu)，那么就可以通過對知識結(jié)構(gòu)的優(yōu)化來發(fā)展學(xué)生的認知結(jié)構(gòu).例如，如何證明兩直線垂直？這個問題涉及平面幾何、立體幾何、解析幾何、向量等領(lǐng)域里的若干定理，可以讓學(xué)生圍繞這個問題，用概念圖的形式將這些定理聯(lián)系起來，并解析這些定理之間的聯(lián)系，將一幅完整的知識圖內(nèi)化于個體頭腦便形成“兩直線垂直判定”的優(yōu)良認知結(jié)構(gòu)(CPFS結(jié)構(gòu)).

3.3 探究類作業(yè)設(shè)計

在數(shù)學(xué)作業(yè)中，探究類作業(yè)不宜太多但不能太少甚至完全沒有.從出版的新教科書來看，人教版教材習(xí)題中“拓廣探索”欄目的部分習(xí)題屬于探究類作業(yè)；滬教版教材B組習(xí)題中的部分題目、復(fù)習(xí)題中“拓展與思考”欄目的部分題目屬于探究類作業(yè).總體而言，還是感覺探究類作業(yè)偏少，特別是缺乏開放性問題.由于探究性作業(yè)多是指向核心素養(yǎng)的三級水平，缺少這類作業(yè)的訓(xùn)練，學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)水平難以拔高，因此在作業(yè)設(shè)計時，需對這類問題進行適當(dāng)?shù)难a充.

探究性作業(yè)設(shè)計，可以考慮下面幾種做法.

(1)將探究性作業(yè)與對教科書或教輔資料的題目改造聯(lián)系起來.可以將某些封閉性問題改造為開放性問題；將某些特殊性問題推廣為一般性問題；將某些問題進行變式產(chǎn)生出新的問題等等[7].一般可以考慮在原題后面增加一個探究性問題.

例人教版教材必修第一冊習(xí)題8.5第9題[2].

如圖2，E，E′分別為長方體ABCD-A′B′C′D′的棱AD，A′D′的中點，求證∠BEC=∠B′E′C′.

圖2

在這道題目的后面可以增加兩個問題：

問題1：如果E，E′分別為長方體ABCD-A′B′C′D′的棱AD，A′D′的三等分點，

求證∠BEC=∠B′E′C′.

問題2：由以上兩個問題的啟示，你還能提出什么問題？請解決你提出的問題.

(2)將探究性作業(yè)與探究性課堂教學(xué)聯(lián)系起來.課堂中講授的知識都有來龍去脈，“來龍”揭示知識產(chǎn)生的來源和緣由，“去脈”指出知識可能生長的方向和路徑，因此，一堂課總有問題探究的空間.例如，人教版教材數(shù)學(xué)必修第一冊3.2“函數(shù)的單調(diào)性”一節(jié)，在學(xué)習(xí)了函數(shù)的單調(diào)性概念之后，在“思考”欄目設(shè)計了兩個問題[2]：

①設(shè)A是區(qū)間D上某些自變量的值組成的集合，而且?x1，x2∈A，當(dāng)x1

②函數(shù)的單調(diào)性是對定義域內(nèi)某個區(qū)間而言的，你能舉出在整個定義域內(nèi)是單調(diào)遞增的函數(shù)例子嗎？你能舉出在定義域內(nèi)的某些區(qū)間上單調(diào)遞增但在另一些區(qū)間上單調(diào)遞減的函數(shù)例子嗎？

另一種情況，課堂教學(xué)就是在進行探究性教學(xué)，但教師并不把探究的完整結(jié)果展現(xiàn)出來，保留一些可以繼續(xù)探究的空間，以作業(yè)形式讓學(xué)生在課后探索，即把探究性作業(yè)作為課堂中探究過程的延續(xù).

例通過下面題目的解答，探究解決這類問題的通法.

①設(shè)奇函數(shù)f(x)是R上的可導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)x>0 時有f′(x)+cosx<0 ，則當(dāng)x≤0時，f(x)+sinx≥f(0).

