魏顯峰 殷木森

(1.深圳市教育科學研究院 518024；2.深圳市龍華區(qū)教育科學研究院 518110)

恢復高考制度四十多年來，中國數(shù)學高考對能力要求的考查經(jīng)歷了從運算能力、邏輯思維能力、空間想象能力構成的“三大能力”，到增加了實踐能力和創(chuàng)新意識的“五種能力”，再把邏輯思維能力拆分為抽象概括與邏輯推理兩種能力、增加數(shù)據(jù)處理能力后的“七種能力”的變化.2019年公布的“一體四層四翼”高考體系又提出了數(shù)學科的“五種關鍵能力”，由“三大能力”與“數(shù)學建模能力與創(chuàng)新能力”組成，是學生學習與運用知識解決問題需要的能力[1].其中，邏輯思維能力始終是核心[2-3]，運算求解能力由計算能力演變而來，包含了“運算、估算、化簡變形和數(shù)據(jù)處理”等多種能力；空間想象能力的要求變化不大；數(shù)學建模能力由實踐能力演變而成，它不僅包括了對應用問題建立模型解決問題，還包括了建立模型解決更豐富的問題情境；從創(chuàng)新意識到提出創(chuàng)新能力，是一個大的轉變，說明考生要逐漸學會獨立思考、探索和研究，屬于更高層次的能力[3].

為了選拔和區(qū)分不同能力或發(fā)展?jié)摿Φ目忌?，各個不同歷史發(fā)展階段高考數(shù)學對數(shù)學能力考查的實施路徑，與所處的社會背景是緊密相聯(lián)的.因此，對之進行研究，能更好地幫助中學教師更好地把握一線教學的方向，具有十分重要的實踐意義.

1 高考恢復初期：明確提出“三大能力”

1977年恢復高考制度，1978年2月中華人民共和國國家教育委員會頒發(fā)的十年制《全日制中學數(shù)學教學大綱(試行草案)》明確要求中學生要“具有正確迅速的運算能力、一定的邏輯思維能力和一定的空間想象能力，從而逐步培養(yǎng)學生分析問題和解決問題的能力.”同時，1978年起印制的《全國高等學校招生考試復習大綱》中重點強調(diào)了“邏輯思維能力”的重要性.

那是一個考試復習備考資源匱乏的年代，在考查“雙基”的同時，直接將教材中的重要定理的證明改造成了一道道試題.如1979年的“敘述并證明勾股定理”；1980年文科的“用解析法證明直徑所對的圓周角是直角”，理科的“用解析法證明三角形的三條高線交于一點”；1981年文科的“寫出正弦定理，并對鈍角三角形的情況加以證明”，理科的“寫出余弦定理(只寫一個公式即可)，并加以證明”.事實上，這種命題方式有利于考查考生的邏輯推理能力及空間想象力，因為這些取材于教材中的重要定理的證明而改編成的試題往往有很多思考角度和證明方式，呈現(xiàn)出入口寬、方法活等的特點與特征，具有頑強的生命力.比如，2010年高考數(shù)學四川卷、2011年高考數(shù)學陜西卷借鑒這種命題方式，在選拔功能和區(qū)分度等上均取得了良好的效果.

改革開放以后，國內(nèi)外形勢發(fā)生了很大改變，為此從現(xiàn)實社會背景出發(fā)選取適當題材，并改造成合適的高考試題，如1979年的“濃度配比問題、外國船只不得靠近我海岸線問題、物價增長問題”；1980年文科的“產(chǎn)值增長問題”；1981年的“人口增長問題”等.就當時而言，這些與時俱進的問題，不僅能引導學生理解數(shù)學應用性的特點，而且能考查考生分析問題和解決問題的能力，為后續(xù)提出數(shù)學建模能力提供了一些案例和一定的實踐經(jīng)驗.

2 能力探索階段：逐漸形成“五種能力”

2.1 能力考查備受關注

另外，還能常見利用“經(jīng)典結論”綜合考查考生的思維能力.如1984年第四題：已知三個平面兩兩相交，有三條交線，求證這三條交線交于一點或互相平行.考生解答此題需要經(jīng)歷如下幾個環(huán)節(jié)或階段：首先要經(jīng)歷不同語言的轉換，即從文字語言到符號語言：已知平面α，β，γ，且α∩β=a，β∩γ=b，γ∩α=c，求證：a∩b∩c=P或a∥b∥c；其次，證明時考生要經(jīng)歷分類討論，這考查了考生是否具備嚴謹?shù)倪壿嬎季S能力，具體需要分成兩類進行討論：若a∩b=P，則一定有P∈c；若a∥b，則a∥γ，a∥c，得證.可以說，在立體幾何與解析幾何中經(jīng)常出現(xiàn)這種考法，既拓寬了考生的數(shù)學認知，對能力的考查也是比較全面的.

