洪霞

【摘 要】 三角函數(shù)知識(shí)的抽象性較強(qiáng)，是高中數(shù)學(xué)中的教學(xué)難點(diǎn)之一.但掌握了相應(yīng)的解題思路和解題技巧后，困難就會(huì)迎刃而解.基于此，文章結(jié)合過往教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，針對(duì)高中數(shù)學(xué)中三角函數(shù)解題的展開分析和探討，從解題思路和解題技巧兩方面入手，詳細(xì)闡述具體的解題過程，以此為學(xué)生學(xué)習(xí)提供參考.

【關(guān)鍵詞】 三角函數(shù);解題技巧;解題思路

例1 某三角函數(shù)的區(qū)間求值選擇題，給出了a∈（0，π2）、2cos2a=cos（π4-a）這兩個(gè)條件，求解sin2a的值.

解題 根據(jù)題干可以得到2（cos2a-sin2a）=cosπ4cosa+sinπ4sina，通過最終的計(jì)算化簡(jiǎn)，得到了sin2a=78，進(jìn)而就可以確定最終的選項(xiàng).

在例題1解題過程中，主要利用三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)和概念理論，而在更多的三角函數(shù)選擇題目中考察的是三角函數(shù)和其他知識(shí)之間的聯(lián)系性.這就需要學(xué)生在思考的過程中，從多個(gè)角度入手構(gòu)建邏輯橋梁，得出正解.

例2 ??某三角函數(shù)圖像選擇題中，給出了y=sinx-3cosx和y=sinx+3cosx這兩個(gè)函數(shù)，問函數(shù)2至少需要向右平移多少個(gè)單位長(zhǎng)度能得到函數(shù)1.

解題 在實(shí)際解題過程中，避免拘泥于基本知識(shí)，可以通過對(duì)兩個(gè)函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，最終得到了y=sinx+ 3cosx=2sin（x+π3），

y=sinx- 3cosx=2sin（x-π3）=2sin[（x-π3）-2π3].

在完成化簡(jiǎn)轉(zhuǎn)換后，就可以清晰地看出需要函數(shù)2至少需要向右平移2π3個(gè)單位長(zhǎng)度才能得到函數(shù)1.

總的來說，在學(xué)習(xí)三角函數(shù)的過程中，基礎(chǔ)知識(shí)體系的掌握非常重要，但在不斷強(qiáng)化理論知識(shí)的同時(shí)，也要不斷開拓思維模式，樹立起良好的解題思路，把握具體的解題技巧.教師在實(shí)際教學(xué)過程中，要幫助引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)解題技巧，通過大量練習(xí)強(qiáng)化解題思路，從而讓學(xué)生更好地完成三角函數(shù)解題過程，構(gòu)建形成數(shù)學(xué)邏輯體系，促進(jìn)綜合學(xué)習(xí)能力的提高，得到全面的發(fā)展.

2 解題技巧

很多涉及三角函數(shù)知識(shí)的題目相對(duì)較難，解題過程復(fù)雜，長(zhǎng)此以往學(xué)生會(huì)對(duì)解題喪失信心.如果想要快速得到正確答案，就要建立起豐富的解題思路，加強(qiáng)對(duì)三角函數(shù)的認(rèn)識(shí)，提高解題效率的同時(shí)，培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí).學(xué)生在構(gòu)建起三角函數(shù)思維后，還要掌握一些使用的解題技巧，能夠簡(jiǎn)化解題過程，輕松完成解答.

2.1 使用弦切互化解題技巧

正余弦、正余切是高中三角函數(shù)中最為主要的內(nèi)容，涉及這些內(nèi)容的題目形式非常靈活，需要學(xué)生具備較高的思維能力，在不同的題目條件中找出其中的關(guān)鍵.解答正余弦、正余切或者正余弦角度問題時(shí)，題目中的角并不會(huì)較為特殊，可以利用題目中給出的條件，結(jié)合誘導(dǎo)條件完成弦切互化，從而利用特殊角的三角函數(shù)值求出正確答案.主要考察學(xué)生思維能力和舉一反三能力，只要熟練掌握公式，就可以根據(jù)已知條件求出最佳的數(shù)值，切實(shí)提高解題效率.角的轉(zhuǎn)化是三角函數(shù)解題過程中最為重要的一種方式，在多個(gè)題目中得到了廣泛應(yīng)用.實(shí)現(xiàn)角的轉(zhuǎn)化后，就可以通過逆、順用公式完成解題.

例3 求解sin20°cos10°-cos160°sin10°的值.

解題 首先，判斷20°和160°之間的關(guān)系，其次，利用誘導(dǎo)公式完成角地轉(zhuǎn)化，最后完成具體的計(jì)算.具體解題過程如下：sin20°cos10°-cos160°sin10°= sin20°cos10° + cos20°sin10° =sin30° =12.

2.2 使用數(shù)形結(jié)合解題技巧

在解決三角函數(shù)問題的過程中，部分問題會(huì)涉及到圖形知識(shí)，單純依靠想象很難得到正確答案，還會(huì)擾亂思路.因此，在實(shí)際解題過程中，可以使用數(shù)形結(jié)合的方式完成題目的快速解答.這一技巧方式的應(yīng)用，也能夠讓學(xué)生養(yǎng)成良好的作圖習(xí)慣，樹立其幾何邏輯思維，切實(shí)提高解題能力.