解析：聯(lián)想[f(x)+sinx]′=f′(x)+cosx，可設(shè)g(x)=f(x)+sinx.則g(x)在(0，+∞)內(nèi)是減函數(shù).又因為f(x)為奇函數(shù)，所以g(x)也是奇函數(shù).故當(dāng)x≤0時，g(x)≥g(0)，即f(x)+sinx≥f(0)+sin 0=f(0).

②定義在(0，+∞)上的函數(shù)f(x)滿足xf′(x)-1<0，且f(1)=1，則不等式f(2x-1)>ln (2x-1)+1的解集是.

在解答這些問題之后，歸納出這類題目可以構(gòu)造y=[f(x)±g(x)]型可導(dǎo)函數(shù)模型.

作業(yè)：探究哪些題型可以構(gòu)造y=f(x)·g(x)型可導(dǎo)函數(shù)模型.

(3)將探究性作業(yè)與學(xué)生數(shù)學(xué)寫作聯(lián)系起來.在完成探究性作業(yè)之后，可以鼓勵學(xué)生進行小論文寫作.題材、形式多樣化，可以是一道題目的多種解答、學(xué)習(xí)新知識的體會與聯(lián)想、數(shù)學(xué)知識在現(xiàn)實生活中的應(yīng)用、題目的推廣、題目的變式、問題解決的探究過程、問題發(fā)現(xiàn)的過程描述、對數(shù)學(xué)文化的理解等等.例如，上例的作業(yè)“探究哪些題型可以構(gòu)造y=f(x)g(x)型可導(dǎo)函數(shù)模型”，在完成探究之后，讓學(xué)生將探究過程寫成一篇小論文.

探究性作業(yè)是傳統(tǒng)數(shù)學(xué)作業(yè)中最缺失的一個部分，理論研究尚不深入，實踐層面也嘗試不多，因而需要廣大教師對這個問題開展全面深入的研究.

3.4 實踐類作業(yè)設(shè)計

雖然實踐類作業(yè)在數(shù)學(xué)作業(yè)體系中的占比不高，但它對數(shù)學(xué)作業(yè)形態(tài)的完備性是不可缺少的組成部分.長期以來，數(shù)學(xué)教科書中的內(nèi)容基本上是學(xué)科的理論知識，與實踐相關(guān)的內(nèi)容寥寥無幾.反映出學(xué)生學(xué)了數(shù)學(xué)知識但解決與數(shù)學(xué)相關(guān)的現(xiàn)實問題的能力低下，更嚴(yán)重的問題是這樣一種在學(xué)習(xí)內(nèi)容與現(xiàn)實世界之間建立圍墻的作法，事實上切斷了從理論思維到實踐思維發(fā)展的通路，學(xué)生不會用數(shù)學(xué)的眼光看待世界，不會用數(shù)學(xué)的思維分析世界，不會用數(shù)學(xué)的語言表達世界，這樣的結(jié)果，顯然與發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的宗旨背道而馳.實踐類作業(yè)的作用，就是要破除這道圍墻，使學(xué)生的思維從狹窄走向開闊.

《課程標(biāo)準(zhǔn)(2017)》把課程內(nèi)容分為五個主題，其中主題五為數(shù)學(xué)建模活動與數(shù)學(xué)探究活動，這就把實踐類作業(yè)納入到課程體系之中.對數(shù)學(xué)建模的描述為：“在實際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、構(gòu)建模型，確定參數(shù)、計算求解、檢驗結(jié)果、改進模型，最終解決實際問題.”[1]而且，將數(shù)學(xué)建?；顒优c數(shù)學(xué)探究活動與課題研究結(jié)合起來，課題研究包括選題、開題、做題、結(jié)題四個環(huán)節(jié).顯然，這就是典型的實踐類作業(yè).

實踐類作業(yè)與數(shù)學(xué)建模密切相關(guān)，如果是通過文本閱讀方式進行數(shù)學(xué)建模，那么這類作業(yè)既可以歸入綜合類作業(yè)，也可歸入實踐類作業(yè)；讓學(xué)生走進社會，在實際情境中選題，完成課題研究，這就是實踐類作業(yè).無論是哪種情況，在實踐類作業(yè)設(shè)計時都要求情境必須真實，必須讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的整個探究過程，課題研究必須要求學(xué)生完成四個基本環(huán)節(jié).