2.2 考查的方式不斷創(chuàng)新

1991年，歷史上第一次頒布了《普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學學科說明》(即考試說明)，首次提出“三基”的概念，“三大能力”要求沒有改變，運算能力還是放在邏輯思維能力前面，增加了“運用數(shù)學知識和方法”去分析和解決問題，為“五種能力”的提出埋下伏筆.因此，上個世紀整個90年代的考題從堅持“有利于教改，有利于選拔”的角度出發(fā)，注重“三基”考查，強調(diào)運用基本的數(shù)學思想方法去解決問題，整體上是趨于穩(wěn)定的.

這一時期，命題者不斷嘗試新的變化，有意識地通過設置開放題(包括結構不良試題)、創(chuàng)新題、應用題，把它們放在試卷的重要位置，全面考查能力.

例1(1995年第25題)設{an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，Sn是前n項和.

(2)是否存在常數(shù)c，使得

分析這是一道開放設問的題目，主要考查等比數(shù)列、對數(shù)、不等式等基礎知識，需要用到較強的推理能力以及分析問題和解決問題的能力[5].從一個基本事實入手，即若{an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，則{lgan}是等差數(shù)列.已知{Sn}不是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，{lgSn}還會是等差數(shù)列嗎？它們有什么樣的不等關系？若存在這樣的常數(shù)c，使得{Sn-c}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，則{lg(Sn-c)}一定是等差數(shù)列.若考生具備了相應的邏輯思維能力，此題解答起來就不那么困難了.后面第26題，同樣非常強調(diào)運算能力與邏輯思維能力.

例2(1999年廣東卷第16題)α、β是兩個不同的平面，m、n是平面α及β之外的兩條不同直線，給出四個論斷：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α，以其中三個論斷作為條件，余下一個論斷作為結論，寫出你認為正確的一個命題：________

分析這是廣東進行高考改革首次文理合卷的一道結構不良試題，要求考生開放作答，可以說，較全面地考查了考生的邏輯推理能力及空間想象能力.

但是，過分解讀“基本方法”的考查，往往會出現(xiàn)一些技能技巧性很強的試題，如1996年理科第25題、1997年理科第24題，雖然以考生熟悉的一、二次函數(shù)作為背景，但是問題的設置相對考生而言非常刁鉆，需要考生具備很強的推理技巧，客觀而言要求考生在規(guī)定時間內(nèi)完成作答，不是一件容易的事.

3 能力立意的新時代：從“五種能力”到“七種能力”

3.1 響應素質(zhì)教育的呼喚

上世紀末，國家提出了“素質(zhì)教育”，大綱版數(shù)學高考中提出了“五種能力”的要求，并確立了以能力立意的命題指導思想，開始探索考查實踐能力和創(chuàng)新意識的要求.高考數(shù)學中通過創(chuàng)設有意義的問題載體，在問題解決過程中培養(yǎng)學生的實踐能力和創(chuàng)新意識.

例3(2003年全國大綱卷理科第10題)已知長方形的四個頂點A(0,0)，B(2,0)，C(2,1)和D(0,1).一質(zhì)點從AB的中點P0沿與AB的夾角θ的方向射到BC上的點P1后，依次反射到CD、DA和AB上的點P2、P3和P4(入射角等于反射角)，設P4的坐標為(x4,0)，若1

分析此題包含了豐富的物理背景，先簡單作圖，如圖1，

圖1

所以∠P1P0B=∠P1P2C=∠P3P2D

=∠AP4P3=θ，

3.2 百花齊放的年代

1999年，廣東率先進行“3+X”高考改革，由此拉開了高考中同時存在大綱卷、新課程卷、分省命題卷長達十多年的時間，是一個百花齊放的年代.新課標高考明確提出了“七種能力”的要求.逐漸形成了“三角、數(shù)列、概率統(tǒng)計、立幾、解幾、函數(shù)”等六大知識板塊，每個板塊都承載著不同的能力考查要求.

以新增的“概率與統(tǒng)計”知識板塊為例，僅以“古典概型”為載體，如2000年天津等省卷第17題，著重考查運算求解能力，思維的含金量并不高；引入了“離散型隨機變量分布列”以后，命題的思路就更廣闊了，如2007年安徽理科第20題，以分布列、數(shù)學期望、獨立性重復試驗為載體，考查邏輯思維能力與運算求解能力；加入“統(tǒng)計與統(tǒng)計案例”后，著重考查統(tǒng)計思想，概率作為一種估計的工具，也是一種常見的命題思路，如2015年、2016年新課程全國Ⅰ卷第19題，就需要考生具備較強的數(shù)據(jù)分析能力與運算求解能力.