例4 已知△ABC中，A=3π4，AB=6，AC=32.在BC邊上有一點(diǎn)D，AD=BD，求解AD長(zhǎng).

解題 在解答此題的過程中，單純利用條件在腦海中構(gòu)建圖形，容易得到錯(cuò)誤答案.引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)已知條件進(jìn)行畫圖，可以準(zhǔn)確地找到題目中要求求解的線段，進(jìn)而利用正余弦定理完成三角函數(shù)的求值計(jì)算.具體解題過程如下，利用已知條件和余弦定理，可知內(nèi)角∠A對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng)a=310，結(jié)合正弦定理可以進(jìn)一步得到sinB=1010.從題干可知0<B<π4、cosB=31010，繼而就可以得到的AD=10.

2.3 使用升冪降冪解題技巧

升冪降冪也是高中三角函數(shù)解題過程中常見的思路之一，主要是對(duì)題目中的函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，從而完成解題.對(duì)學(xué)生而言，不僅需要靈活地掌握公式，還要根據(jù)題目有選擇進(jìn)行應(yīng)用，從而解決求值問題.在利用這一解題方法進(jìn)行求值的過程中，保證化簡(jiǎn)過程的準(zhǔn)確是最為重要的內(nèi)容，任何一個(gè)環(huán)節(jié)出現(xiàn)問題，都有可能造成最終結(jié)果的錯(cuò)誤.升冪降冪是轉(zhuǎn)換題目形式，當(dāng)題目中冪數(shù)統(tǒng)一時(shí)，將高次冪轉(zhuǎn)化為低次冪，如果冪數(shù)不統(tǒng)一，先要利用公式轉(zhuǎn)化題目中函數(shù)，然后考慮升冪降冪，完成加減運(yùn)算.在解題過程中，升冪降冪是解題的關(guān)鍵，需要結(jié)合題目的實(shí)際情況，合理地完成轉(zhuǎn)化，切實(shí)提高解題效率和質(zhì)量[3].

例5 化簡(jiǎn)1-sin6x-cos6x1-sin4x-cos4x.

解題 根據(jù)三角函數(shù)公式中sin2x+cos2x=1，可以對(duì)題目進(jìn)行進(jìn)一步的簡(jiǎn)化，進(jìn)而得到最終的結(jié)果.

1-sin6x-cos6x1-sin4x-cos4x=（sin2x+cos2x）3-sin6x-cos6x（sin2x+cos2x）3-sin4x-cos4x=2sin2xcos2x3sin2xcos2x（sin2x+cos2x）=23.

2.4 使用消參構(gòu)造解題技巧

消參構(gòu)造是兩種方法，前者是根據(jù)題目中給出的參數(shù)聯(lián)系，利用公式完成對(duì)現(xiàn)有參數(shù)的轉(zhuǎn)換，簡(jiǎn)化計(jì)算過程，將消參法和換元法、公式定理法，結(jié)合應(yīng)用效果最優(yōu).后者是在無法使用消參法的基礎(chǔ)上，通過添加或者減少項(xiàng)的方式，實(shí)現(xiàn)等效變換，完成解題.

例6 ??已知tanα=3，求sina-3cosa2sina+cosa的值.

解題 根據(jù)有關(guān)公式定理可知tanα=sinα：cosα，且α≠kπ+π2，進(jìn)一步可以推出cosα≠0.那么將其完全替換到原分式中，就會(huì)得到具體的結(jié)果.具體的解題過程如下：

sina-3cosa2sina|cosa=sinacosa-3·cosacosa2sinacosa+cosacosa=tgα-32tgα+1

=3-32×3+1=0.

2.5 使用平方方式解題技巧

相比較上述幾個(gè)解題技巧來看，平方法在解析三角函數(shù)過程中最為常見，尤其是題干中涵蓋了余弦、正弦的內(nèi)容時(shí)，都可以使用平方方式解題.但需要注意的是，在使用平方方式進(jìn)行解題前，必須要掌握最基本的方式，然后再采用技巧性的方法進(jìn)行解題.

例7 方程x2-kx+k+1=0 得到sinθ、cosθ兩個(gè)根，且θ∈（0，2π），要求求出k值.

解題 此題有兩種解題方式，一種為利用韋達(dá)定理求出兩個(gè)k值，然后利用值域，去除不符合的數(shù)值，得到正確答案.例題7中的兩個(gè)k值分別為-1和3，最終舍去k=3這一個(gè)根.如果利用平方方式可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化計(jì)算過程，快速得到最終結(jié)果.

3 結(jié)語

綜上所述，在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)階段，強(qiáng)化三角函數(shù)的解題思想和解題技巧，可以在保證準(zhǔn)確率的同時(shí)，讓解題效率得到提高.因此，學(xué)生要正確認(rèn)識(shí)三角函數(shù)知識(shí)重要性，在鞏固基礎(chǔ)知識(shí)公式的同時(shí)，掌握相應(yīng)技巧，優(yōu)化思維邏輯，從而更好完成學(xué)習(xí)目標(biāo).不僅是為了提高數(shù)學(xué)成績(jī)，更是為未來的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).