運算求解能力依然重要，但要適度淡化，多考一點想，少考一點算，試題盡量避免繁雜的技巧與運算，加大對理解、推理和論證等多種思維能力的檢測，給考生提供靈活的思考空間，是這一階段試題的重大特點，得到了廣大一線老師的認可.如人大附中梁麗平老師在評價2010年北京卷時認為第8題作為選擇題部分的壓軸題，在這一點上做得特別好；成都市樹德中學李勇老師也認為2010年四川卷文理科都有很多道題目不需要較多的運算就可得出結論.筆者認為，解析幾何的解答題最能體現(xiàn)這一思想，也是一線教師最為津津樂道的.

分省命題始于1985年，首先在上海實施，2004年開始逐漸在全國推廣.然而分省命題，意味著每個省都要組建自己的命題隊伍，命題的質(zhì)量難免差參不齊[6].各省在不斷的探索過程中逐漸形成了自己的命題風格，涌現(xiàn)出了一大批的好題、創(chuàng)新題，增加了備考的素材，但從個別題目來看，是真正“注重能力”，還是更多“關注技巧”，還不好判定.

(1)求數(shù)列{an}的通項公式；

分析這是一道考查能力的好題，改編自2006年江西理科第22題，(1)中用到的方法尚且可以看成是基本技能，但(2)中運用基本不等式證明的過程中，放縮的技巧性強，雖然還能用數(shù)學歸納法證明，但這樣的“奇思妙想”究竟是怎么得來的[7].

網(wǎng)絡上有人稱2003年江蘇卷“令人聞風喪膽”，其難度主要體現(xiàn)在第21、22題，以21題為例，(1)中證明y=(x-a)n其導數(shù)是y′=n(x-a)n-1，本來可以用復合函數(shù)求導，但考綱中不作要求，只能用二項式定理展開求導，再合起來，難度就非常高了；(2)中把要證的不等式轉化成(n+1)n-(n+1-a)n>nn-n(n-a)n-1(n≥a>0)，考生若沒有注意到n≥1≥a>0，即1-a≥0，則后面的放縮與證明函數(shù)f(x)=xn-(x-a)n的單調(diào)性都會顯得非常困難，若考生嘗試要把(n+1)n用二項式定理展開，則后面的解題很難進行下去.

4 邁入新高考：能力為重、素養(yǎng)導向

2014年，上海、浙江開始試點實行高考綜合改革(簡稱“新高考”)以來，至2021年全國范圍內(nèi)已有14省市進行了新高考，除上海、浙江、天津、北京仍實行自主命題外，其余省份使用新高考全國Ⅰ、Ⅱ卷.新高考取消考試大綱、數(shù)學不分文理科，命題理念向“價值引領、素養(yǎng)導向、能力為重、知識為基”[8]轉變，突出邏輯思維能力的考查，開創(chuàng)性地提出了數(shù)學建模能力.命題組積極求變，在實施路徑上進行了很多探索.

4.1 不斷創(chuàng)新命題形式

引入多選題，考查綜合性思維能力.多選題對能力的考查更加深入，要求學生具備完整、細致、全面的思維品質(zhì).

例5(2020年新高考Ⅰ卷第11題)已知a>0，b>0，且a+b=1，則________.

C. log2a+log2b≥-2 ;

分析這是一道不等式的相關問題.考生要樹立問題整體意識，首先A、C、D選項均能用基本不等式順利解決，唯獨B選項有點困難，需要先確定a-b的范圍，可用b=1-a得出a-b=2a-1去求它的范圍，也可用線性規(guī)劃的辦法解決.總體上，需要考生具備良好的邏輯思維能力和運算求解能力.

增設開放問答的填空題，考查發(fā)散性思維.一直以來，填空題是主觀題的主陣地，有問有答，但是變成開放問答后，就更能讓考生聯(lián)系所學知識，聚焦問題的解決.

圖2

利用結構不良試題，考查分析與解決問題的能力.結構不良，顧名思義就是結構上存在缺陷.有研究證實，這種試題能較好地考查考生的思維能力和表達能力，具有較大的開放性.命題組不斷嘗試，開發(fā)出一種既適合考查考生，也方便批閱的命題方式.如2020年北京卷第17題，2021年北京卷第16題，2020年全國Ⅰ卷第16題，2021年甚至在舊高考卷中也嘗試這樣考查.

例7(2021年全國甲卷理科第18題)已知數(shù)列{an}的各項為正數(shù)，記Sn為{an}的前n項和，從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立.

4.2 精心設計問題情境

中國高考評價體系中指出，要創(chuàng)設出能夠更加真實地反映出考生素質(zhì)的問題情境這一考查載體，從而形成“考查內(nèi)容、考查要求、考查情境”三位一體的素質(zhì)評價體系[8]，即高考中要創(chuàng)設出合理的問題情境，通過問題的解決，考查考生分析問題與解決問題的能力.

設計與時俱進的應用問題情境.如2020年新高考全國Ⅱ卷第9題以“疫情期間復工復產(chǎn)”為背景，2020年新高考全國Ⅰ卷第12題以“信息熵”為背景，2020年北京卷第15題以“環(huán)保治理”為背景，2021年新高考全國Ⅰ卷第18題以“一帶一路”知識競賽為背景，2021年北京卷第18題以“新冠肺炎核酸檢測”為背景.這些真實的問題情境，很好地引導考生理解數(shù)學來源于生活，又應用于生活的本質(zhì)，跟原有的應用問題相比，更具有現(xiàn)實意義.

設計跨學科融合的問題情境.如2020年新高考全國Ⅰ卷第4題是數(shù)學與地理學科相融合，第5題是數(shù)學與生命科學相融合；2021年北京卷第8題是數(shù)學與地理相融合；2021年新高考全國Ⅰ卷第16題則是數(shù)學與剪紙藝術相融合.最典型的要數(shù)2020年舊高考全國Ⅱ卷文科第3題數(shù)學與鋼琴的結合，不少老師認為考生不會鋼琴就不會解這道題.其實不然，跨學科融合的試題歸根到底還是要轉化成數(shù)學的模型，用數(shù)學的方法去解決問題.

設計探究性的問題情境.雖然這種題型很早就有，且多數(shù)放在壓軸位置，但是新高考卷不斷將它發(fā)揚光大，利用它考查考生的邏輯思維能力、數(shù)學建模與數(shù)學探究能力.

例8(2021年北京卷第21題)定義Rp數(shù)列{an}：對實數(shù)p，滿足：

①a1+p≥0，a2+p=0；

②?n∈N+，a4n-1

③am+n∈{am+an+p,am+an+p+1}.

(1)對前4項為2,-2,0,1的數(shù)列，可以是R2數(shù)列嗎？說明理由；

(2)若{an}是R0數(shù)列，求a5；

(3)是否存在p，使得存在Rp數(shù)列{an}，對?n∈N+，滿足Sn≥S10？若存在，求出所有這樣的p；若不存在，說明理由.

由此，不妨大膽猜想a4=a5=a6=a7=-p+1，a8=-p+2，由此可順藤摸瓜.探究類試題具有很好的選拔與區(qū)分功能，能全面考查考生綜合分析與思考問題的能力.

4.3 合理搭建思維梯度

文理合卷下，如何既體現(xiàn)出應有的人文關懷，又突出關鍵能力的考查，合理地搭建思維梯度，利用“低起點、高落差、多層次”策略，可以說既提高了考生的得分率，又給具有更高數(shù)學素養(yǎng)的考生更多的思維空間，思維的層次性比較明顯.例8就是很好的例子，前兩小問給了考生很多空間，但最后一問的思維高度就不是人人都能企及的.

例9(2021年全國Ⅰ卷第22題)已知函數(shù)f(x)=x(1-lnx).

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

分析第(1)問屬于送分題，但第(2)問其思考的角度就非常寬泛了，真正體現(xiàn)了思維的多層次性.

第一個角度能用到第(1)的結論，第二個角度構造的新函數(shù)也是一個考生熟悉的函數(shù)模型，然后運用常規(guī)做法就能順利解決.對等式的變形也是運算能力的一種體現(xiàn)，所以本題對運算求解能力、邏輯思維能力考查非常全面.隨著改革逐步推進，新高考中肯定還會出現(xiàn)更多新穎的問題情境，其最終目的是為了讓教學跳出題海，減輕學生的負擔，真正培養(yǎng)學生分析問題與解決問題的能力.

5 總結

華羅庚先生把“三大能力”作為數(shù)學學習的根本，不同歷史時期，數(shù)學人又對它進行了拓展和延伸.高考數(shù)學總能通過不同的實施路徑，基于實際社會環(huán)境創(chuàng)設良好的問題載體，真正區(qū)分出不同考生的能力水平，為國家選拔優(yōu)秀人才，為中學數(shù)學教學指引方向.